Révision (1)

Année universitaire : 2020 −2021
Module : Analyse I
1ère Année CP
Série de révision
Problème 1 :On considère la fonction f:]0, +∞[→Rdéfinie, pour tout xde ]0, +∞[, par :
f(x) = ex−eln(x).
On admet les encadrements numériques suivants :
2.7 <e<2.8, 7.3 <e2<7.4 et 0.6 <ln(2)<0.7
Partie I : Étude de la fonction f
1)– (a) Calculer, pour tout xde ]0, +∞[,f0(x), puis f00(x).
(b) En déduire le tableau de variations de f0.
(c) Déterminer les limites de f0en 0 et en +∞puis préciser f0(1).
2)– En déduire le tableau de variations complet de fet préciser la valeur du minimum f(1).
3)– Tracer la courbe représentative de f.
4)– (a) Étudier les variations de la fonction
u:]0, +∞[→R
x7→ f0(x)−x.
(b) En déduire que l’équation f0(x) = x, d’inconnue x∈]0, +∞[, admet une solution et
une seule, notée α, et montrer : 1<α<2.
Partie II : Étude d’une suite
On considère la suite réelle (un)n∈Ndéfinie par : u0=2et, pour tout nde N,un+1=f(un)
1)– Montrer que, pour tout nde N,unexiste et un>2.
2)– Montrer que la suite (un)n∈Nest croissante.
3)– (a) Démontrer : ∀x∈2, +∞, 2 ln(x)6x6ex
3
(b) En déduire : ∀n∈N,un+1>6−e
2un.
(c) Montrer alors : ∀n∈N,un>26−e
2n
puis déterminer la limite de la suite u.
(d) Déterminer un entier n0tel que pour tout entier n>n0,un>1000.
Problème 2 :On considère un entier nstrictement positif et on définit la fonction fn:R→Rpar :
∀x∈R,fn(x) = πx−e−x
1)– (a) Étudier l’existence et la valeur de la limite de fn(x)lorsque xtend vers +∞.
Série No6Analyse I 1/3 CP1_S1_ENSAF_2020 −2021

(b) Déterminer la limite de fn(x)−nx lorsque xtend vers +∞et interpréter graphiquement le
résultat.
2)– (a) Étudier l’existence et la valeur de la limite de fn(x)lorsque xtend vers −∞.
(b) Prouver que fnadmet une branche parabolique en −∞, de direction l’axe des ordonnées.
3)– (a) Étudier les variations de fnsur R.
(b) Donner une allure de la courbe représentative de f2dans un repère orthonormé.
4)– Montrer que l’équation nx −e−xadmet une unique solution dans R. On note uncette solution.
5)– (a) Pour tout n∈N∗, exprimer unen fonction de exp (−un).
(b) Étudier le signe de un pour un∈N∗.
(c) Démontrer que la suite (un)n>1est décroissante.
(d) En déduire la convergence de la suite (un)n>1et déterminer sa limite.
(e) Montrer que lim
n→+∞
nun=1
Problème 3 :
Partie I :
Soit gla fonction définie pour tout x∈]1, +∞[par g(x) = ln x+1
x−1−x.
1)– (a) Vérifier que gest bien définie sur ]1, +∞[.
(b) Trouver les limites de gen 1 et en +∞.
(c) Étudier le signe de ln x+1
x−1pour x∈]1, +∞[.
(d) En déduire la position relative de la courbe de get de la droite d’équation y=−xsur
]1, +∞[.
(e) Définition : On dit que la droite d’équation y=ax +best asymptote à la courbe de g
au voisinage de +∞, si lim
x→+∞
[g(x)−(ax +b)] = 0. Montrer que la droite d’équation
y=−xest asymptote à la courbe de gau voisinage de +∞.
2)– (a) Justifier que gest dérivable sur ]1, +∞[, puis montrer que pour tout x∈]1, +∞[,
g0(x) = −1−x2
(x−1)(x+1).
(b) En déduire le tableau de variations complet de gsur ]1, +∞[.
(c) Montrer que gs’annule en un unique point que l’on notera α. Vérifier que α62.
(d) En déduire le signe de gsur ]1, +∞[.
3)– Dans un repère orthonormé, dessiner la droite d’équation y=−xainsi que l’allure de g, en
tenant compte des questions 1. (d) et 1.(e).
Partie II :
Soit la fonction fdéfinie par f(x) = 1−x2ln 1+x
1−x.
1)– (a) Déterminer l’ensemble de définition Ide f.
(b) Déterminer la parité de f. Qu’en déduit-on graphiquement?
2)– (a) Justifier que fest dérivable sur Iet calculer f0sur I.
(b) Montrer que ∀x∈]0, 1[,f0(x) = −2x×g1
x.
(c) En déduire le signe de f0sur ]0, 1[.
Série No6Analyse I 2/3 CP1_S1_ENSAF_2020 −2021

(d) Donner le tableau de variations de fsur [0, 1[, puis sur I. On admettra que
lim
x→1f(x) = 0.
3)– Calculer la limite à gauche en 1 de f(x)
x−1.
4)– Déterminer tous les points en lesquels la courbe de fadmet une tangente horizontale.
5)– Dessiner alors l’allure de fsur tout son ensemble de définition, dans un repère orthonormé.
Série No6Analyse I 3/3 CP1_S1_ENSAF_2020 −2021