TD Espace d'État | Automatique Ingénieur

TD No. 1, Espace d’état. Page 1/2
TD N°2
Exercice N°1
Soit le système décrit par les équations d’état
txtxty
tubtxatx
tubtxatx
11
2222
1111
où
121 ,, baa
et
2
b
sont des paramètres constants et quelconques.
1. Déterminer le quadruplet
DCBA ,,,
de la forme matricielle de ces équations d’état en termes des
paramètres
121 ,, baa
et
2
b
.
2. Déterminer la fonction de transfert
sUsYsG /
du système.
3. Déterminer les pôles et les zéros du système en termes des paramètres
121 ,, baa
et
2
b
.
4. Pour quelles valeurs de ces paramètres, ce système est stable ?
Exercice N°2
Un système linéaire dont l’entée est
tr
et la sortie est
ty
est décrit par l’équation différentielle
tr
dt tyd 
2
2
avec
10 
dt
dy
et
10 y
.
1. Obtenir des équations d’état du système.
2. Calculer la matrice de transition d’état
t
du système de deux manières différentes.
3. Calculer le vecteur des états du système pour
0t
,quand l’entrée
ttutr 
, où
tu
est l’échelon
unitaire.
4. Calculer le vecteur des états du système pour
0t
,quand l’entrée
tuetr t3
, où
tu
est
l’échelon unitaire.
Exercice N°3
Pour le système décrit par la représentation d’état suivante :
.
.
)()()(
)()()(
tDutCXty
tButAXtX
0,011,
1
0
0
,
023
100
010
DCBA
1. Calculer les fonctions de transfert reliant X(s) et U(s).
2. Calculer la fonction de transfert reliant Y(s) et U(s).
3. Déterminer les valeurs propres de la matrice du système A.
Exercice N°4
Un système linéaire et invariant dans le temps est décrit par l’équation différentielle
trtc
dttdc
dt tcd  2
2
2
.
1. Définir comme variables d’état
dttdctxtctx /et 21 
, écrire les équations d’état
correspondantes sous la forme matricielle, et calculer la matrice de transition d’état
t
.
République Tunisienne
Ministère de l’Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scientifique
UNIVERSITE DE TUNIS
Ecole Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Tunis

TD No. 1, Espace d’état. Page 2/2
2. Définir comme variables d’état
dttdctctxtctx /et 21 
, écrire les équations d’état
correspondantes sous la forme matricielle, et calculer la matrice de transition d’état
t
.
3. Montrer que les équations caractéristiques des systèmes trouvés en 1.) et en 2.) sont identiques.
Expliquer pourquoi.
Exercice N°5
Soit le système dynamique S1 décrit par les équations d'état
(S1)
21
212
11 32
xxy
xxx
uxx
où
1
x
et
2
x
représentent les variables d'état,
un paramètre, ula commande, et yla sortie du système
S1.Soit le système dynamique S2 décrit par les équations d'état
(S2)
3
33 xz
wxx
où
3
x
représente la variable d'état, wla commande, et zla sortie du système S2.
1. Déterminer si chaque système est contrôlable, observable, stable.
2. Ces deux systèmes sont connectés en séries avec
yw 
. Déterminer si le système résultant S3 est
contrôlable, observable, et stable.
3. Les deux systèmes sont maintenant connectés en parallèle selon la figure donnée ci-dessous.
Déterminer si le système résultant S4 ayant pour entrée rest contrôlable, observable, et stable.
Exercice N°6
Soit le circuit suivant dans lequel le signal d’entrée est la tension
te
et le signal de sortie est le
voltage
tv
à travers la capacité
C
:
1. Choisir des variables d'état pour ce circuit. Justifier ce choix.
2. Ecrire les équations d'état du système. On précisera les expressions des matrices A,B,Cet D.
3. Est-ce que ce circuit est stable ?
4. Calculer, à partir des équations d’état, la transmittance du circuit
sE sV
sH 
.
5. Si à l'instant
0t
,
Vv 10 
et
AiL00 
, calculer le voltage
tv
pour
0t
quand
tute 
un
échelon unitaire.
6. Donner l'allure approximative de
tv
.
S1
S2
_
r
u
z
y = w
t
L
i
te
R
L
tiR
tv
C
t
C
i