Correction complète d'examen de mécanique des fluides : Chute d'eau & turbine hydraulique

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Mécanique des Fluides - 1A
Correction Complète
Examen de Mécanique des Fluides
Chute d’Eau - Turbine Hydraulique
Février 2024 - Durée 1hr
Énoncé du Problème - Chute d’Eau
On considère (cf figure 1) une turbine hydraulique T installée au point B de cote
altimétrique zB = 250 m. Cette turbine est alimentée par une conduite d’eau circulaire de
diamètre D = 1 m connectée à un réservoir de grande dimension dans la surface d’eau est
à la côte zA = 300 m. La turbine absorbe de l’énergie hydraulique provenant du fluide et
qui se traduit pour l’eau traversant la turbine par une perte de pression ∆p. Cette perte
de pression évolue qualitativement avec le débit volumique d’eau Q de la sorte que l’on
écrit :
∆p = f (Q) = a · Q2
(1)
où a est une constante et Q le débit volumique. On considère le problème stationnaire,
et l’eau comme un fluide incompressible et non visqueux. L’écoulement dans la conduite
est supposé 1D i.e. la vitesse et la pression sont supposées constantes dans toutes les
sections droites de la conduite.
Données Numériques (AN)
— ρ = 1000 kg.m−3
— g = 10 m.s−2
— D = 1m
— patm = 105 Pa
— a = 1.012 × 108
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1
Mécanique des Fluides - 1A
Question 1 : Énergie volumique disponible au point
A
Théorème de Bernoulli - Énergie mécanique
Rappel Théorique
Énergie volumique totale d’un fluide
L’énergie volumique totale en un point est la somme de trois termes :
e=
p U2
+
+ gz
ρ
2
(2)
où :
p
—
: énergie de pression par unité de masse
ρ
U2
—
: énergie cinétique par unité de masse
2
— gz : énergie potentielle par unité de masse
Application au point A (surface du réservoir)
Au point A (surface libre du réservoir) :
— Pression : pA = patm (surface libre en contact avec l’atmosphère)
— Vitesse : UA ≈ 0 (très grande surface, vitesse négligeable)
— Altitude : zA = 300 m
Calcul de l’énergie volumique
L’énergie volumique disponible au point A est :
eA =
patm UA2
+
+ gzA
ρ
2
(3)
patm
+ gzA
ρ
(4)
Avec UA = 0 :
eA =
Application Numérique
105
+ 10 × 300
1000
= 100 + 3000
= 3100 J/kg
eA =
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(5)
(6)
(7)
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Mécanique des Fluides - 1A
Résultat Final
Énergie volumique disponible au point A :
eA = 3100 J/kg = 3.1 kJ/kg
(8)
Interprétation Physique
Cette énergie représente l’énergie mécanique totale disponible par kilogramme d’eau
au point A. Elle est principalement constituée d’énergie potentielle de pesanteur
(3000 J/kg) due à l’altitude de 300 m.
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2
Mécanique des Fluides - 1A
Question 2 : Bilan d’énergie et débit volumique
Application de Bernoulli entre A et B
Rappel Théorique
Théorème de Bernoulli avec perte d’énergie
Entre deux points d’un écoulement, en tenant compte d’une perte d’énergie (turbine) :
pB UB2
pA UA2
+
+ gzA =
+
+ gzB + ∆eturbine
ρ
2
ρ
2
(9)
où ∆eturbine est l’énergie prélevée par la turbine par unité de masse.
Conditions aux points A et B
Point A (surface du réservoir) :
— pA = patm
— UA = 0
— zA = 300 m
Point B (sortie turbine, au niveau C) :
— pB = pC = patm (sortie à l’air libre)
— UB = UC (vitesse en sortie)
— zB = zC = 250 m
Énergie prélevée par la turbine
La turbine prélève de l’énergie sous forme d’une chute de pression ∆p :
∆p
aQ2
=
∆eturbine =
ρ
ρ
(10)
Équation de Bernoulli
En remplaçant dans l’équation de Bernoulli :
patm
patm UC2
aQ2
+ 0 + g · 300 =
+
+ g · 250 +
ρ
ρ
2
ρ
(11)
Les pressions s’annulent :
UC2
aQ2
+ g · 250 +
g · 300 =
2
ρ
(12)
UC2
aQ2
+
2
ρ
(13)
g(300 − 250) =
50g =
UC2
aQ2
+
2
ρ
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(14)
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Relation entre vitesse et débit
Pour une conduite circulaire :
Q = S · UC =
πD2
· UC
4
(15)
Donc :
UC =
4Q
πD2
2
(16)
Substitution
1
50g =
2
4Q
πD2
+
aQ2
ρ
8Q2
aQ2
+
π 2 D4
ρ
a
8
2
+
50g = Q
π 2 D4 ρ
50g =
(17)
(18)
(19)
Résolution pour Q
Q2 =
50g
8
a
+
2
4
π D
ρ
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(20)
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Mécanique des Fluides - 1A
Application Numérique
Calculons d’abord le dénominateur :
8
8
= 0.8106
9.8696
(21)
a
1.012 × 108
=
= 1.012 × 105
ρ
1000
(22)
π 2 D4
=
8
π 2 × 14
=
Le deuxième terme domine largement :
8
a
≈ 1.012 × 105
+
2
4
π D
ρ
(23)
Donc :
50 × 10
1.012 × 105
500
=
1.012 × 105
= 4.941 × 10−3
√
Q = 4.941 × 10−3
= 0.0703 m3 /s
Q2 =
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Résultat Final
Débit volumique :
Q ≈ 0.070 m3 /s = 70 L/s
Page 6
(29)
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Mécanique des Fluides - 1A
Question 3 : Puissance hydraulique
Définition de la puissance hydraulique
Rappel Théorique
Puissance hydraulique
La puissance hydraulique est le produit du débit volumique par la différence de
pression :
PH = Q · ∆p
(30)
PH = ṁ · ∆e = ρQ · ∆e
(31)
ou en termes de débit massique :
Calcul de ∆p
D’après l’énoncé :
∆p = a · Q2
(32)
Application Numérique
∆p = 1.012 × 108 × (0.0703)2
= 1.012 × 108 × 4.942 × 10−3
= 5.002 × 105 Pa
≈ 500 kPa
(33)
(34)
(35)
(36)
Calcul de la puissance
PH = Q · ∆p
(37)
Application Numérique
PH = 0.0703 × 5.002 × 105
= 3.516 × 104 W
= 35.16 kW
(38)
(39)
(40)
Résultat Final
Puissance hydraulique absorbée par la turbine :
PH ≈ 35.2 kW
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(41)
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Mécanique des Fluides - 1A
Avec rendement de conversion
Si le rendement de conversion électrique est η = 0.84 :
Pélectrique = η · PH
(42)
Application Numérique
Pélectrique = 0.84 × 35.16
= 29.53 kW
(43)
(44)
Résultat Final
Puissance électrique fournie :
Pélectrique ≈ 29.5 kW
(45)
Donc l’installation fournit environ 30 kW d’énergie électrique par année de fonctionnement.
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4
Mécanique des Fluides - 1A
Question 4 : Pression dans la conduite coudée
Configuration du coude
La conduite présente un coude à 45 pour suivre la pente de la colline. Le coude est
solidaire (fixé) à un socle de béton posé sur le sol.
Application de Bernoulli entre entrée et coude
Entre le point A (surface) et un point dans le coude à altitude z :
p U2
patm
+ gzA = +
+ gz
ρ
ρ
2
(46)
où U est la vitesse dans la conduite :
U=
Q
4Q
=
S
πD2
(47)
Application Numérique
4 × 0.0703
π × 12
0.2812
=
3.1416
= 0.0895 m/s
≈ 0.09 m/s
U=
(48)
(49)
(50)
(51)
Pression dans la conduite
En réarrangeant :
U2
2
Au niveau du coude (estimons zcoude ≈ 275 m) :
p = patm + ρg(zA − z) − ρ
(52)
Application Numérique
(0.09)2
pcoude = 10 + 1000 × 10 × (300 − 275) − 1000 ×
2
= 105 + 250000 − 4.05
≈ 3.5 × 105 Pa
= 350 kPa
5
Page 9
(53)
(54)
(55)
(56)
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Résultat Final
Pression dans la conduite au niveau du coude :
pcoude ≈ 3.5 × 105 Pa = 3.5 bar
(57)
La pression est principalement due à la charge hydrostatique (colonne d’eau de 25
m).
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5
Mécanique des Fluides - 1A
Question 5 : Force de poussée verticale
Analyse des forces sur le coude
Le coude à 45° subit plusieurs forces :
— Forces de pression du fluide (entrée et sortie)
⃗ (vertical)
— Force de réaction du sol R
— Poids du fluide dans le coude (négligeable devant les autres forces)
Équation du mouvement (2ème loi de Newton)
Pour un fluide en écoulement stationnaire dans un volume de contrôle :
Rappel Théorique
Équation de quantité de mouvement
X
⃗ sortie − U
⃗ entrée )
F⃗externes = ṁ(U
(58)
où ṁ = ρQ est le débit massique.
Projections dans le repère
Considérons un repère avec :
— Axe horizontal selon l’entrée du coude
— Axe vertical vers le haut
⃗ 1 horizontale Sortie du coude : vitesse U
⃗ 2 à 45° vers
Entrée du coude : vitesse U
le bas
Composantes de vitesse
⃗ 1 | = |U
⃗ 2 | = U = 0.09 m/s
Si la conduite a un diamètre constant, |U
À l’entrée :
U1x = U = 0.09 m/s
U1z = 0
(59)
(60)
À la sortie (45° vers le bas) :
U2x = U cos(45) = 0.09 × 0.707 = 0.0636 m/s
U2z = −U sin(45) = −0.09 × 0.707 = −0.0636 m/s
(61)
(62)
Forces de pression
Les forces de pression s’annulent en grande partie si on néglige les variations de pression
(hypothèse simplificatrice).
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Mécanique des Fluides - 1A
Équation selon l’axe vertical (z)
R − (composante pression) = ṁ(U2z − U1z )
(63)
En négligeant les effets de pression et le poids :
R = ρQ(U2z − U1z )
(64)
Application Numérique
R = 1000 × 0.0703 × (−0.0636 − 0)
= 1000 × 0.0703 × (−0.0636)
= −4.47 N
(65)
(66)
(67)
Le signe négatif indique que la force exercée par le sol est vers le bas (en réaction à la
poussée du fluide vers le haut).
Résultat Final
Force de poussée verticale exercée par le sol :
|R| ≈ 4.5 N (vers le bas)
(68)
Remarque : Cette valeur est très faible en raison des faibles vitesses d’écoulement.
Dans la pratique, on tiendrait aussi compte :
— Des différences de pression entrée/sortie
— Du poids du fluide dans le coude
— Du poids de la conduite elle-même
— De la densité de mouvement du fluide
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Mécanique des Fluides - 1A
Question 6 : Efforts de pression sur le tronçon
Configuration du tronçon de conduite coudé
Le tronçon de conduite est soumis à :
— Pression du fluide en mouvement
— Forces de liaison avec les blocs de béton
— Effets de la variation de quantité de mouvement
Hypothèses
On suppose :
— Écoulement stationnaire
— Fluide incompressible et non visqueux
— Pas de frottement sur les parois
— Masse de la conduite et du fluide négligeable devant les forces de pression
Forces de pression
La force de pression sur une section droite de la conduite :
F⃗p = p · S · ⃗n
(69)
où ⃗n est la normale à la section.
Section d’entrée du tronçon :
πD2
4
(70)
πD2
Fp2 = p2 · S = p2 ·
4
(71)
Fp1 = p1 · S = p1 ·
Section de sortie du tronçon :
Équation de quantité de mouvement
L’effort de pression exercé par la paroi latérale sur le fluide :
⃗2 − U
⃗ 1)
F⃗paroi + F⃗p1 − F⃗p2 = ρQ(U
(72)
⃗2 − U
⃗ 1 ) + F⃗p2 − F⃗p1
F⃗paroi = ρQ(U
(73)
D’où :
Page 13
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Mécanique des Fluides - 1A
Interprétation Physique
Analyse physique des efforts :
Les efforts de pression sur la paroi latérale du tronçon coudé ont pour origine :
1. Changement de direction du fluide : Le fluide doit suivre le coude à 45°,
ce qui nécessite une force centripète exercée par la paroi.
2. Différence de pression : S’il y a une variation de pression entre l’entrée
et la sortie (pertes de charge), cela contribue à l’effort résultant.
3. Variation de quantité de mouvement : Même à vitesse constante en
module, le changement de direction implique une variation du vecteur vitesse,
donc de la quantité de mouvement.
Pour une estimation numérique précise, il faudrait connaı̂tre :
— La géométrie exacte du coude (rayon de courbure)
— La distribution de pression le long du coude
— Les pertes de charge dans le coude
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Mécanique des Fluides - 1A
Question 7 : Équation vectorielle dans le tronçon
Projection de l’équation de quantité de mouvement
En projetant l’équation vectorielle précédente dans le tronçon entre les axes Ox (et Oy′
correspondant au tuyau incliné) :
Rappel Théorique
Théorème d’Euler (quantité de mouvement)
Pour un volume de contrôle fixe :
Z
Z
X
⃗ (U
⃗ · ⃗n) dS −
F⃗ =
ρU
Ssortie
⃗ (U
⃗ · ⃗n) dS
ρU
(74)
Sentrée
En supposant vitesse et pression uniformes sur les sections :
⃗2 − U
⃗ 1)
F⃗paroi + p1 S1⃗n1 + p2 S2⃗n2 = ρQ(U
(75)
Expression de la force recherchée
En isolant la force de la paroi sur le fluide, puis en prenant l’opposé (action-réaction) :
F⃗f luide→paroi = −F⃗paroi→f luide
(76)
⃗2 − U
⃗ 1)
F⃗f luide→paroi = p1 S⃗n1 + p2 S⃗n2 − ρQ(U
(77)
Décomposition dans le repère
Si on note ⃗i selon l’axe horizontal et ⃗k selon la verticale :
Vecteur normal entrée : ⃗n1 = −⃗i (fluide entrant)
Vecteur normal sortie : ⃗n2 = cos(45)⃗i − sin(45)⃗k
Composante horizontale
Fx = −p1 S + p2 S cos(45) − ρQ(U2 cos(45) − U1 )
= S(p2 cos(45) − p1 ) − ρQU (cos(45) − 1)
(78)
(79)
Composante verticale
Fz = −p2 S sin(45) − ρQ(−U2 sin(45) − 0)
= −p2 S sin(45) + ρQU sin(45)
= sin(45)( ρQU − p2 S)
Page 15
(80)
(81)
(82)
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Résultat Final
Expression vectorielle de la force dans le tronçon :
F⃗ = [S(p2 cos θ − p1 ) − ρQU (cos θ − 1)]⃗i + sin θ(ρQU − p2 S)⃗k
(83)
avec θ = 45.
Cette force représente l’effort que le fluide exerce sur la conduite, et par réaction,
l’effort que les blocs de béton doivent fournir pour maintenir la conduite en place.
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Résumé des Résultats
Résumé Complet des Résultats
blue !20 Q.
Grandeur calculée
Valeur
Unité
1
Énergie volumique au point A
3100
J/kg
2
Débit volumique d’eau
0.070
m3 /s
(en litres par seconde)
70
L/s
Perte de pression turbine
500
kPa
Puissance hydraulique
35.2
kW
Puissance électrique (η = 0.84)
29.5
kW
4
Pression dans le coude
350
kPa
5
Force de poussée verticale
4.5
N
6
Efforts de pression
Analyse qualitative
7
Expression vectorielle
Voir équation détaillée
2*3
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Formules Essentielles Utilisées
Rappels Théoriques Importants
1. Théorème de Bernoulli généralisé
Pour un fluide parfait incompressible avec machine hydraulique :
p2 U22
p1 U12
+
+ gz1 =
+
+ gz2 + ∆emachine
ρ
2
ρ
2
(84)
— ∆emachine > 0 : machine réceptrice (turbine, frein)
— ∆emachine < 0 : machine motrice (pompe, ventilateur)
2. Conservation de la masse
Pour un fluide incompressible :
Q = S1 U1 = S2 U2 = constante
(85)
ṁ = ρQ = constante
(86)
3. Puissance hydraulique
Définition 1 (par pression) :
PH = Q · ∆p
(87)
Définition 2 (par énergie massique) :
PH = ṁ · ∆e = ρQ · ∆e
(88)
Putile = η · PH
(89)
Avec rendement :
4. Théorème de la quantité de mouvement (Euler)
Pour un volume de contrôle en régime permanent :
X
X
X
⃗ −
⃗
F⃗externes =
ṁU
ṁU
sorties
(90)
entrées
Pour un seul flux entrant et sortant :
⃗2 − U
⃗ 1)
F⃗pression + F⃗paroi + F⃗pesanteur = ρQ(U
(91)
5. Pression hydrostatique
Dans un fluide au repos ou en mouvement uniforme :
p(z) = p0 + ρg(z0 − z)
La pression augmente avec la profondeur.
Page 18
(92)
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Analyses Complémentaires
Analyse énergétique globale du système
Bilan Énergétique Complet
Énergie disponible initiale (point A) :
EA = eA · m = 3100 × m [J]
(93)
Répartition de l’énergie :
1. Énergie potentielle convertie :
∆Ep = mg(zA − zB ) = mg × 50 = 500m [J]
(94)
2. Énergie cinétique acquise (faible) :
1
1
Ec = mUC2 ≈ m × (0.09)2 ≈ 0.004m [J]
2
2
(95)
3. Énergie prélevée par la turbine :
Eturbine =
5 × 105
∆p
×m=
× m = 500m [J]
ρ
1000
(96)
Vérification du bilan :
La quasi-totalité de l’énergie potentielle de chute (50 m × 10 m/s² = 500 J/kg)
est convertie en énergie prélevée par la turbine. L’énergie cinétique résiduelle est
négligeable.
∆Ep ≈ Eturbine + Ec
✓
(97)
Rendement global :
ηglobal =
Pélectrique
Phydraulique disponible
=
29.5
= 0.84 = 84%
50gρQ
(98)
Les 16% de pertes proviennent des pertes de conversion électromécanique dans la
turbine et le générateur.
Comparaison des ordres de grandeur
orange !20 Grandeur
Valeur
Hauteur de chute
50 m
Vitesse écoulement
0.09 m/s
Débit
70 L/s
Nombre de Reynolds
≈ 90000
Puissance installée
35 kW
Pression dans conduite 3.5 bar
Force sur coude
4.5 N
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Commentaire
Dénivellation A-B
Très faible (conduite large)
Débit modéré
Écoulement turbulent
Micro-centrale hydraulique
Pression modérée
Négligeable (faible vitesse)
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Interprétation :
— La vitesse est très faible grâce au grand diamètre (D = 1 m), ce qui minimise les
pertes de charge
— La puissance provient essentiellement de la hauteur de chute, pas de la vitesse
— Les forces dynamiques sur les coudes sont faibles comparées aux forces de pression
statique
— Le système est typique d’une micro-centrale au fil de l’eau
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Vérification du nombre de Reynolds
Application Numérique
Calcul du nombre de Reynolds dans la conduite :
Re =
UD
ρU D
=
µ
ν
(99)
Avec νeau ≈ 10−6 m²/s (viscosité cinématique de l’eau à 20°C) :
0.09 × 1
10−6
= 90000
Re =
(100)
(101)
Conclusion : Re > 4000 → L’écoulement est TURBULENT
Ceci justifie :
— L’hypothèse de vitesse uniforme sur la section
— La possibilité de négliger la viscosité en première approximation
— Mais en réalité, il y aurait des pertes de charge par frottement turbulent
Estimation des pertes de charge réelles
Dimensionnement pratique
Interprétation Physique
Aspects pratiques de l’installation :
1. Choix du diamètre :
— Grand diamètre (1 m) → vitesse faible → pertes réduites
— Mais coût d’installation plus élevé
— Compromis économique à optimiser
2. Ancrage du coude :
— Forces dynamiques faibles (4.5 N) mais forces de pression importantes
— Bloc de béton doit résister à p × S ≈ 350000 × 0.785 ≈ 275 kN
— Ancrage crucial pour la sécurité
3. Type de turbine :
— Chute de 50 m, débit modéré → Turbine Francis ou Pelton
— Puissance 30 kW → installation de taille moyenne
— Production annuelle : 30 × 24 × 365 ≈ 263 MWh/an
4. Régulation :
— Le débit dépend de la demande électrique via ∆p = aQ2
— Vanne de régulation nécessaire
— Système de by-pass en cas de surproduction
Page 21
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Mécanique des Fluides - 1A
Schémas et Visualisations
Diagramme énergétique
Schéma des forces sur le coude
⃗1
ρQU
F⃗p1
45
F⃗p2
⃗2
ρQU
⃗
R
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Mécanique des Fluides - 1A
Points Clés à Retenir
Synthèse pour l’Examen
Méthodologie générale
1. Identification du système :
— Points d’entrée et sortie
— Fluide concerné (eau, air...)
— Machines présentes (pompe, turbine...)
— Géométrie (sections, altitudes...)
2. Choix des équations :
— Bernoulli : pour relier pression, vitesse, altitude
— Continuité : pour relier débits et vitesses
— Quantité de mouvement : pour calculer les forces
3. Hypothèses à vérifier :
— Fluide incompressible ? (ρ = cte)
— Fluide parfait ? (pas de viscosité)
— Écoulement permanent ? (/t = 0)
— Écoulement 1D ? (vitesse uniforme sur section)
4. Application numérique :
— Toujours vérifier les unités (SI !)
— Vérifier l’ordre de grandeur
— Identifier les termes dominants
Erreurs classiques à éviter
1. Oublier le signe dans Bernoulli pour une turbine : +∆e pour réceptrice
2. Confondre pression absolue et pression relative (manométrique)
3. Négliger à tort l’énergie potentielle quand ∆z est grand
4. Oublier de convertir les unités (mm → m, L/s → m³/s, bar → Pa)
5. Mélanger débit volumique Q et débit massique ṁ = ρQ
6. Mal orienter les vecteurs dans l’équation de quantité de mouvement
Ordres de grandeur à connaı̂tre
violet !20 Grandeur
Ordre de grandeur
Masse volumique eau
1000 kg/m³
Masse volumique air
1.2 kg/m³
5
Pression atmosphérique
10 Pa = 1 bar
Viscosité dynamique eau
10−3 Pa·s
Viscosité cinématique eau
10−6 m²/s
g (pesanteur)
10 m/s² (ou 9.81)
Transition laminaire/turbulent
Re 2000
Page 23
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Mécanique des Fluides - 1A
— FIN DE LA CORRECTION DÉTAILLÉE —
Bon courage pour ton examen !
N’oublie pas de bien relire tes calculs et vérifier les unités !
Page 24