Mathématiques pour le Machine Learning - Exercices Complètes

Mathématiques pour le Machine
Learning
Série d’Exercices Complète
Parties 1 et 2
Structure des exercices
§1 Distance, norme et continuité
§2 Dérivées partielles et gradient
§3 Différentielle et Jacobienne
§4 Chaîne de dérivation
§5 Extrema et classification
§6 Hessienne et critères d’optimalité
§7 Exercices synthétiques (Partie 1 + 2)
Année universitaire 2025–2026

0M4ML — Série d’Exercices
Table des matières
1 Distance, Norme et Continuité 2
1.1 Norme euclidienne et distance ......................... 2
1.2 Boules ouvertes et ensembles ouverts ..................... 2
1.3 Continuité .................................... 3
2 Dérivées Partielles et Gradient 3
2.1 Dérivées partielles d’ordre 1 .......................... 3
2.2 Dérivées partielles d’ordre 2 .......................... 4
2.3 Gradient ..................................... 4
3 Différentielle et Jacobienne 5
3.1 Différentielle ................................... 5
3.2 Jacobienne .................................... 5
4 Règle de la Chaîne 6
5 Extrema Locaux 6
5.1 Points critiques ................................. 6
6 Hessienne et Classification d’Extrema 7
6.1 Calcul et interprétation de la Hessienne .................... 7
6.2 Problèmes d’optimisation appliqués ...................... 8
7 Exercices Synthétiques (Parties 1 et 2) 8
1

1M4ML — Série d’Exercices
1 Distance, Norme et Continuité
1.1 Norme euclidienne et distance
Exercice 1.1. Calcul de normes
Calculez ∥v∥pour les vecteurs suivants :
1. v= (3,4)
2. v= (1,1,1)
3. v= (−2,1,2,0)
Exercice 1.2. Distance entre points
Calculez la distance euclidienne entre les points suivants :
1. A= (0,0) et B= (3,4)
2. A= (1,2,3) et B= (4,5,6)
3. A= (−1,2) et B= (2,−2)
Exercice 1.3. Propriétés de la norme
Vérifiez les propriétés de la norme pour x= (2,−1) et y= (1,3) :
1. Positivité : ∥x∥≥0(et égal à 0 ssi x= 0)
2. Homogénéité : ∥−2x∥= 2 ∥x∥
3. Inégalité triangulaire : ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥
1.2 Boules ouvertes et ensembles ouverts
Exercice 1.4. Boules ouvertes et intervalles
Pour chaque cas, décrivez la boule ouverte B(a, ρ):
1. Dans R:a= 2,ρ= 1. Écrivez sous forme d’intervalle.
2. Dans R2:a= (0,0),ρ= 2. Donnez l’équation et une description.
3. Dans R2:a= (1,1),ρ=√2. Quels points sont à la limite?
Exercice 1.5. Caractérisation d’ouverts
Pour chacun des ensembles suivants dans Rou R2, dites s’il est ouvert, fermé ou ni
l’un ni l’autre. Justifiez votre réponse.
1. U={x∈R:|x|<1}
2. U={x∈R:x > 0}
3. U={(x, y)∈R2:x2+y2≤1}
4. U={(x, y)∈R2:x2+y2>1}
5. U=R2\ {(0,0)}
2

2M4ML — Série d’Exercices
1.3 Continuité
Exercice 1.6. Limites et continuité
Étudiez la continuité des fonctions suivantes :
1. f(x)=x2+ 3x−1en x= 1
2. f(x) = 1
x−2en x= 2 et en x= 1
3. f(x, y) = x2+y2en (0,0) et en (1,1)
Exercice 1.7. Limite n’existe pas (chemins différents)
Pour la fonction f(x, y) = x2−y2
x2+y2définie sur R2\ {(0,0)}, montrez que la limite
lim(x,y)→(0,0) f(x, y)n’existe pas en étudiant des chemins d’approche différents. Sug-
gestion : considérez les droites y= 0 et y=x.
Exercice 1.8. Continuité de fonctions composées
Soient f(x) = 2x+ 1 et g(x, y)=x2+y. Montrez que (g◦f)est continue sur Ren
utilisant les opérations préservant la continuité.
Explicitez (g◦f)(x)et vérifiez que c’est bien continu.
2 Dérivées Partielles et Gradient
2.1 Dérivées partielles d’ordre 1
Exercice 2.1. Calcul de dérivées partielles
Calculez les dérivées partielles ∂f
∂x et ∂f ∂y pour :
1. f(x, y) = x2y+ 3xy2−5
2. f(x, y) = exy + ln(x)
3. f(x, y) = sin(x+y) cos(xy)
4. f(x, y) = x2
y2+ 1
Exercice 2.2. Dérivées partielles en dimension 3
Soit f(x, y, z) = x2y+y2z+z2x+xyz. Calculez ∂f
∂x ,∂f ∂y et ∂f ∂z .
Exercice 2.3. Dérivée directionnelle
Soit f(x, y) = x2+y2−xy et le point a= (1,1).
1. Calculez les dérivées partielles ∂f
∂x et ∂f ∂y en a.
3

2M4ML — Série d’Exercices
2. Calculez la dérivée directionnelle selon v= (1,1).
3. Quelle est la direction de plus grande croissance de fen a?
2.2 Dérivées partielles d’ordre 2
Exercice 2.4. Calcul de dérivées partielles secondes
Soit f(x, y) = x3y2+exy.
1. Calculez ∂f
∂x et ∂f ∂y .
2. Calculez les quatre dérivées d’ordre 2 : ∂2f
∂x2,∂2f ∂y2,∂2f
∂x ∂y et ∂2f ∂y ∂x.
3. Vérifiez le théorème de Schwarz.
Exercice 2.5. Dérivées secondes mixtes
Soit f(x, y) = sin(x2+y2).
1. Calculez ∂2f
∂x ∂y .
2. Calculez ∂2f
∂y ∂x.
3. Interprétez le résultat à la lumière du théorème de Schwarz.
2.3 Gradient
Exercice 2.6. Calcul du gradient
Calculez ∇fpour les fonctions suivantes :
1. f(x, y) = 3x2−2xy +y2
2. f(x, y, z) = √x2+y2+z2(pour (x, y, z)̸= (0,0,0))
3. f(x, y) = xsin y+ycos x
Exercice 2.7. Gradient et direction de croissance maximale
Soit f(x, y) = x2+ 2y2et le point P= (1,1).
1. Calculez ∇f(P).
2. Donnez un vecteur unitaire pointant dans la direction de plus grande crois-
sance.
3. Calculez le taux de variation maximal de fen P.
Exercice 2.8. Gradient orthogonal aux courbes de niveau
Soit f(x, y) = x2+ 4y2et le point P= (2,1).
1. Vérifiez que Pse trouve sur la courbe de niveau f(x, y) = 8.
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