Devoir sur les fonctions affines : Exercices de maths

Devoir sur les fonctions affines
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DEVOIR SUR LES FONCTIONS AFFINES
Pour accéder au sommet de la tour Eiffel, les groupes de personnes ont le choix entre deux
formules :
Partie I : Étude de la formule n° 1 (5 € par personne)
1) Calculer le prix à payer pour un groupe de 12 personnes.
2) Soit n le nombre de personnes et p1 le prix à payer en €.
Exprimer p1 en fonction de n.
3) Soit la fonction f de la variable x définie sur l’intervalle [0 ; 40] par : f(x) = 5x.
On a représenté graphiquement la fonction f dans le plan rapporté au repère orthogonal ci-
dessous. On obtient la droite (D1).
Déterminer graphiquement la valeur de x telle que f(x) = 130.
On laissera apparents les traits ayant permis cette détermination.
4) Un groupe fixe son budget à 130 €.
Déduire de l’étude précédente le nombre de personnes dans le groupe qui peuvent visiter la
tour Eiffel avec la formule n° 1.

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Partie II : Étude de la formule n° 2 (forfait de 20 € et 3,75 € par personne)
1) Calculer le prix à payer pour :
a) un groupe de 8 personnes ;
b) un groupe de 32 personnes.
2) Soit n le nombre de touristes et p2 le prix à payer en €.
Exprimer p2 en fonction de n.
3) Soit la fonction g de la variable x définie sur l’intervalle [0 ; 40] par : g(x) = 3,75x + 20.
Compléter le tableau de valeurs suivant :
x
8
32
g(x)
4) Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté au repère orthogonal de la
question 3 de la partie I. On appelle (D2) la droite obtenue.
5) Une des deux droites est la représentation graphique d’une fonction linéaire.
Cocher la case correspondant à celle-ci :
❑ (D1) ❑ (D2)
Justifier le choix fait.
6) Relever les coordonnées du point d’intersection I des deux droites :
I (………… ; .................... )
7) Pour un groupe donné, à partir de combien de visiteurs, la formule n° 2 est-elle plus
avantageuse que la formule n° 1 ?

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C'est parti pour la Partie II ! On garde le même style, sans formules compliquées.
1) Calcul du prix (Forfait de 20 € + 3,75 € par personne)
 a) Pour 8 personnes : On paie le forfait fixe de 20 € plus 8 fois 3,75 €.
o Calcul : 20 + (8 × 3,75) = 20 + 30 = 50 €.
 b) Pour 32 personnes :
o Calcul : 20 + (32 × 3,75) = 20 + 120 = 140 €.
2) Expression de p2 en fonction de n
Le prix total p2 est composé de la part fixe (20) et de la part qui dépend du nombre de touristes (3,75 fois
n).
L'expression est : p2 = 3,75n + 20
3) Tableau de valeurs
En utilisant les calculs de la question 1, on complète le tableau :
x
8
32
g(x)
50
140
4) Représentation graphique
Pour tracer la droite (D2) sur ton graphique de la Partie I :
 Place le premier point : (8 ; 50).
 Place le deuxième point : (32 ; 140).
 Relie ces deux points à la règle. La droite ne partira pas de zéro, mais du point 20 sur l'axe vertical.
5) Fonction linéaire
 C'est la droite (D1) (celle de la Partie I) qui est une fonction linéaire.
 Justification : Une fonction linéaire est représentée par une droite qui passe par l'origine du
repère (le point 0). La droite (D2), elle, commence à 20, c'est une fonction affine.

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6) Point d'intersection I
Si tu regardes où les deux droites se croisent sur ton graphique :
 Le point I se trouve à l'endroit où les deux formules coûtent le même prix.
 Les coordonnées sont : I ( 16 ; 80 ).
(Vérification : 16 x 5 = 80 € et (16 x 3,75) + 20 = 80 €).
7) Formule la plus avantageuse
La formule n°2 devient moins chère que la formule n°1 quand la droite (D2) passe en dessous de la droite
(D1). Cela arrive juste après le point d'intersection.
La formule n°2 est plus avantageuse à partir de 17 visiteurs.
Est-ce que tu veux que je t'explique comment on peut trouver ce chiffre "17" avec un petit calcul rapide
pour être sûr ?
Pas de souci, on retire les formules mathématiques complexes pour que ce soit plus simple à lire ! Voici la
résolution de la Partie I :
1) Calcul du prix pour 12 personnes
Le prix est de 5 € par personne.

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Pour un groupe de 12 personnes, on fait : 12 × 5 = 60.
Le prix à payer est de 60 €.
2) Expression de p1 en fonction de n
Si n est le nombre de personnes, le prix total p1 se calcule en multipliant ce nombre par 5.
L'expression est : p1 = 5n
3) Détermination graphique pour f(x) = 130
Pour trouver la valeur sur le graphique, voici la méthode à suivre avec ton crayon :
 Sur l'axe vertical (y) : Repère la graduation 130. (Comme le deuxième trait vaut 10, chaque petit
carreau vertical vaut 5).
 Le trajet : Trace un trait horizontal à partir de 130 jusqu'à toucher la droite (D1).
 La descente : Depuis ce point sur la droite, descends verticalement vers l'axe horizontal (x).
 Le résultat : Tu devrais tomber sur la graduation 26.
Important : N'oublie pas de laisser ces traits en pointillés sur ton graphique, car l'énoncé précise de
"laisser apparents les traits".
4) Nombre de personnes pour un budget de 130 €
Grâce au graphique (ou au calcul 130 divisé par 5), on voit que pour un budget de 130 € :
Le groupe peut être composé de 26 personnes.