Annexe A : Espaces vectoriels et applications linéaires

Annexe A
Espaces vectoriels, applications linéaires
A.1 Espaces vectoriels
Dans toute la suite de ce chapitre Kest corps commutatif(note 1. Le programme impose que ce soit un un sous-corps de C.
Mais tous ce qui va suivre reste valable si Kest un corps (commutatif) quelconque par exemple Z
pZsi pest premier.
Définition A.1 Un espace vectoriel Esur le corps Kest un ensemble muni d’une loi interne +et d’une loi externe .à
opérateurs dans Ktelles que :
—(E, +) est un groupe commutatif.
—∀(α, β)∈K2,∀x∈E:(α+β).x =α.x +β.x,(αβ).x =α.(β.x).
—∀α∈K,∀(x, y)∈E2:α.(x+y) = α.x +α.y.
—∀x∈K:1.x =x.
En toute rigueur un espace vectoriel devrait être un triplet (E, +, .), voire même un quadruplet (E, +, ., (K,+,×)). On
remarquera en particulier que lorsqu’on calcule dans un espace vectoriel on calcule avec une addition interne sur Eet une
autre sur K. Ce ne sont pas les mêmes opérations, même si elle sont notées par le même symbole +. De même il y a deux
mutiplications, une multiplication interne sur Ket une multiplication externe sur Eà opérateurs dans K. Très souvent ces
lois sont sous-entendues par juxtapositions des variables.
Il y a donc un risque de confusion. Pour augmenter l’information contenue dans une formule il est donc traditionnel, et nous
nous efforcerons de respecter cette tradition, d’utiliser les lettres grecques pour les scalaires et les lettres latines pour les
vecteurs.
On écrit donc par exemple (α+β)x=αx +βx au lieu de l’écriture plus précise mais trop lourde :
(α+Kβ).x =α.x +Eβ.x
Retenez qu’une expression α+xheurte un lecteur mathématicien, car pour lui αest plutôt un scalaire et xun vecteur. Que
dire si αest effectivement un scalaire et xun vecteur !
De même une expression xα n’a pas beaucoup de sens car la multiplication externe est une multiplication à gauche.
A.2 Bases
On peut supposer que les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont des espaces vectoriels sur un sous-corps Kde C
(convention du programme). Mais il nous suffira de choisir un corps commutatif de caractéristique différente de 2.
A.2.1 Familles à support fini
Une famille (λi)i∈Id’éléments d’un groupe commutatif est dite à support fini si et seulement si l’ensemble des ipour lesquels
λi6= 0 est fini. On peut parler d’une famille de vecteurs à support fini, d’une famille de scalaires à support fini. Remarquons
que la famille (λixi)est à support fini si l’une des deux familles (λi)ou (xi)est à support fini (mais la réciproque n’est pas
vraie).
1. Dans le programme, et cela correspond au consensus actuel entre les mathématiciens, un corps est toujours commutatif. Cela n’a pas toujours
été le cas. Auparavant on parlait de corps pour désigner un anneau avec élément unité (maintenant les anneaux sont aussi supposé unitaires) dans
lequel tout élément non nul est inversible. L’appellation actuelle pour un tel objet est « algèbre à division ».
1

2ANNEXE A. ESPACES VECTORIELS, APPLICATIONS LINÉAIRES
Par exemple, l’ensemble K[X]est l’ensemble des suites d’éléments de K, à support fini.
Soit (xi)i∈Iune famille à support fini d’éléments d’un groupe commutatif, notons Kl’ensemble des itels que λi6= 0. Si J
est une partie de Icontenant Kalors Pi∈Jxi=Pi∈Kxi. Le membre de gauche est indépendant de Jon le note Pi∈Ixi.
On vérifie facilement que dans un groupe commutatif, si (xi)i∈Iet (yi)i∈Isont deux familles à support fini alors il en est de
même de (xi+yi)i∈Iet
X
i∈I
(xi+yi) = X
i∈I
xi+X
i∈I
yi.
Dans un espace vectoriel on pourra de même multiplier par un scalaire.
Soit (λi)i∈Iune famille de scalaires à support fini, (xi)i∈Iune famille quelconque de vecteurs, la famille (λixi)i∈Iest à
support fini et sa somme Pi∈Iλixis’appelle une combinaison linéaire des (xi).
Proposition A.1 Si Sest une partie d’un espace vectoriel, le sous-espace vectoriel engendré par Sest l’ensemble des
combinaisons linéaires Ps∈Sλss.
A.2.2 Familles libres, génératrices ; bases
Définition A.2 Une famille (xi)i∈Id’éléments de l’espace vectoriel Eest libre si et seulement si la seule famille à support
fini de scalaires (λi)i∈Ipour laquelle Pi∈Iλixi= 0 est la famille nulle.
Notons K(I)l’ensemble des familles à support fini d’éléments de K, alors formellement la famille (xi)i∈Id’éléments de l’espace
vectoriel Eest libre si et seulement si :
∀(λi)∈K(I):X
i∈I
λixi= 0 ⇒ ∀i∈I λi= 0.
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est dite liée.
Exemple : la famille (ecx)c∈Cest libre.
Définition A.3 Un famille (xi)i∈Ide vecteurs de l’espace vectoriel Eest génératrice si et seulement si l’ensemble {xi;i∈I}
engendre E.
Ceci s’écrit formellement :
∀x∈E∃(λi)∈K(I)x=X
i∈I
λixi.
Définition A.4 Une famille de vecteurs qui est à la fois libre et génératrice s’appelle une base.
Ceci s’écrit formellement :
∀x∈E∃! (λi)∈K(I)x=X
i∈I
λixi.
Les λis’appelle les coordonnées ( ou composantes) de xdans dans la base.
Exemple (officiel) : la famille (Xn)n∈Nest une base de K[X].
Exemple (officiel) : on note K[x1, . . . , xn]la sous-algèbre des fonctions numériques engendrée par les fonctions
(x1, . . . , xn)7→ xk,1≤k≤n.
Si Kest infini, une base de cet espace vectoriel est la famille
(xi1
1xi2 2· · · xin
n)(i1,...,in)∈Nn.
A.2.3 Bases et applications linéaires
Une application linéaire d’un espace vectoriel Evers un espace vectoriel Fest un morphisme d’espaces vectoriel. C’est donc
une application fvérifiant :
∀(x, y, λ)∈E2×Kf(x+y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x).

A.3. SOMMES, SOMMES DIRECTES 3
Proposition A.2 Donnons nous une base (ei)i∈Ide vecteurs d’un espace vectoriel E(sur K) et une famille (fi)i∈Id’éléments
d’un espace vectoriel F(sur K). Il existe une unique application linéaire fde Evers Ftelle que pour tout ion ait f(ei) = fi.
C’est l’application telle que pour toute famille (λi)∈K(I):
f(X
i∈I
λiei) = X
i∈I
λifi.
Cette application est injective si la famille (fi)i∈Iest libre, surjective si elle est génératrice. C’est un isomorphisme si la
famille est une base.
A.3 Sommes, sommes directes
A.3.1 Somme d’une famille de sous-espaces
Définition A.5 Soit (Ei)i∈Iune famille (finie) de sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de ces sous-espaces le
plus petit sous-espace vectoriel de Equi contient la réunion des Ei. On le note Pi∈IEi. Il est formé des sommes Pi∈Ixi
(à support fini dans le cas où l’ensemble In’est pas fini), où pour tout il’élément xiappartient à Ei.
Définition A.6 Avec les mêmes notations, les conditions suivantes sont équivalentes :
∀j∈I EjTPi∈I−{j}Ei={0},
∀(xi)∈E(I)(Pi∈Ixi= 0 et ∀i∈I xi∈Ei)⇒ ∀i∈I xi= 0,
∀x∈Pi∈IEi∃!(xi)∈E(I)∀i∈I xi∈Ei)et x=Pi∈Ixi.
Si ces hypothèses sont vérifiées on dit que la somme des Eiest directe et on écrit :
X
i∈I
Ei=M
i∈I
Ei.
Exemple : deux sous-espaces.
Exemple : trois sous-espaces.
Définition A.7 Soit Fun sous-espace vectoriel de E, tout sous-espace Gde Etel que F⊕G=Es’appelle un supplémentaire
de F. On dit aussi que Fet Gsont supplémentaires.
Attention ! Ne pas confondre supplémentaire et complémentaire.
A.3.2 Cas de la dimension finie
Par définition un espace vectoriel est de dimension finie s’il possède un système générateur fini. Il possède alors une base de
cardinal fini et toute les bases ont le même cardinal. Ce cardinal s’appelle la dimension de l’espace.
Dans un espace vectoriel Ede dimension finie n, on a les résultats suivants :
– Toute famille génératrice possède au moins nvecteurs, et si elle possède nvecteurs c’est une base de E.
– Toute partie libre possède au plus nvecteurs, et si elle possède nvecteurs c’est une base.
– Toute partie libre (même vide) peut être complétée en une base en extrayant des vecteurs d’une famille génératrice.
(En particulier de toute famille génératrice on peut extraire une base).
– Tout sous espace vectoriel Fde est de dimension finie et inférieure à n.
– Deux sous-espaces vectoriels de Esont égaux si l’un contient l’autre et ils sont de même dimension.
– Si Fest un autre espace de dimension finie, il en est de même de L(E, F )et E×F, qui sont de dimensions dim E. dim F
et dim E+ dim F.
Si (Ei)1≤i≤pest une famille finie de sous-espaces de dimension finie, alors leur somme est de dimension finie, au plus égale
à la somme des dimensions des sous-espaces considérés. De plus la somme est directe si et seulement si la dimension de la
somme est égale à la somme des dimensions.
Plus précisément on a le théorème des quatre dimensions :
Théorème A.1 (théorème des quatre dimensions) Si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriel de dimension finie, il en
est de même de F+Get F∩Get :
dim F+ dim G= dim(F+G) + dim(F∩G).

4ANNEXE A. ESPACES VECTORIELS, APPLICATIONS LINÉAIRES
Théorème A.2 Si (Ei)i∈Iest une famille finie de sous-espaces en somme directe d’un espace vectoriel Ealors
dim MEi=Xdim Ei
De plus E=LEisi et seulement dim E=Pdim Ei.
Proposition A.3 Dans un espace vectoriel de dimension finie, tout sous-espace admet au moins un supplémentaire.
Remarque : il en admet généralement une infinité.
Un exemple officiellement au programme : Dans K[X]l’idéal engendré par un polynôme de degré n+ 1 est un sous-espace
vectoriel qui admet pour supplémentaire l’ensemble Kn[X]des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
A.3.3 Bases adaptées
Définition A.8 Une base (e1, . . . , en)d’un espace vectoriel E(de dimension finie) est adaptée au sous espace Fde Es’il
existe un ptel que (e1, . . . , ep)soit une base de F. Elle est adaptée à la décomposition E=F⊕Gsi il existe ptel que
(e1, . . . , ep)soit une base de Fet (ep+1, . . . , en)une base de G
Une telle définition s’étend facilement à celle d’une base adaptée à une décomposition en somme directe de rsous-espaces. Si
E=L1≤i≤rEion obtient une base adaptée à cette décomposition en concaténant des base B1,...,Brdes Ei. En particulier
il existe toujours au moins une base adaptée.
A.4 Recollement d’applications linéaires
Si E=Li∈IEiet si (ui)i∈Iest une famille d’applications linéaires de Eivers F, alors il existe une unique application
linéaire de Evers Fdont la restriction à chaque Eisoit ui.
Un exemple : Si E=L1≤i≤rEi, il existe une unique application linéaire pitelle pi(x) = xsi xappartient à Eiet pi(x)=0
si xappartient à Ej,i6=j.piest la projection sur Eiparallèlement à Lj6=iEj. La famille (p1, . . . , pr)vérifie
1. ∀i pi◦pi=pi(piest un projecteur) ;
2. pour i6=j pi◦pj= 0 ;
3. IdE=p1+· · · +pr.
Réciproquement si on se donne une famille (p1, . . . , pr)d’applications linéaires vérifiant les relations précédentes, alors Eest
la somme directe de Im piet piest la projection sur Im piparallèlement à Ker pi=Lj6=iEj.
A.5 Image et noyau d’une application linéaire
On rappelle que le noyau Ker f={x;f(x)=0}et l’image Im f=f(E) = {f(x); x∈E}d’une application linéaire fsont
des sous-espaces vectoriels de Eet F.fest injective si et seulement si Ker f={0}, surjective si et seulement si Im f=F.
Exercice : D’un manière plus générale, prouver que l’image d’un sous-espace vectoriel et l’image réciproque d’un sous-espace
vectoriel sont des sous-espaces vectoriels.
Exemple : Soit (x1, . . . , xp)une famille de vecteurs de E, l’application
f:Kp→E
(λ1, . . . , λp)7→ Pp
k=1 λkxk
est linéaire. Elle est injective si et seulement si (x1, . . . , xp)est libre, surjective si et seulement si (x1, . . . , xp)est génératrice.
C’est un isomorphisme si et seulement si (x1, . . . , xp)est une base de E.
Théorème A.3 Si uest une application linéaire de Evers F, la restriction de uà tout supplémentaire de Ker udéfinit un
isomorphisme de ce supplémentaire sur Im u.
Remarque : il n’est pas besoin de supposer les espaces de dimension finie.
Application : Le théorème du rang.
Théorème A.4 (Le théorème du rang) Si uest une application linéaire d’un space de dimension finie Evers un espace
F, qui n’est pas supposé de dimension finie, alors Im uest de dimension finie et en notant rg (u) = dim Im u(le rang de u)
on a :
dim E= dim Ker u+ rg u.
Rappel : caractérisation des applications linéaires injectives, surjectives et bijectives en dimension finie.

A.5. IMAGE ET NOYAU D’UNE APPLICATION LINÉAIRE 5
A.5.1 Application : Le polynôme d’interpolation de Lagrange
A.5.1.1 Première version
Soit (a0, . . . , an)n+ 1 éléments disctincts du corps K. L’application
φ:K[X]→Kn+1
P7→ (P(a0), . . . , P (an))
est linéaire. D’après le théorème de Gauss son noyau est l’idéal engendré par T= (X−a0)· · · (X−an). Un supplémentaire de
ce sous-espace est Kn[X],φréalise donc un isomorphisme de Kn[X]sur son image. Celle-ci est par conséquent de dimension
n+ 1, et donc égale à Kn+1.Ceci prouve que φest un isomorphisme. Il en résulte :
∀(y0, . . . , yn)∈Kn+1 ∃!P∈Kn[X]∀i∈[0, n]P(ai) = yi.
Si les yisont les valeurs d’une fonction en les ai, on dit que Pest le polynôme d’interpolation de Lagrange de fen ces points.
L’inconvénient de cette version est qu’elle n’est pas constructive. Elle ne nous donne pas directement le polynôme. Son
avantage est qu’elle peut s’adapter pour obtenir un polynôme d’interpolation à un ordre supérieur.
A.5.1.2 Deuxième version
Elle peut déjà avoir été vue lors d’une extension du lemme des restes chinois aux polynômes.
Il s’agit en fait de résoudre les congruences
P≡yimod (X−ai),0≤i≤n.
Puisque les (X−ai)sont premiers entre eux deux à deux, d’après le lemme des restes chinois il existe une unique solution
modulo T. Ceci ce démontre d’ailleurs directement : deux solutions sont congrues modulo Tet si Ptout polynôme congru à
pmodulo Test aussi une solution ; il suffit donc d’obtenir une solution. Pour cela on adapte la méthode de Gauss pour les
entiers à K[X]. On cherche une famille de polynômes Litels que pour tout ion ait Li≡1mod (X−ai)et pour jdifférent
de i Li≡0mod (X−aj). Un tel polynôme de degré inférieur ou égal à nest nécessairement de la forme
Li=λY
j6=i
(X−aj),
la condition Li≡1mod (X−ai)conduisant finalement à
Li=Qj6=i(X−aj)
Qj6=i(ai−aj).
Une solution du système de congruences est
n
X
i=0
yiLi=
n
X
i=0
yiQj6=i(X−aj)
Qj6=i(ai−aj).
C’est bien un polynôme de degré inférieur ou égal à n.
A.5.1.3 Troisième version
Résolution directe d’un système , en utilisant un déterminant de Vandermonde 2.
Proposition A.4 Soit E0un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel E. Soient F1et F2deux supplémentaires de E0, alors
la projection de Esur F1parallèlement à E0induit un isomorphisme de F2sur F1
Définition A.9 On dit qu’un sous-espace Fde Eest de codimension finie si il admet un supplémentaire de dimension finie.
Sa codimension est la dimension de ce supplémentaire.
Remarque : d’après la proposition précédente tous les supplémentaires ont même dimension, la définition est donc cohérente.
Remarque : on peut montrer qu’un sous-espace Fest de codimension finie si et seulement si il existe Gde dimension finie
tel que F+G=E.
2. Vandermonde Alexandre Paris 1735-Paris 1796