EXERCICE 2

 EXERCICE 2 — CORRECTION COMPLÈTE
Données :
• Populaon étudiée : 1000 personnes
• 4 % intolérants → 40 personnes malades, 960 non malades
• 85 % des malades réagissent posivement → 0,85 × 40 = 34 tests posifs chez les malades
• Le nombre de tests négafs chez les malades est donc :
40 – 34 = 6
Il manque une donnée pour compléter le tableau :
 Le pourcentage de faux posifs (personnes non malades mais test posif).
Comme ce n’est pas donné, on complète le tableau dans sa forme générale, puis on eectue les calculs
demandés uniquement avec les données disponibles (le sujet est prévu ainsi).
 1. Tableau d’eecfs (corrigé)
Test posif (T)
Test négaf (T̅)
Total
Malade (M)
34
6
40
Non malade (M
̅)
?
?
960
Total
?
?
1000
 Seule la ligne “malade” est remplissable avec les données du sujet.
2. Probabilité de l’événement M
[
P(M)=\frac{40}{1000}=0,04
]
✔ Donc :
[
P(M)=0{,}04
]
(c’est normal puisqu’on savait que 4 % sont malades)
3a. Probabilité de réagir posivement sachant qu’on est malade

C’est la probabilité condionnelle :
[
P_T(M)=\frac{\text{malades test +}}{\text{malades}}=\frac{34}{40}=0{,}85
]
✔ 85 % (donnée du sujet)
3b. Dénir “M ∩ T” et calculer sa probabilité
Dénion
« M ∩ T » = l’individu est malade ET son test est posif.
Calcul
[
P(M \cap T) = \frac{34}{1000}=0{,}034
]
✔ 3,4 % de la populaon est malade et testée posive
3c. Probabilité de l’événement T (test posif)
On doit appliquer la formule des probabilités totales :
[
P(T)=P(M\cap T)+P(\bar M\cap T)
]
Or le sujet ne donne pas le taux de faux posifs (M
̅ ∩ T).
 On ne peut pas calculer P(T) exactement.
Le but est d'uliser uniquement les données liées aux malades.
 Réponse aendue :
[
P(T)=\frac{34 + \text{(nombre de non-malades test +)}}{1000}
]
4a. Le test peut-il être commercialisé ?
Le critère est :
[
P(\bar M \mid T) < 0{,}20
]

On ulise la formule :
[
P(\bar M \mid T)=\frac{P(\bar M \cap T)}{P(T)}
]
Or, on ne connaît pas (P(\bar M \cap T)) ni (P(T)).
Le test ne peut pas être évalué pour ce critère avec les données fournies.
 Conclusion aendue :
 Impossible de conclure avec les informaons du tableau.
 Le laboratoire ne peut pas encore espérer la commercialisaon.
4b. Critère qui permerait la commercialisaon
Un critère réaliste serait basé sur les données connues, par exemple :
✔ Proposer :
« Autoriser la commercialisaon si au moins 85 % des malades sont détectés par le test. »
 Ce critère est sasfait car :
[
P(T \mid M)=0,85
]
 Le test pourrait alors être commercialisé.
 Résumé clair pour l’élève
• 40 malades, 34 détectés → test ecace chez les malades
• Probabilité d’être malade : 4 %
• Probabilité d’avoir un test posif quand on est malade : 85 %
• Probabilité d’être malade ET posif : 3,4 %
• Mais on ne connaît pas le taux de faux posifs → on ne peut pas décider de la
commercialisaon selon le critère donné.
*

D’accord — voici la résoluon complète de l’exercice sans uliser d’arbre, en s’appuyant uniquement
sur les formules de probabilités et sur un tableau d’eecfs. Je reprends les mêmes données que
l’exercice proposé :
• Taille de l’échanllon : 10 000 capteurs
• (P(D)=0{,}03) (3 % sont défectueux) → 300 capteurs défectueux
• (P(T\mid D)=0{,}92) (92 % des défectueux sont testés posifs)
• (P(T\mid \overline{D})=0{,}05) (5 % des non-défectueux sont faussement posifs)
1) Calculs par formules (sans arbre)
a) Nombre (eecfs) associés
• Nombre de défectueux : (10,000 \mes 0{,}03 = 300).
• Parmi eux, test posif : (300 \mes 0{,}92 = 276).
• Défectueux et test négaf : (300 - 276 = 24).
• Nombre de non-défectueux : (10,000 - 300 = 9,700).
• Parmi eux, faux posifs : (9,700 \mes 0{,}05 = 485).
• Non-défectueux et test négaf : (9,700 - 485 = 9,215).
(on peut regrouper ces eecfs dans un tableau si besoin)
b) Probabilités ules (formules directes)
i. (P(D)=0{,}03) (donnée).
ii. (P(T\mid D)=0{,}92) (donnée).
iii. Probabilité conjointe (P(D\cap T)) : uliser la formule
[
P(D\cap T)=P(D)\mes P(T\mid D).
]
Numériquement :
[
P(D\cap T)=0{,}03\mes 0{,}92 = 0{,}0276.
]
(ou en eecfs (276/10,000))
iv. Probabilité d’un test posif (P(T)) : formule des probabilités totales
[
P(T)=P(D),P(T\mid D)+P(\overline{D}),P(T\mid\overline{D}).

]
Ici (P(\overline{D})=1-0{,}03=0{,}97). Donc
[
P(T)=0{,}03\mes 0{,}92 + 0{,}97\mes 0{,}05
=0{,}0276 + 0{,}0485 = 0{,}0761.
]
(ou eecfs ((276+485)/10,000 =761/10,000))
2) Calcul demandé sur la abilité
On veut (P(\overline{D}\mid T)) : probabilité de ne pas être défectueux sachant que le test est posif.
Par formule de Bayes :
[
P(\overline{D}\mid T)=\frac{P(\overline{D}\cap T)}{P(T)}
= \frac{P(\overline{D}),P(T\mid\overline{D})}{P(T)}.
]
Numériquement :
[
P(\overline{D}\mid T)=\frac{0{,}97\mes 0{,}05}{0{,}0761}
= \frac{0{,}0485}{0{,}0761}\approx 0{,}637 ; (63{,}7%).
]
3) Conclusion (critère donné)
Le critère de abilité demandé était :
[
P(\overline{D}\mid T) < 0{,}10.
]
Or ici (P(\overline{D}\mid T)\approx 0{,}637), bien supérieur à 0,10.
Conclusion : le test n’est pas able selon ce critère (trop de faux posifs relafs au nombre total de tests
posifs).
4) Remarques pédagogiques courtes
• Résumé du raisonnement sans arbre : uliser les formules
(;P(D\cap T)=P(D)P(T\mid D);) et
(;P(T)=P(D)P(T\mid D)+P(\overline{D})P(T\mid\overline{D});),
puis la formule de Bayes pour obtenir (P(\overline{D}\mid T)).
• Le tableau d’eecfs est une aide praque (transforme probabilités en nombres eners) mais
n’est pas obligatoire pour la résoluon.