Résumé de cours Mathématiques 2ème année secondaire Sciences

ING JMAL Ameni 2026-2027
Résumé de Cours — Mathématiques 2ème Année Secondaire
(Sciences)
Conforme au manuel scolaire tunisien — Tome 1 et Tome 2
Chapitre 0 : Calcul dans ℝ (rappels indispensables)
1. Ensembles de nombres
N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R
ℕ
: entiers naturels (0,1,2,…)
ℤ : entiers relatifs
𝔻
: décimaux (ex : 1,25)
ℚ
: rationnels (quotients a/b, b≠0)
ℝ
: réels (contient aussi les irrationnels comme √2, π)
2. Intervalles de ℝ
Notation Signification
[ a ; b ] a ≤ x ≤ b
] a ; b [ a < x < b
[ a ; b [ a ≤ x < b
[ a ; + ∞ [ x ≥ a
]− ∞ ; a [ x < a
Opérations : intersection (∩) = éléments communs ; réunion (∪) = tous les éléments.
Exemple : [ 1 ; 5 ] ∩ [ 3 ; 8 ] = [ 3 ; 5 ] et [ 1 ; 5 ] ∪ [ 3 ; 8 ] = [ 1 ; 8 ]
3. Valeur absolue
∣ x ∣ = x si x ≥ 0 ; ∣ x ∣ = − x si x < 0
Propriétés clés :
|x| représente la distance entre x et 0 ; |x − a| = distance entre x et a
| x | = a ( a > 0 ) ⟺ x = a ou x = − a
| x | < a ( a > 0 ) ⟺ − a < x < a ⟺ x ∈ ]− a ; a [
| x | > a ( a > 0 ) ⟺ x < − a ou x > a
Exemple : Résoudre | x − 3 | < 2 ⟺ − 2 < x − 3 < 2 ⟺ 1 < x < 5 → S = ] 1 ; 5 [

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4. Identités remarquables ( rappel du collège — indispensables pour factoriser )
( a + b )
2
= a
2
+ 2 ab + b2 ; ( a − b )
2
= a
2
− 2 ab + b2 ; a
2
− b
2
= ( a − b )( a + b )
5. Radicaux (racines carrées)
√a existe seulement si a ≥ 0
√ ( a × b ) = √ a × √ b ( a , b ≥ 0 )
√ ( a² ) = | a |
Rationaliser
: multiplier par l'expression conjuguée
1 2
Exemple : = 2
Cha p i tr e 1 : É qu a t i ons e t I n é qu a t i ons d u 1 e r deg r é
1. Équation du 1er degré
b
ax + b = 0 (a≠0) →
x = −
a
2. Équation produit nul (très utilisée)
A ( x ) × B ( x ) = 0 ⟺ A ( x ) = 0 ou B ( x ) = 0
Exemple : ( x − 2 )( 3x + 1 ) = 0 → x = 2 ou x = − 1 / 3
3. Équation avec valeur absolue
Exemple : | 2x − 1 | = 5 → 2x − 1 = 5 ou 2x − 1 = − 5 → x = 3 ou x = − 2
4. Inéquation du 1er degré
Règle essentielle : diviser/multiplier par un négatif⟹ on change le sens Exemple : −2x+4
> 0 → x < 2 → S = ]− ∞ ; 2 [
5. Inéquation avec valeur absolue
Exemple : | x + 1 | ≥ 3 ⟺ x + 1 ≤ − 3 ou x + 1 ≥ 3 ⟺ x ≤ − 4 ou x ≥ 2
6. Système de deux équations à deux inconnues
x + y = 5
x − y = 1
⇒ x = 3, y = 2 (par addition)
7. Système d ' inéquations ( intersection des solutions )
Exemple : { x > 1 et x ≤ 4 } → S = ] 1 ; 4 ]
{

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(
2
)
Chapitre 2 : Équations et Inéquations du 2nd degré
1. Forme générale et forme canonique
ax² + bx + c = 0 (a≠0)
Forme canonique : ax
2
+ bx + c = a x +
b
−
Δ
2a 4a
( utile pour factoriser rapidement
ou trouver le minimum/maximum)
2. Discriminant Δ = b² − 4ac
Δ
S o l ut i ons
Factorisation
Δ > 0
x ₁ , x ₂ distinctes
a(x−x₁)(x−x₂)
Δ = 0
x ₀ = − b / 2a ( double )
a(x−x₀)²
Δ < 0
aucune solution réelle
non factorisable dans ℝ
x1,2 =
− b ±
2a
Exemple : x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 1 → x ₁ = 2 , x ₂ = 3 → x² − 5x + 6 =( x − 2 )( x − 3 )
3. Somme et produit des racines
b c
S = x
1
+ x
2
= −
;
P
=
x
1
x
2
=
a a
Utile pour vérifier une résolution ou construire une équation connaissant S et P :
x
2
− Sx + P = 0
4. Signe du trinôme ax²+bx+c
Δ<0 : signe de a partout
Δ=0
: signe de a partout saufen x₀ (nul)
Δ>0 : signe de a à l'extérieur des racines, signe de (−a) entre les racines
Exemple : x²−5x+6 (racines 2,3) → positifsi x<2 ou x>3 ; négatifsi 2<x<3
5. Inéquation du 2nd degré
Exemple : x² − 5x + 6 ≤ 0 → S =[ 2 ; 3 ]
6. Signe d ' un quotient de deux trinômes ( tableau de signes )
On étudie séparément le signe du numérateur et du dénominateur, puis on combine dans

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un seul tableau (⚠ le dénominateur ne doit jamais être nul).
x − 1
Exemple : x2
− 4 ≥
0 → étudier les signes de (x−1) et de (x²−4)=(x−2)(x+2), combiner,
exclure x=±2.
7. Équations se ramenant au 2nd degré (équations bicarrées)
Type ax⁴+bx²+c=0 : poser X = x², résoudre en X, puis revenir à x. Exemple : x⁴−5x²+4=0 →
X²−5X+4=0 → X=1 ou X=4 → x=±1 ou x=±2
Cha p i tr e 3 : P o l ynôm e s
1. Définition et vocabulaire
P ( x ) = a
n
x
n
+ ⋯ + a
1
x + a
0
Degré = plus grand exposant à coefficient non nul.
2. Polynômes égaux
Deux polynômes sont égaux ⟺ ils ont les mêmes coefficients pour chaque degré
(identification). Exemple : Si ax²+bx+c = 2x²−3x+1 pour tout x, alors a=2, b=−3, c=1
3. Opérations
Addition/soustraction (termes de même degré) ; multiplication (distributivité). Exemple :
( x² + 1 )( x − 3 ) = x³ − 3x² + x − 3
4. Racine d'un polynôme
a racine de P ⟺ P(a)=0 Exemple : P(x)=x²−4 → P(2)=0 → 2 est racine
5. Théorème de factorisation
Si a est racine de P, alors : P(x) = (x−a)·Q(x), avec deg(Q) = deg(P) − 1
6. Division euclidienne de polynômes
P ( x ) = D ( x ) × Q ( x ) + R ( x ), deg( R ) < deg( D )
Exemple : x³ − 2x² − x + 2 divisé par ( x − 1 ) → Q ( x )= x² − x − 2 , R = 0
7. Méthode complète : factoriser un polynôme de degré 3
1. Trouver une racine évidente a (tester 0, ±1, ±2…)
2. Diviser P(x) par (x−a) → obtenir un trinôme Q(x)
3. Factoriser Q(x) avec Δ
Exemple : P ( x )= x³ − 2x² − x + 2 P ( 1 )= 0 → P ( x )=( x − 1 )( x² − x − 2 )=( x − 1 )( x − 2 )( x + 1 )
8. Équations polynomiales de degré ≥ 3

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On factorise puis on utilise l'équation produit nul. Exemple : x³−2x²−x+2=0 → (x−1)(x−2)
( x + 1 )= 0 → x∈ {− 1 ; 1 ; 2 }
Chapitre 4 : Généralités sur les fonctions
1. Vocabulaire de base
f: x ↦ f(x) — image de x par f
Si y=f(x), x est un antécédent de y
Courbe représentative Cf: ensemble des points M(x ; f(x))
2. Ensemble de définition Df
Règles à connaître :
Fraction
: dénominateur ≠ 0
Racine carrée
: expression sous la racine ≥ 0
Exemples :
f ( x )= 1 /( x − 2 ) → Df = ℝ { 2 }
f ( x )= √ ( x − 1 ) → Df =[ 1 ;+ ∞ [
f(x)=√(x−1)/(x−3) → Df=[1;3[∪]3;+∞[ (combiner les deux conditions)
3. Sens de variation ( méthode rigoureuse )
Pour x ₁ , x ₂ ∈ I avec x ₁ < x ₂ , on étudie le signe de f ( x ₁ )− f ( x ₂ ) :
Si f(x₁)−f(x₂) < 0 (même sens) → fcroissante
Si f(x₁)−f(x₂) > 0 (sens contraire) → fdécroissante
Exemple : f ( x )= x² sur [ 0 ;+ ∞ [ f ( x ₁ )− f ( x ₂ )=( x ₁ − x ₂ )( x ₁ + x ₂ ) ; comme x ₁ < x ₂ et x ₁ + x ₂ > 0 → produit
négatif→ fcroissante ✓
4. Parité
f paire : Dfsymétrique par rapport à 0, et f(−x)=f(x) → Cfsymétrique / axe des
ordonnées
f impaire : Dfsymétrique par rapport à 0, et f(−x)=−f(x) → Cfsymétrique / origine O
Exemple : f(x)=x² paire ; f(x)=x³ impaire ; f(x)=x+1 ni paire ni impaire
5. Extremums / fonction bornée
fest majorée par M sur I si f(x) ≤ M pour tout x∈I
fest minorée par m sur I si f(x) ≥ m pour tout x∈I
fest bornée si elle est majorée et minorée