2025-2026 [email protected] ECG 1ère année Mini-cours : applications Sommaire COURS DÉTAILLÉ APPLICATIONS .......................................................................................... 11 A] Fonctions, applications, injections, surjections ............................................................. 11 1) Fonctions et applications ........................................................................................... 11 2) Fonctions, applications, injectives, surjectives, bijectives ......................................... 11 3) Égalité et restriction .................................................................................................. 14 4) Opérations sur les fonctions et les applications ........................................................ 15 5) Image ......................................................................................................................... 15 B] Composition et bijection ............................................................................................... 16 1) Composition ............................................................................................................... 16 2) Applications identité .................................................................................................. 17 3) Bijection et composition ............................................................................................ 18 EXERCICES APPLICATIONS .................................................................................................... 23 A] Fonctions et applications .............................................................................................. 23 1) Montrer que deux fonctions sont égales ................................................................... 23 2) Image directe d’une fonction .................................................................................... 25 3) Restriction d’une fonction ......................................................................................... 30 B] Injection et surjection .................................................................................................... 31 1) Différencier une fonction injective, surjective et bijective. ....................................... 31 2) Montrer que 𝑓 est injective. ...................................................................................... 37 3) Montrer que 𝑓 est surjective. .................................................................................... 40 4) Propriétés classiques autour des fonctions injectives et surjectives. ........................ 45 Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 1 2025-2026 C] Bijection ......................................................................................................................... 52 1) Bijection et méthode par équivalence ....................................................................... 52 2) Bijection et composition ............................................................................................ 57 3) Montrer que bijective avec les variations.................................................................. 73 D] Fonction indicatrice ....................................................................................................... 76 Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 2 2025-2026 Bonjour ! Ceci est mon mini-cours gratuit sur les applications Il contient : ✓ Un cours détaillé. ✓ Des exercices couvrant plusieurs points de méthode. L’objectif est de te donner les premières bases sur ce chapitre afin que tu puisses ensuite t’entraîner sur des exercices plus compliqués et des sujets de concours. Je m’appelle Grégory Boublil et j’ai fondé le Chemin de la Prépa. Je fais des stages de maths pour les prépas ECG pendant les vacances (Toussaint, Noël, hiver, Pâques et été), ainsi que de cours hebdomadaires. Je te présente ce suivi dans les pages suivantes (instant promo ! ☺ ) avant de te laisser savourer tous les exercices de ce livret ! Bosse bien ! Greg. Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 3 2025-2026 Oui, tu peux enfin progresser en maths ! Tu stagnes en maths, voire tu régresses ? Tu travailles les maths 2h par soir et la majeure Tu t’entraînes sur les exercices du Rondy. Tu apprends les démonstrations par cœur pour réussir les khôlles, mais tu as souvent l’impression que ça ne sert à rien. partie de tes week-ends. Tu enchaînes les exercices de TD, mais ça reste flou. Quand tu lis la solution, tu te dis : « Je n’aurais jamais eu l’idée par moi-même » . En khôlle, tu obtiens entre 10 et 15. Mais en DST, tu bloques. Tu n’arrives pas à utiliser le cours dans les exercices. Tu perds des points en rédaction, sans savoir comment t’améliorer. Face à ta copie, tu cherches désespérément pendant 4 heures des réponses qui ne viennent pas, surtout quand les questions sortent de l’ordinaire. Tu te dis que les maths ne sont pas faites pour toi et qu’il y a une part d’innée. Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 4 2025-2026 Enchaîner les mauvaises notes en maths, t’améliorer et intégrer une top 5, voire une Parisienne, c’est possible ! Exemple : De 4/20 en DST À 16,7/20 à la maths HEC/ESSEC J’avais plusieurs difficultés. D’abord un gros manque de confiance en moi. Je ne me sentais pas à la hauteur. J’ai toujours eu un profil plus littéraire et les matières scientifiques ont longtemps été ma bête noire (merci les profs du collège et lycée). En arrivant en prépa, j’ai été très rapidement en difficulté en mathématiques parce que je ne travaillais pas suffisamment et surtout pas correctement. J’avais fini par croire que la matière était trop difficile et je préférais travailler la philosophie. Le Chemin de la Prépa m’a aidée à prendre confiance en moi et m’a donné une méthode pour aborder la matière. (Témoignage complet dans la section dédiée) Même sans être « naturellement doué », si tu combines tes efforts à une méthode claire et ciblée, tu peux viser 14/20 ou plus aux concours . Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 5 2025-2026 MA MÉTHODE « PRAGMATHIQUE » : LE CHEMIN VERS LA CONFIANCE EN MATHS. 1) Tu apprends chaque chapitre avec progressivité Au lieu de t’acharner en vain sur des exercices trop Sans progressivité Avec progressivité difficiles, monte en puissance étape par étape. • Des allers-retours entre le cours et les exercices de base Tu arrives ici pour comprendre le chapitre et la rédaction nécessaire. • Des exercices intermédiaires pour apprivoiser les formules, savoir comment et quand on les utilise. • Les sujets classiques et abordables pour apprivoiser les notions et les ruses classiques. • Tu restes ici Des sujets types de plus en plus complexes pour dépasser progressivement tes limites. • Les sujets classiques des Parisiennes. En fait, avoir la « bosse des maths » n’est pas un enjeu. Tout est possible… si tu grimpes avec la bonne échelle. 2) Tu domines les ruses de « renard » classiques. Les questions potentielles sont infinies en maths. Les meilleurs enchaînent tous les sujets possibles pour viser le 20/20 en Parisiennes. Mais si tu fais ça, tu auras l’impression de te perdre dans une masse de sujets sans fin. En revanche, si tu cibles les « renards », c’est-à-dire les ruses et les raisonnements classiques, tu connais l’essentiel et tu réussis les questions nécessaires pour obtenir 19/20 en EDHEC/EM et entre 15/20 et 17/20 en Parisiennes (ça prend quand même plusieurs mois, mais c’est faisable). Tu optimises alors ton temps et conserves de précieuses heures pour travailler les matières littéraires. Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 6 2025-2026 3) Ta rédaction parfaite booste ta note. La rédaction est prépondérante dans les critères de notation, y « Il est toujours nécessaire de rajouter une étape dans sa rédaction pour se démarquer de ceux qui passent directement de l’hypothèse à la conclusion. » Rapport HEC Maths 1 2024 compris aux épreuves de Parisiennes. Nous tenons compte de la rédaction dans chaque question, ainsi nous sommes amenés à pénaliser des candidats qui ne vérifient pas les hypothèses d’un théorème, ou qui ne précisent pas les formules utilisées, ou qui n’énoncent pas clairement leurs conclusions. Rapport EM Lyon 2024 La rédaction représente 4 à 5 points sur une copie. Pendant mes cours, j’insiste sur la rédaction. Mes corrections sont détaillées selon les des attentes des jurys de concours. Quand tu vises une note entre 14 et 17, tu ne peux pas te permettre de mépriser le moindre point. « Quand on peut prendre, on prend ! » Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 7 2025-2026 4) Tu t’entraînes sur des sujets de concours. Souvent en DST : Avec les sujets de concours : • → Tu comprends quelles notions du chapitre Tu n’arrives pas à utiliser les questions précédentes. • • reviennent tout le temps. Tu te demandes après avoir lu une question : → Tu apprends à te servir des questions « je commence comment ? » précédentes et à utiliser le cours dans le Tu confonds les différentes formules et contexte d’un vrai sujet. raisonnements d’un chapitre et tu ne sais pas → Tu découvres les raisonnements dans un contexte lesquels utiliser, ni dans quelles situations. précis… Et donc tu les retiens mieux et surtout tu sauras les réutiliser aux concours. Je sélectionne les sujets d’annales les plus utiles. Ainsi, tu as davantage de chances de tomber aux concours sur des questions déjà faites, car tu auras travaillé tous les sujets les plus classiques. 5) Tu vises l’organisation idéale. L’arme secrète en prépa HEC : → Tu construis un planning de travail efficace. → Tu penses long terme → Tu répartis avec stratégie tes heures de travail entre les différentes matières. → Tu respectes ton corps et de ton sommeil pour être en forme et étudier avec efficacité. Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 8 2025-2026 MES STAGES DE VACANCES EN MATHS Un chemin en 4 temps 1) Formations en vidéos + livrets ✓ Pour chaque chapitre, je t’accompagne du cours jusqu’aux sujets de concours. ✓ Livrets avec corrections détaillées. ✓ J’explique en vidéo toutes les étapes de calcul, de 2) Des cours en direct en groupe de 3 max (visio ou présentiel) ✓ Groupes de niveaux avec des sujets distincts. ✓ Forte interaction. Tu peux poser toutes tes questions. ✓ Possibilité de cours hebdomadaires également. raisonnement et de rédaction des corrections. 3) Coaching individuel Stress, organisation, blocage dans une matière ? Tu m’expliques ta situation. → Ensemble, on trouve des solutions et on bâtit un planning de travail efficace. Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 4) Suivi jusqu’aux concours Tu as une question sur un exercice de la formation ou sur les sujets traités en cours en direct ? Tu me l’envoies par WhatsApp et je te réponds (valable jusqu’aux concours !) 9 2025-2026 Qui je suis Grégory Boublil Fondateur du Chemin de la Prépa Professeur de mathématiques Préparateur d'entretiens de personnalité La prépa HEC, c’est plus de la moitié de ma vie. Ancien étudiant de prépa HEC ayant obtenu 19,2/20 de moyenne en maths aux concours. Je suis professeur de maths depuis 2004 : prof particulier, puis prof en prépa privée et enfin j’ai créé Pragmathiques Prépa en 2013, devenu depuis Chemin de la Prépa. Je comprends mieux que quiconque ce que tu Et par-dessus tout, je connais les raccourcis, c’est-à-dire les pièges à éviter, les stratégies et les meilleures méthodes de travail utilisées par mes anciens élèves dans chaque matière. ressens dans ce parcours du combattant. Mon rôle est de les partager avec toi pour te donner davantage de chances de succès. D’un point de vue plus personnel. Je suis passionné de sport (tennis, basket et football), de mangas et d'animation japonaise (Dragon Ball, Docteur Slump, Naruto, les films de Miyazaki, Hunter x Hunter, Nana, Spy x Family…), de séries (Friends, Ted Lasso, White Lotus, Gossip Girl, Baron Noir…) de Star Wars et d’Harry Potter. Je joue aux échecs 2 à 3 fois par semaine. J’aime marcher 1 à 2 heures par jour en écoutant des podcasts. Je suis accro au chocolat noir 100%. ☺ Copyright © Le Chemin de la Prépa 2025 10
