Logique et raisonnement : 12 exercices corrigés pour Terminale Prépa

Terminale — Prépa
Logique et raisonnement : 12 exercices corrigés
Négation · Quantificateurs · Choix du raisonnement
www.excellence-maths.fr — Par un professeur diplômé de l’École Polytechnique
Table des matières
1 Les réflexes à activer 1
2 Niveau Terminale — bases () 1
2.1 Énoncés .............................................. 1
2.2 Corrigés ............................................. 2
3 Application directe — quantificateurs () 3
3.1 Énoncés .............................................. 3
3.2 Corrigés ............................................. 3
4 Approfondissement — choix du raisonnement () 4
4.1 Énoncés .............................................. 4
4.2 Corrigés ............................................. 4
5 Synthèse — niveau concours () 4
5.1 Énoncé .............................................. 4
5.2 Corrigé .............................................. 5
6 Pour aller plus loin 5
1. Les réflexes à activer
[Règles de négation à connaître par cœur]
— Négation de ∀x,P(x): c’est ∃x,¬P(x).
— Négation de ∃x,P(x): c’est ∀x,¬P(x).
— Négation de P=⇒Q: c’est P∧ ¬Q(hypothèse vraie, conclusion fausse).
— Négation de P∧Q: c’est ¬P∨ ¬Q(loi de De Morgan).
Pour nier un énoncé quantifié, on échange chaque ∀en ∃(et inversement) en descendant de
gauche à droite, puis on nie la propriété finale.
excellence-maths.fr 1 / 5

Logique et raisonnement : 12 exercices corrigés Excellence Maths
Quel indice déclenche quel raisonnement
Ce que dit l’énoncé Raisonnement
« Montrer que .. . est impossible / faux » Par l’absurde
Implication difficile de front Par contraposée
« La propriété n’est pas toujours vraie » Par contre-exemple
Propriété dépendant de n∈NPar récurrence
Selon le signe, la parité, la valeur absolue Par disjonction de cas
« Il existe un unique . . . tel que » Par analyse-synthèse
2. Niveau Terminale — bases ()
2.1. Énoncés
Exercice 1 — Implications vraies ou fausses
Pour tout réel x, indique si chaque implication est vraie ou fausse.
a) x=2=⇒x2=4
b) x2=4=⇒x=2
c) x>3=⇒x>1
d) x>1=⇒x>3
Exercice 2 — Négation en langage courant
Écris la négation des phrases suivantes.
a) « Tous les élèves de la classe ont eu la moyenne. »
b) « Il existe un nombre entier pair supérieur à 100. »
Exercice 3 — Réciproque et contraposée
Soit l’implication : « si un quadrilatère est un carré, alors c’est un rectangle ». Énonce sa réciproque
et sa contraposée, puis dis lesquelles sont vraies.
Exercice 4 — Le bon symbole
Complète par =⇒,⇐=ou ⇐⇒.
a) « x=0 » . .. « x2=0 »
b) « ABCD est un carré » ... « ABCD est un losange »
c) « nest divisible par 4 » . .. « nest pair »
2.2. Corrigés
Exercice 1.
a) Vraie : si x=2 alors x2=4.
b) Fausse :x=−2 vérifie x2=4 mais pas x=2. C’est la réciproque de a), et elle est fausse.
c) Vraie : tout réel plus grand que 3 est plus grand que 1.
d) Fausse :x=2 est plus grand que 1 mais pas que 3.
excellence-maths.fr 2 / 5

Logique et raisonnement : 12 exercices corrigés Excellence Maths
À retenir : b) et d) sont les réciproques de a) et c). Une implication vraie n’entraîne jamais que sa
réciproque le soit.
Exercice 2.
a) « Il existe au moins un élève de la classe qui n’a pas eu la moyenne. » (Un « tous » se nie en « il
existe un . . . qui ne. . .».)
b) « Tout nombre entier pair est inférieur ou égal à 100. »
Erreur classique : nier a) par « aucun élève n’a eu la moyenne ». La négation de « tous » n’est pas «
aucun », mais « pas tous ».
Exercice 3.
Réciproque : « si un quadrilatère est un rectangle, alors c’est un carré ». Fausse (un rectangle 3 × 5
n’est pas un carré).
Contraposée : « si un quadrilatère n’est pas un rectangle, alors ce n’est pas un carré ». Vraie, car
elle a la même valeur de vérité que l’implication de départ, qui est vraie.
Exercice 4.
a) ⇐⇒ : dans R,x2=0 équivaut à x=0.
b) =⇒: un carré est un losange, mais un losange n’est pas forcément un carré.
c) =⇒: un multiple de 4 est pair, mais 6 est pair sans être multiple de 4.
3. Application directe — quantificateurs ()
3.1. Énoncés
Exercice 5 — Négation d’énoncés quantifiés
Écris la négation de chacun des énoncés suivants.
a) ∀x∈R,x2≥0
b) ∃n∈N,n2=2
c) ∀ε>0, ∃N∈N,∀n≥N,|un−ℓ| ≤ ε
Exercice 6 — L’ordre des quantificateurs compte
Ces deux énoncés sont-ils vrais?
a) ∀x∈R,∃y∈R,y>x
b) ∃y∈R,∀x∈R,y>x
Exercice 7 — Traduire et juger
Soit f une fonction définie sur R . Traduis en français, puis dis à quelle propriété usuelle correspond
chaque énoncé.
a) ∃M∈R,∀x∈R,f(x)≤M
b) ∀x∈R,f(−x) = f(x)
Exercice 8 — Négation d’implications
Écris la négation des énoncés suivants.
a) ∀x∈R,(x>2=⇒x2>4)
b) « Si nest premier, alors nest impair. »
excellence-maths.fr 3 / 5

Logique et raisonnement : 12 exercices corrigés Excellence Maths
3.2. Corrigés
Exercice 5.
a) ∃x∈R,x2<0.
b) ∀n∈N,n2̸=2.
c) On échange chaque quantificateur en descendant, puis on nie l’inégalité finale :
∃ε>0, ∀N∈N,∃n≥N,|un−ℓ|>ε
C’est la négation de « (un) converge vers ℓ » : il existe une marge ε qu’on dépasse une infinité de fois.
Exercice 6.
a) Vraie : à chaque xfixé, on peut choisir y=x+1. Ici ydépend de x.
b) Fausse : elle affirme l’existence d’un réel y plus grand que tous les réels à la fois. Un tel majorant
de Rn’existe pas.
Leçon : intervertir ∀ et ∃ change le sens. Dans « ∀x∃y », le y peut dépendre de x ; dans « ∃y∀x », le
même ydoit convenir pour tous les x.
Exercice 7.
a) « Il existe un réel M tel que, pour tout réel x , f(x)≤M » : c’est la définition de « f est majorée
». Le même Mdoit convenir pour tous les x(∃M∀x).
b) « Pour tout réel x,f(−x) = f(x)» : fest paire.
Exercice 8.
a) La négation d’un « pour tout ... implication » est « il existe . . . hypothèse vraie et conclusion
fausse » :
∃x∈R,(x>2∧x2≤4)
(Cet énoncé est faux, ce qui confirme que l’implication de départ est vraie.)
b) « Il existe un entier nqui est premier et pair. » C’est vrai : n=2.
4. Approfondissement — choix du raisonnement ()
4.1. Énoncés
Exercice 9 — Par contraposée
Soit n∈N. Démontre que : si n2est impair, alors nest impair.
Exercice 10 — Par l’absurde
Démontre qu’il n’existe pas de plus petit rationnel strictement positif.
Exercice 11 — Par disjonction de cas
Démontre que pour tout n∈N,n(n+1)est pair.
4.2. Corrigés
Exercice 9.
L’attaque directe est pénible : on préfère la contraposée « si nest pair, alors n2est pair ».
Supposons n pair : il existe k∈N tel que n= 2 k . Alors n2= 4 k2= 2 ( 2 k2) , qui est pair. La
contraposée est démontrée, donc l’implication initiale aussi.
Rédaction attendue : annoncer explicitement « démontrons la contraposée ».
Exercice 10.
excellence-maths.fr 4 / 5

Logique et raisonnement : 12 exercices corrigés Excellence Maths
Supposons par l’absurde qu’il existe un plus petit rationnel strictement positif, noté r . Alors r> 0
et tout rationnel strictement positif est ≥r.
Considérons
r
2
. C’est un rationnel, strictement positif, et
r
2<r
. On a donc un rationnel strictement
positif plus petit que r: contradiction avec la minimalité de r.
L’hypothèse est absurde : un tel plus petit rationnel n’existe pas.
Exercice 11.
On distingue deux cas selon la parité de n.
Cas 1 : npair, n=2k. Alors n(n+1) = 2k(n+1)est pair.
Cas 2 : nimpair, n=2k+1, donc n+1=2(k+1)est pair, et n(n+1) = n·2(k+1)est pair.
Dans tous les cas n(n+ 1 ) est pair. Les deux cas couvrent bien toutes les valeurs de n : c’est
l’exigence d’exhaustivité propre à la disjonction de cas.
5. Synthèse — niveau concours ()
5.1. Énoncé
Exercice 12 — Analyse-synthèse
Soit f:R→R une fonction quelconque. Démontre qu’il existe un unique couple (p , i) où p est
paire et iimpaire, tel que f=p+i.
5.2. Corrigé
Exercice 12.
Analyse. Supposons une telle décomposition f=p+i. Pour tout x:
f(x) = p(x) + i(x),f(−x) = p(−x) + i(−x) = p(x)−i(x).
En additionnant puis soustrayant, on obtient nécessairement :
p(x) = f(x) + f(−x)
2,i(x) = f(x)−f(−x) 2.
L’analyse impose donc une unique candidate : le couple est déterminé.
Synthèse. Posons ces deux fonctions. On vérifie que p est paire ( p(−x) = p(x) ), que i est impaire
(i(−x) = −i(x)) et que p+i=f. Le couple existe.
Conclusion. Existence (synthèse) et unicité (analyse) sont établies.
Les 4 erreurs qui coûtent des points en colle
— Nier « tous » par « aucun ». La bonne négation de « tous les x vérifient P(x) » est « il existe
au moins un xqui ne vérifie pas P(x)».
— Oublier de changer l’ordre en niant. Négation de ∀x∃y , P(x , y) : c’est ∃x∀y , ¬P(x , y) , pas
∀x∃y,¬P(x,y).
— Nier une implication par une implication. Négation de P=⇒Q : c’est P∧ ¬Q , pas
P=⇒ ¬Q.
— Confondre implication et réciproque. Ce qui équivaut à P=⇒Q , c’est sa contraposée
¬Q=⇒ ¬P, pas sa réciproque Q=⇒P.
excellence-maths.fr 5 / 5