Contrôle Maths Octobre 2024 Polynômes Dérivées

T
spé Contrôle du mercredi 2 octobre 2024
(2 heures)
• Le sujet est à conserver.
• On rendra les 4 feuilles jointes au sujet à l’intérieur de la copie.
• Merci de bien mettre en évidence les résultats demandés en les encadrant à la règle.
• L’utilisation du symbole d’équivalence est interdite en dehors de l’exercice II pour la résolution des équations.
I. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point)
On considère le polynôme
32
3 1
P
xxx
x .
Les trois questions de cet exercice sont indépendantes les unes des autres.
1°) Déterminer une factorisation de
Px
sous la forme d’un produit d’un polynôme du premier degré par un
polynôme du second degré.
On écrira la factorisation sans expliquer.
2°) Calculer
1
3
P
.
3°) Compléter les pointillés de la deuxième ligne de la procédure Python écrite dans le cadre ci-dessous permettant,
pour un réel x entré par l’utilisateur, d’obtenir la valeur de
Px
.
x=float(input('Entrer le nombre :'))
print(……………………)
II. (3 points : 1 point + 1 point + 1 point)
Résoudre dans  les équations suivantes :
32
20
xxx
1
; 2
2
2331
1
x
xxxx
2
; 42
4920
xx
3
III. (2 points)
On considère les fonctions f : x
231
x
et g : x
4
1
x
x
.
Calculer la dérivée de f et g sans s’occuper des ensembles de définition ni de dérivabilité.

IV. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point)
On considère la fonction f : x2
23
2
x
x
définie sur l’ensemble
\2;2
 et on note C sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère
O,,
ij
.
1°) Démontrer que pour tout réel x différent de
2
et
2
, on a
2
2
2
32
'2
2
xx
fx x
.
2°) Calculer le coefficient directeur de la tangente T à C au point A d’abscisse 0.
3°) Déterminer les abscisses des points E et F de C en lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. On
suppose que
EF
xx
.
V. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point)
On considère la fonction f : x 1
xx
 définie sur l’intervalle 0; et on note C sa courbe représentative
dans le plan muni d’un repère
O,,
ij
.
1°) Calculer
'
fx
pour x réel quelconque dans l’intervalle 0; . On donnera le résultat sous la forme d’un seul
quotient.
2°) Déterminer l’abscisse du point A de C en lequel la tangente est parallèle à l’axe des abscisses.
3°) Calculer l’ordonnée du point B de C d’abscisse
423
.
On donnera la valeur exacte sous la forme
3
ab
 avec a et b entiers.
VI. (3 points : 1°) 2 points ; 2°) 1 point)
On considère la fonction f : x2
1
x
x
définie sur .
Les deux questions de cet exercice sont indépendantes l’une de l’autre.
1°) Démontrer que pour tout réel x, on a
3
2
1
'
1
fx x
.
2°) Le but de cette question est de déterminer les antécédents de
1
2
par f.
On doit donc résoudre l’équation
1
2
fx , c’est-à-dire 2
1
2
1
x
x
E
.
On admet que l’équation
E
est équivalente au système
2
2
2
1
2
1
0
x
x
x
.
Achever la résolution de
E
et en déduire les antécédents de
1
2
par f.

VII. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 2 points)
Dans le plan muni d’un repère
O,,
ij
, on donne les points A
3;1
et B
1;2
ainsi que la droite D d’équation
cartésienne
2180
xy .
1°) Écrire, sans justifier, un système d’équations paramétriques de la droite
AB
.
2°) Démontrer que les droites D et
AB
sont sécantes.
On note I le point d’intersection de la droite
AB
et de la droite D.
Recopier et compléter la phrase suivante :
« Le paramètre t du point I sur la droite
AB
vérifie l’égalité ………… ».
En déduire la valeur de t correspondante. Calculer alors les coordonnées de I.
Vérifier sur l’écran de la calculatrice.

Feuille 1 à rendre
Numéro :
….. Prénom et nom : …………….……………………………. Note : ….. / 20
I. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point)
1°) ………………………………………………………………………………….……………………………………
2°) ………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
3°)
x=float(input('Entrer le nombre :'))
print(……………………………………..…)
II. (3 points : 1 point + 1 point + 1 point)
32
20
xxx
1
; 2
2
2331
1
x
xxxx
2
; 42
4920
xx
3
Donner directement sans explication les ensembles de solutions respectifs
1
S
,
2
S
,
3
S
des équations
1
,
2
,
3
.
1
................................
S2
................................
S3
................................
S
Écrire le détail de la résolution sur la copie.

Feuille 2 à rendre
III. (2 points : 1 point par calcul + 1 point pour l’écriture des résultats)
Faire les calculs en colonnes en partageant en deux.
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
IV. (3 points : 1°) 1 point ; 2°) 1 point ; 3°) 1 point)
1°) ………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
2°) ………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………….
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
3°) ………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………………………..………………………………………………………….
………………………………………………………………..………………………………………………………….
…………………………………………………………………………..……………………………………………….
………………………………………………………………..………………………………………………………….