TD-Probabilité Master1

EXERCICES DE PROBABILITE
LOIS DE PROBABILITE
Exercice 1
On considère une famille de 5 enfants. Calculer la probabilité d’avoir itous les enfants de même
sexe. iiau moins deux filles. iiiexactement 3 filles.
Exercice 2
Quand une machine fonctionne correctement, seulement 3% des pièces produites sont défectueuses.
Trois pièces produites sur la machine sont sélectionnées. Soit Xle nombre de pièces défectueuses parmi
les trois.
1) Quelle est la loi de probabilité de X. Justifier.
2) Calculer les probabilités des évènements : iaucune pièce n’est défectueuse. iiau plus une pièce
est défectueuse.
Exercice 3
Un bureau de reservations reçoit, entre 10 h et 12 h, en moyenne 1.2 appels téléphoniques par minute.
On modélise ce phénomène par une loi de Poisson. Déterminer
1) la probabilité pour qu’entre 11 h 01 et 11 h 02 on ait : iaucun appel. iiun appel. iiideux
appels;
2) la probabilité de recevoir 4 appels entre 11 h 01 et 11 h 03.
Exercice 4
Le nombre de personnes qui se connectent par minute sur un site web suit une loi de Poisson de
paramètre λ=2. Vous observez le site à partir de 6h.
1. Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas de visite sur le site entre 6h et 6h04.
2. Quelle est la probabilité que la 1ère connection sur le site soit supérieur à 3 mns
3. Quel est le temps moyen d’attente pour la 1ère connection.
4. Quel est le temps moyen d’attente pour la 10ème connection.
Exercice 5
Les clients arrivent par heure dans un magazin selon une loi de Poisson de paramètre λ=20. Quel est
le temps moyen d’attente pour l’arrivée du 12ème client ?
Exercice 6
Le niveau moyen des précipitations à Douala, au cours du mois d’avril est de 3.5 dm. Supposons que
le niveau des précipitations suit une loi normale d’écart-type 0.8 dm.
1) Quelle est la probabilité que le niveau des précipitations en avril, à Douala idépasse 5 dm iisoit
≤3 dm.
2) Un mois est considéré comme extrêmement pluvieux si le niveau des précipitations se situe dans les
10% les plus élévés. Quel doit être le niveau des précipitations pour que le mois d’avril soit considéré
comme extrêmemnet pluvieux ?
Exercice 7
Le nombre de voyageurs arrivant à une station dans une voiture de métro est une v.a.r Zde loi
N100,20. Le nombre de voyageurs qui montent dans la voiture, à la station est une v.a.r Xde loi
N40,9, le nombre de voyageurs qui descendent est Yde loi N30,12. On note Nle nombre de
voyageurs qui repartent.
1. Donner la loi de N.
2. Trouver le nombre N
0
tel que P0<N≤N
0
=0.95.
3. Calculer PN<70et PN>140.
Exercice 8
Soient X
1
,X
2
,...,X
n
nv.a.r indépendantes de même loi de densité fet de fonction de répartition F. On
pose Y
n
=maxX
1
,X
2
,...,X
n
et Y
1
=minX
1
,X
2
,...,X
n
.

1. Déterminer la fonction de répartition de chaque variable et en déduire sa densité de probabilité.
2. On suppose que les nvariables suivent la loi uniforme U
0,θ
. Déterminer les densités de Y
n
et Y
1
.
3. Calculer la moyenne et la variance de chaque variable.
VECTEURS ALEATOIRES
Exercice 9
Soit
t
X=X
1
,X
2
,...,X
n
un vecteur aléatoire de dimension n, de moyenne μ
X
et de matrice de
variances covariances Σ
X
. On pose Y=AX où Aest une matrice m×n. Exprimer μ
Y
et Σ
Y
en fonction de
μ
X
et Σ
X
.
Exercice 10
On lance au hasard un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Soit Xle reste de la division par 2
du chiffre indiqué par le dé et Yle reste de la division par 3 du même chiffre.
1. Définir Ω,A,Pl’espace probabilisé de départ des 2 v.a Xet Y.
2. Définir Ω
′
,A
′
(resp. Ω
′′
,A
′′
) l’espace probabilisé d’arrivée de X(resp. de Y).
3. Donner la loi de probabilité de (X,Y). Xet Ysont-elles des v.a.r indépendantes ?
Exercice 11
Soit aun nombre réel. Soit Xet Y2 v.a.r à valeurs dans Ntelles que PX=k,Y=j=
a
2
k+1
j!
pour tout
k,j∈N
2
.
1. Déterminer a.
2. Déterminer les distributions marginales. Xet Ysont-elles indépendantes ?
3. Calculer covX,Y.
Exercice 12
Deux frères s’associent pour fonder une petite entreprise. Au bout d’un an, celle-ci emploie 10
personnes: les 2 patrons, 3 employés et 5 ouvriers. Un journaliste s’intéressant à cette nouvelle PME
décide d’en interviewer 3 personnes au hasard. Soit Xle nombre de patrons et Yle nombre d’ouvriers
parmi ces trois personnes intérrogées.
1. Déterminer les lois de Xet Y. Calculer leurs esperances et leurs écarts-types.
2. Déterminer la loi du couple X,Yet retrouver les lois de Xet Y.
3. Calculer la covariance de X,Y.
Exercice 13
1. Un dé A parfaitement équilibré porte les nombres 1 sur 4 faces et -2 sur les deux autres faces. Soit
Xla v.a.r qui à un lancer du dé A associe le nombre obtenu. Déterminer la loi de X.
2. Un dé B porte les nombres -2,-1,0,1,2,3. Ce dé n’est pas équilibré. Les probabilités d’apparition de
chaque face forment, dans l’ordre indiqué ci-dessus, une progression géométrique de raison
1
2
. Quelles sont ces probabilités ?
3. On lance une fois simultanément, les deux dés A et B et on désigne par Sla v.a.r qui au lancer des
deux dés associe la valeur absolue de la somme des nombres obtenus.
a.Déterminer la loi du couple X,S.
b.Quelle est la loi marginale de S? Retrouver celle de X.
c.Xet Ssont-elles indépendantes ?
Exercice 14
Montrer que la fonction
Fx,y=0 si x+y<1
1 si x+y≥1
n’est pas une fonction de répartition.
Exercice 15

Un couple de v.a X,Y prend ses valeurs dans le disque unité D= x,y /x
2
+y
2
≤
1 avec une
densité de probabilité constante.
1. Déterminer cette contante.
2. Déterminer les densités marginales de Xet de Y.Xet Ysont-elles indépendantes ?
3. Calculer EX,EYet covX,Y.
Exercice 16
Soit X,Yde densité conjointe fx,y=4xy 0<x<1, 0 <y<1. Déterminer : la fonction de
répartition conjointe Fx,y, la fonction de répartition de Xet sa densité, la fonction de répartition de Yet
sa densité, les densités conditionnelles.
Exercice 17
Soit X,Yde densité conjointe fx,y=e
−y
pour 0 ≤x≤y< +∞. Déterminer les lois marginales et
les lois conditionnelles.
Exercice 18
Soit X,Yun couple de v.a qui suit une loi uniforme sur le triangle
x,y/x≥0, y≥0, x+y≤2. Déterminer :
1. la densité conjointe de X,Y.
2. les densité marginales.
3. la densité conditionnelle Y/X=x.
4. Calculer EX,EY/X=xet EEY/X=x. Que constate-t-on ?
Exercice 19
Un couple de v.a.r X,Yadmet pour densité conjointe
fx,y=ksi 0 ≤x≤1 et 0 ≤y≤2x1−x
0 sinon.
où kest une constante.
1.Représenter graphiquement le domaine de R
2
sur lequel la densité conjointe est non nulle et
déterminer la constante k.
2.Déterminer les densités marginales de Xet de Y.Xet Ysont elles indépendantes ?
3.Déterminer les lois conditionnelles. Calculer EX,EY/X=xet EEY/X=x.
Exercice 20
Un triplet de v.a.r X,Y,Za une loi de probabilité conjointe qui admet une densité fpar rapport à la
mesure de Borel-Lebesgue. On suppose que :
(i) La loi marginale de Xest une loi uniforme sur 0,1.
(ii) Yadmet, relativement à X, une densité de probabilité conditionnelle notée f
x
telle que :
f
x
y=y−xe
−y−x
si x,y∈Aoù A=x,y/0 ≤x≤1,y>x
0 ailleurs.
(iii) Zadmet, relativement au couple X,Y, une densité de probabilité conditionnelle notée f
x,y
telle
que :
f
x,y
z=y−xe
−zy−x
si x,y,z∈A×R
+
0 ailleurs.
1. Donner l’expression de fx,y,z.
2. Déterminer les lois marginales de Yet Z.
3. Calculer EY/X=x.
4. Déterminer la loi conditionnelle du couple X,Ysachant que Z=z.
Exercice 21
Soit X,Yun couple de v.a.r continues, de densité conjointe f. On note f
X
et f
Y
les densités marginales

de Xet Yrespectivement. On définit l’espérance conditionnelle de la variable Ysachant une valeur xde
Xcomme EY/X=x(noté simplement EY/x. Cette valeur est fonction de x(et non de Y. Lorsque
xparcourt le support de la variable X,XΩ,EY/xest considéré comme une fonction de la v.a.r Xet on
note EY/X. On définit de même VY/X.
1. Donner la densité de Y/X=xet en déduire l’expression de EY/x.
2. Donner l’expression de EEY/X et montrer que EEY/X =EY.
3. Montrer que VY=EVY/X +VEY/X.
CARACTERISATION DES LOIS
Exercice 22
On considère Xet Y2 v.a.r indépendantes. En utilisant la fonction génératrice des probabilités et la
fonction caractéristique, déterminer la loi de probabilité de X+Ydans les cas suivants :
1.X↬Pλet Y↬Pμ.
2.X↬Bn,pet Y↬Bm,p.
3.X↬Nμ
1
,σ
1
et Y↬Nμ
2
,σ
2
Exercice 23
1.X↬Nμ,σ. En utilisant la fonction caractéristique, trouver la loi de Y=aX +b,a,b∈R
2
.
2.X↬Nμ
1
,σ
1
et Y↬Nμ
2
,σ
2
,Xet Yindépendants. Trouver la loi de
U=aX +bY +c,a,b,c∈R
3
.
FONCTION DE V.A.R
Exercice 24
1. Une v.a.r Xprend ses valeurs dans Ravec la densité de probabilité fx. Exprimer la densité de la
v.a.r Ydans les cas suivants : a) Y=X
2
b) Y=X
2
+2X. On suppose que Xsuit une loi normale
centrée reduite. Trouver la densité de Y.
2.Xprend ses valeurs dans R
+
∗
avec la densité fx. Trouver la densité gyde la v.a Y=X
2
−2X.
3. Une v.a.r Xprend ses valeurs dans Ravec la densité de probabilité fx. Trouver la densité de
Y=|X+4|.
Exercice 25
Soit X une v.a absolument continue, de densité de probabilité fdéfinie par :
fx=e
−x
si x≥0
0 sinon.
1. Vérifier que fest une densité de probabilité.
2. On définit la v.a Ypar : Y=3X. Déterminer la loi de Yet trouver sa fgm.
Exercice 26
1. Soient X et Y 2 v.a.r indépendantes de densité fx=θe
−θx
,x>0 (θest un paramètre réel). Montrer
que les v.a.r U=X+Yet V=
X
Y
sont indépendantes.
2.Xet Ysont des v.a.r indépendantes qui suivent la loi uniforme sur 0,1. Déterminer la probabilité
pour que les racines de l’equation λ
2
+2Xλ+Y=0 soient réelles.
3.X
1
et X
2
sont indépendantes de loi continue uniforme sur 0,1. Trouver les densités des v.a : (i)
X
1
+X
2
(ii) X
1
−X
2
(iii) |X
1
−X
2
|(iv)
X
1
X
2
.
CONVERGENCES DES V.A.R
Exercice 27
Soit X
n n∈N
une suite de v.a.r. On suppose que X
n
↬N2,
1
n
. Montrer que X
n
converge en
probabilité.
Exercice 28
Soit X
1
,X
2
,...,X
n
nv.a.r i.i.d de moyenne μet de variance σ
2
. On pose

X
n
=1
n
i=1
n
∑
X
i
,S
n
2
=1
n−1
n
i=1
∑
X
i
−X
n
2
et Σ
n
2
=1
n
n
i=1
∑
X
i
−X
n
2
.
1. Calculer EX
n
,EΣ
n
2
et ES
n
2
.
2. Montrer que
a.X
np.s
μet X
nm.q
μ.
b.S
n
2p.s
σ
2
et Σ
n
2p.s
σ
2
.
c.
nX
n
−μ
σ
et
nX
n
−μ
S
n
convergent en loi.
3. Montrer que ES
n
<σet EΣ
n
<σ.
4. On suppose que la loi mère est une loi normale Nμ,σ.
a. Calculer VS
n
2
. On utilisera le résultat suivant :
n−1S
n
2
σ
2
↬X
2
n−1
b. Montrer que S
n
2m.q
σ
2
et Σ
n
2m.q
σ
2
.
c. Déterminer les lois de
nX
n
−μ
σ
et
nX
n
−μ
S
n
.