Mathématiques algèbre 1 - Espaces Vectoriels

Mathématiques algèbre 1
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CHAPITRE 1 : ESPACES VECTORIELS
I. Espace vectoriel IRn
Définition. IRn est l’ensemble des suites ordonnées comportant n nombres réel, tout élément
de IRn s’écrit sous la forme.
Exemple : 
Un élément  est appelé vecteur, les xi sont les composantes de X. On définit dans IRn
une loi de composition interne et une loi de composition externe.
 La loi de composition interne (+), est une loi qui associe à deux éléments de IRn un
troisième élément de IRn.
Nous allons considérer comme loi interne la somme vectorielle définie de la façon suivante.
Soit X et Y, 02 éléments quelconques de IRn on suppose que 
. La somme vectorielle de X et Y noté X+Y sera obtenue en faisant la somme 02
à 02 des composantes X et Y.
Propriétés :
1) (X+Y) +Z = X+(Y+Z) (Associativité)
2) X+Y = Y+X (Commutativité)
3) Il existe 
pour la somme vectoriel tel que :
X+N =N+X = X avec 
 (Elément neutre)
4) Chaque admet un élément symétrique noté 
 (Elément symétrique)
 Loi de composition externe, cette loi associe à un élément  un élément
 (d’où la dénomination loi de composition externe). L’élément  souvent
appelé scalaire est choisie dans le corps IR.
Dans l’espace vectorielle  la loi de composition externe est définie de la façon suivante :
Propriétés :
5)  (Distribution par rapport à la somme des scalaires)
6)  (Distribution par rapport à la somme des vecteurs)
7)  (Associativité mixte)

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8)  (1 est opérateur neutre)
Définition des espaces vectoriels.
1. L’ensemble IRn muni des lois de compositions interne et externe définie précédemment est
un espace vectoriel.
2. Tout E muni d’une loi de composition interne et une loi de composition externe par rapport
au corps K, vérifiant les propriétés de 1 à 8 est un espace vectoriel sur le corps K.
Dans le cadre de ce cours nous allons travailler spécialement sur IRn , car tous les problèmes
économiques sont posés dans IRn.
Exercice : montrer que IR2, IR3 sont des espaces vectoriels
II. Sous espaces vectoriels
Définition. Soit E un espace vectoriel sur le corps K, et F une partition de E , on dit
que F est un sous espace vectoriel de E si F est un espace vectoriel sur K.
Propriétés
1) CN : la condition nécessaire pour F soit un sous espace vectoriel est quel que soit
l’élément neutre de E, on est 
2) CNS : la condition nécessaire et suffisante pour que F soit un sous espace vectorielle
de E est si et seulement si
Ou si tel que 
Exemple : soit  montre que F2 est un sous espace de
IR3.
Solution :
 1ere méthode
CN : F2 est un sous espace vectorielle de IR3 si 
 Donc la CN est vérifiée.
CNS : F2 est un sous espace vectorielle de IR3 pour l’addition et stable pour la multiplication.
- F2 est un sous espace vectorielle de IR3 si et seulement si 

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F2 est stable pour l’addition
- F2 est un sous espace vectorielle de IR3 si et seulement si / 
F2 est stable pour la multiplication
(F2, +, .) est un sous espaces vectorielle.
 2eme méthode
CN : F2 est un sous espace vectorielle de IR3 si 
 Donc la CN est vérifiée.
CNS : F2 est un sous espace vectorielle de IR3 si et seulement si tel
que 
Soit 
Soit  
On ’a 
F2 est stable pour l’addition et stable pour la multiplication alors, (F2, +, .) est un sous espaces
vectorielle.
Exemple : soit , montrer que G est un sous espaces
vectoriel.

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Théorème. Tout n de sous espaces vectoriels d’un même espace vectoriel est un sous espace
vectoriel.
1. Intersection des sous espaces vectoriels
Soit  ; n sous espaces vectoriels de E. On appelle intersection de
 l’ensemble des vecteurs l’ensemble des vecteurs On résume
par 
 .
2. Sous espaces vectoriels indépendants
Un ensemble de sous espaces vectoriels  sont indépendants si tous vecteurs de
leur somme s’écrit de manière unique comme 
  Une somme de sous
espace vectoriel indépendant est égale à la somme directe de ces vecteurs 
Théorème. Pour que 2 sous espaces vectoriels F1 et F2 soient indépendants, il faut et il suffit
que leur intersection soit égale au vecteur nul, c’est-à-dire
. On dit que F1 et F2
sont en somme directe, si cette somme ce note 
3. Sous espaces vectoriels supplémentaires
Définition. Soit E un sous espace vectoriel, et soit F1 et F2 deux sous espaces vectoriels de E.
On dit que F1 et F2 sont des espaces vectoriels supplémentaires de E si l’on note :
Théorème. F1 et F2 sont des sous espaces vectoriels supplémentaires de E, alors tout vecteur
de E s’écrit de manière unique sous la forme X+X’ avec .
Exemple : Soient F1 et F2, 2 sous espaces vectoriels de IR 3 définie comme suit
1. Déterminer 
2. F1 et F2 sont’ ils supplémentaires
Solution
1. Soit 

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 est une droite vectorielle engendré par le vecteur 
2. F1 et F2 ne sont pas supplémentaires, car 
III. Combinaisons linéaires
Définition. Soient  ; n vecteurs de l’espace vectoriel E et pour les sous espaces
vectoriels ou  avec. Un vecteur de la somme 
 s’écrit  où  ; on dit alors que
c’est une combinaison linéaires des vecteurs
Exemple : Soit 
1. Calculer la combinaison linéaire 
2. Déterminer 
Propriétés
1) L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs de E est un sous espace
vectorielle de E.
2) F étant un sous espaces non vides d’un espace vectorielle E, pour que F soit un sous
espace vectorielle de E, il faut que et il suffit que toute combinaison linéaire de 2
vecteurs de .
Exemple : dans  ont considères les vecteurs 
1. Déterminer le sous ensemble de F combinaison linéaire des vecteurs .
2. Montrer que .
3. Quel est la dimension de F.
4. On suppose que  est engendré par (, et que  est engendré par . Déterminer