Épreuve de Mathématiques Bac Burkina Faso 2022

Bac Burkina Faso 2022
Math´ematiques S´eries C-E
1er tour
Dur´ee : 4 heures
Coefficient : 6
Les calculatrices ne sont pas autoris´ees.
Exercice 1 (4 points)
On observe sur une grande p´eriode le nombre d’accidents de scooters `a un carrefour . Il est alors possible de
proposer la mod´elisation suivante :
Pour nscooters franchissant le carrefour durant une ann´ee , on admet que la variable al´eatoire Snqui totalise
le nombre d’accidents de scooters
`a ce carrefour , durant cette ann´ee , suit une loi binomiale d’esp´erance math´ematique ESn10 .
Soit Pla probabilit´e pour un scooter d’ˆetre accident´e `a ce carrefour pendant l’ann´ee consid´er´ee .
1) Calculer P, puis donner l’expression de PSnko`u kest un entier tel que 0 k n .
2-a) Prouver que ln P Sn0 10ln 110
n
10
n
pour tout entier naturel nnon nul , puis en d´eduire
lim
nP Sn0 .
b) D´emontrer que pour tout k, 0 k n 1 : P Snk1P Snkn k
n10
10
k1.
c) D´emontrer par r´ecurrence sur k, que : lim
nP Snk e 10 10k
k!,0k n .
3) On suppose que l’entier naturel nest suffisament grand pour que l’on puisse admettre que e10 10k
k!est
une approximation acceptable de PSnk.
Utiliser cette approximation pour calculer la probabilit´e qu’au cours de cette ann´ee il y ait au moins trois
accidents de scooters `a ce carrefour .
Exercice 2 (4 points)
Le plan Pest rapport´e `a un rep`ere orthonormal O,~
i,~ j(unit´e graphique 4 cm) , dans lequel on consid`ere
les points Asin 3t; 4 ; B3
2sin t; 2 cos tet C0; 4 sin t , t ´etant un param`etre r´eel donn´e .
Soit Gtle barycentre du syst`eme de points pond´er´es A, 1 , B, 1 , C, 1 .
1) Montrer que les coordonn´ees du point Gtsont : x t sin3tet y t 1 cos tsin t.
2) Lorsque le param`etre tvarie dans R, le barycentre d´ecrit une courbe C.
a) Etudier les positions relatives des points Gtet G t 2π, et en d´eduire que l’on peut restreindre le
domaine d’´etude `a π, π .
b) Etudier le sens de variations de xet y.
c) Dresser le tableau de variations conjoint de xet y.
d) Tracer la courbe C.

On donne 2 1,4 .
Probl`eme (12 points)
Partie A (5,25 points)
On consid`ere la fonction fde la variable r´eelle xd´efinie par fxln ln x.
On d´esigne par Cla courbe repr´esentative de fdans le rep`ere orthonormal O,~
i,~ j, unit´e graphique 2 cm
.
1-a) Montrer que l’ensemble de d´efinition de fest D0,1 1,.
b) Calculer les limites de faux bornes de D.
2-a) Etudier les variations de fet dresser son tableau de variations .
b) D´eterminer les points d’intersection de Cet l’axe des abscisses , puis les tangentes `a Cen ces points .
c) Construire la courbe C.
3) Soient get hles fonctions de la variable r´eelle xd´efinies sur 1,et sur R1,0,1 par : g x
ln ln xet h x ln ln x.
a) Expliquer comment obtenir les courbes Cget Chdes fonctions get h`a partir de la courbe Cde f.
b) Construire les courbes Cget Chdans le rep`ere O,~
i,~ j.
Partie B (4,5 points)
On consid`ere la fonction ϕde la variable r´eelle xd´efinie sur R1,0,1 par : ϕ x 1
xln x.
1-a) Montrer que l’on peut restreindre le domaine d’´etude de ϕ`a l’intervalle E0,1 1,.
b) Calculer les limites de ϕaux bornes de E.
c) Calculer ϕxpour x E . Donner le sens de variation de ϕsur Eet dresser son tableau de variations
sur E.
2) Soit aun nombre r´eel tel que 1 a e .
On d´esigne par Aa, l’ensemble des points M x, y tels que : a x e
0y ϕ x
a) Calculer en cm2l’aire du domaine A a .
b) D´eterminer lim
a1Aa.
3) On pose , pour tout xE,ψ1x ϕ x x I .
a) Montrer que l’´equation ψ1x0 admet dans Eune racine unique α1 .
b) Exprimer en fonction de a, les racines de l’´equation Idans R.
4) En ´etudiant le signe de la fonction ψ2d´efinie par ψ2x ϕ x x , montrer que l’´equation ψ2x0
n’admet pas de solution r´eelle .
Partie C (2,25 points)
On consid`ere la fonction t, d´efinie sur Ceiθ ,θRpar : t z 1
zln z
Soit Ple plan complexe rapport´e au rep`ere orthonormal direct O, ~u, ~v . On note Tl’application de P
dans lui-mˆeme qui `a tout point Md’affixe z x yi
associe le point Md’affixe z1
zln z.
1) D´eterminer l’ensemble E1des images Mde zCeiθ ,θR
2) Exprimer le module et les arguments de zau moyen de ceux de z.
3) D´eterminer l’ensemble des points invariants par T.

4) D´eterminer l’ensemble des points Mdu domaine de Tqui sont tels que l’origine O, le point Met son
image MT M soient align´es .
5) Quel est le transform´e par Td’un cercle de centre Oet de rapport rR1 .