corrige centrale psi 2015

# Corrigé — Centrale Maths 1 PSI 2015
> Format demandé : **question : réponse**.
> Remarque : dans la version “sommes finies”, on remplace les séries du type
> \(\sum_{n=0}^{+\infty}\) par des sommes tronquées \(\sum_{n=0}^{N}\), puis on passe
éventuellement à la limite si nécessaire.
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# I. Étude d’une suite récurrente
## I.A.1 : Montrer que \((u_n)\) est croissante puis convergente.
**Réponse :**
On a \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Comme \(f([0,1])\subset [0,1]\), on a par récurrence :
\[
0\le u_n\le 1.
\]
De plus, \(f\) est croissante. Si \(u_n\le u_{n+1}\), alors
\[
u_{n+1}=f(u_n)\le f(u_{n+1})=u_{n+2}.
\]
Or \(u_0=0\le u_1=f(0)\). Donc \((u_n)\) est croissante.
Elle est croissante et majorée par \(1\), donc elle converge. On note :
\[
\ell=\lim_{n\to+\infty}u_n.
\]
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## I.A.2 : Montrer que \(f(x)=x\) admet une plus petite solution.
**Réponse :**
On considère :
\[
h(x)=f(x)-x.

\]
La fonction \(h\) est continue sur \([0,1]\).
Comme \(f(1)=1\), on a :
\[
h(1)=0.
\]
Donc l’ensemble des solutions de \(f(x)=x\) est non vide.
C’est un fermé de \([0,1]\), donc il possède un plus petit élément. On le note :
\[
x_f.
\]
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## I.A.3 : Montrer que \(\ell=x_f\).
**Réponse :**
Comme \(u_{n+1}=f(u_n)\), en passant à la limite :
\[
\ell=f(\ell).
\]
Donc \(\ell\) est une solution de \(f(x)=x\).
Soit \(x\) une solution de \(f(x)=x\). Comme \(u_0=0\le x\), et comme \(f\) est croissante :
\[
u_1=f(u_0)\le f(x)=x.
\]
Par récurrence :
\[
u_n\le x.
\]
En passant à la limite :
\[

\ell\le x.
\]
Donc \(\ell\) est la plus petite solution :
\[
\boxed{\ell=x_f}.
\]
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## I.B : Si \(m>1\), montrer que \(x_f\in[0,1[\).
**Réponse :**
On a :
\[
m=f'(1)>1.
\]
Donc, au voisinage de \(1\), pour \(x<1\) proche de \(1\),
\[
f(x)<x.
\]
Comme \(f(0)\ge 0\), la fonction \(h(x)=f(x)-x\) vérifie :
\[
h(0)\ge 0
\]
et, près de \(1\),
\[
h(x)<0.
\]
Par continuité, il existe une solution de \(f(x)=x\) dans \([0,1[\).
Donc :
\[
\boxed{x_f<1}.
\]

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## I.C : Si \(m\le 1\), montrer que \(x_f=1\).
**Réponse :**
Comme \(f''\ge 0\), la fonction \(f\) est convexe.
Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes. En particulier, au point \(1\) :
\[
f(x)\ge f(1)+f'(1)(x-1).
\]
Donc :
\[
f(x)\ge 1+m(x-1).
\]
Si \(m\le 1\), alors pour \(x\in[0,1]\),
\[
1+m(x-1)\ge x.
\]
Donc :
\[
f(x)\ge x.
\]
Ainsi \(f(x)=x\) n’a pas de solution strictement plus petite que \(1\), donc :
\[
\boxed{x_f=1}.
\]
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## I.D.1 : Cas \(m=1\). Montrer la limite demandée.
**Réponse :**
On pose :
\[

\varepsilon_n=1-u_n.
\]
On a \(\varepsilon_n\to 0\).
Comme \(m=f'(1)=1\), on fait un développement limité en \(1\) :
\[
f(1-\varepsilon)
=
1-\varepsilon+\frac{f''(1)}{2}\varepsilon^2+o(\varepsilon^2).
\]
Donc :
\[
u_{n+1}
=
1-\varepsilon_n+\frac{f''(1)}{2}\varepsilon_n^2+o(\varepsilon_n^2).
\]
Ainsi :
\[
\varepsilon_{n+1}
=
\varepsilon_n-\frac{f''(1)}{2}\varepsilon_n^2+o(\varepsilon_n^2).
\]
Alors :
\[
\frac{1}{\varepsilon_{n+1}}-\frac{1}{\varepsilon_n}
=
\frac{\varepsilon_n-\varepsilon_{n+1}}{\varepsilon_n\varepsilon_{n+1}}
\to
\frac{f''(1)}{2}.
\]
Donc :
\[
\boxed{