Concours ISE 2024 Ingénieurs Statisticiens

ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE
DE STATISTIQUE ET D'ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ENSEA – ABIDJAN
INSTITUT SOUS-RÉGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ISSEA – YAOUNDÉ
ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ÉCONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE – DAKAR
ÉCOLE NATIONALE D’ÉCONOMIE APPLIQUÉE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM – COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES
ISE Option Mathématiques
ORDRE GÉNÉRAL
(Durée de l’épreuve : 4 heures)
Les candidats traiteront au choix l’un des trois sujets suivants.
Pourquoi punir ? Répondez et argumentez.
Vivre avec son temps. Impératif ou illusion ? Vous répondrez à la question en illustrant
vos propos.
« Si je ne suis pas moi - même je ne suis personne. »
Virginia Woolf (1882-1941), autrice britannique, Journal d’un écrivain (1915-1941) . Que
pensez-vous de cette injonction ?
Sujet n° 3
Sujet n° 1
Sujet n° 2

ECOLE NATIONALE SUP´ ERIEURE
DE STATISTIQUE ET D’´ ECONOMIE APPLIQU´ EE
ENSEA - ABIDJAN
INSTITUT SOUS-R´ EGIONAL DE STATISTIQUE
ET D’´ ECONOMIE APPLIQU´ EE
ISSEA - YAOUND´ E
´
ECOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE
ET DE L’ANALYSE ´ ECONOMIQUE
ENSAE PIERRE NDIAYE - DAKAR
´
ECOLE NATIONALE D’´ ECONOMIE APPLIQU´ EE
ET DE MANAGEMENT
ENEAM - COTONOU
AVRIL 2024
CONCOURS ING´ ENIEURS STATISTICIENS ´ ECONOMISTES
ISE Option Math´ematiques
1`ere COMPOSITION DE MATH´ EMATIQUES
(Dur´ee de l’´epreuve : 4 heures)
Le sujet est constitu´e de deux probl`emes ind´ependants. Tout r´esultat donn´e dans l’´enonc´e
pourra ˆetre admis dans les questions suivantes. Le plus grand soin sera apport´e `a la r´edaction et `a
la pr´esentation des r´esultats.
1 Probl`eme d’analyse
Dans ce probl`eme, nous nous int´eressons `a des int´egrales de la forme Z+∞
0
1
(1 + tα)ndt
o`u αest un r´eel strictement positif et nun entier naturel.
Partie I : ´ Etude de cas particuliers
1. Dans cette question, traitons le cas α= 1.
On pose pour tout entier naturel n,un=Z+∞
0
1
(1 + t)ndt.
a) D´eterminer les entiers naturels npour lesquels l’int´egrale unest convergente puis
la calculer.
b) Donner un ´equivalent de unlorsque n→+∞.
2. ` A pr´esent, on s’int´eresse au cas particulier o`u αest ´egal `a 2.
On pose pour tout entier naturel n,vn=Z+∞
0
1
(1 + t2)ndt.
1

a) D´eterminer les entiers naturels npour lesquels l’int´egrale vnest convergente.
b) Montrer que pour tout entier naturel non nul non a la relation de r´ecurrence :
vn+1 =2n−1
2nvn.
c) En d´eduire l’expression de vn+1 pour tout n∈N.
d) On rappelle la formule de Stirling : n!∼
n→+∞nne−n√2πn.
D´eterminer alors un ´equivalent de vnlorsque n→+∞.
Partie II : ´ Etude du cas n= 1
Dans cette partie, on pose pour tout r´eel strictement positif α,K(α) = Z+∞
0
1
1 + tαdt.
3. D´eterminer l’ensemble des r´eels strictement positifs αtels que K(α) soit une int´egrale
convergente.
Dans la suite de ce probl`eme, on fixe un r´eel αstrictement sup´erieur `a 1.
4. D´emontrer que :
K(α) = Z1
0
1
1 + tαdt+Z1
0
tα−2
1 + tαdt.
5. Montrer que pour tout entier naturel non a :
Z1
0
1
1 + tαdt=
n
X
k=0
(−1)k
αk + 1 +Rnavec |Rn| ≤ 1 α(n+ 1) + 1.
On pourra appuyer le raisonnement sur l’´etude de la somme
n
X
k=0
(−tα)kpour t∈[0,1].
6. D´emontrer que pour tout entier naturel nnon nul on a :
Z1
0
tα−2
1 + tαdt=
n
X
k=1
(−1)k−1
αk −1+Snavec |Sn| ≤ 1 α(n+ 1) −1.
7. Exprimer alors K(α) sous la forme d’une s´erie convergente.
2

8. Soit λun nombre r´eel non nul.
On consid`ere la fonction 2π-p´eriodique fd´efinie sur Ret dont la restriction `a [−π, π[ est
donn´ee par : [−π, π[−→ R
t7−→ cos(λt).
a) D´eterminer les coefficients de Fourier r´eels de la fonction f.
b) ´ Etudier la convergence de la s´erie de Fourier de fet en d´eduire la valeur de la somme :
1+2λ2
+∞
X
n=1
(−1)n
λ2−n2.
9. Montrer que : K(α) = π
αsin π
α.
10. Retrouver le r´esultat pour le cas α= 2.
Partie III : Calcul d’un ´equivalent dans le cas g´en´eral
Dans cette partie, nous allons d´eterminer un ´equivalent de Z+∞
0
1
(1 + tα)ndtlorsque n→+∞.
Posons donc, pour α > 1 fix´e, In=Z+∞
0
1
(1 + tα)ndt.
11. D´eterminer les entiers naturels ntels que Insoit une int´egrale convergente.
12. Montrer que pour tout n≥1, In+1 =nα −1
nα In.
13. a) Justifier que pour tout n≥1, on a In>0.
On pose alors pour tout entier naturel nsup´erieur ou ´egal `a 1, zn= ln(In) + 1
αln(n).
b) Montrer que la s´erie X
n≥1
(zn+1 −zn) est convergente.
c) En d´eduire l’existence d’un r´eel Lstrictement positif tel que : In∼
n→+∞L n−1
α.
3

`
A pr´esent, nous allons calculer la valeur de L. Pour ce faire, posons pour tout n≥1, Jn=n1
αIn.
14. a) Montrer que pour tout r´eel positif ton a l’encadrement : t−t2≤ln(1 + t)≤t.
b) On rappelle que la fonction Γ est d´efinie sur R∗
+par :
∀x > 0,Γ(x) = Z+∞
0
e−ttx−1dt.
Montrer que pour tout entier naturel non nul non a : 1
αΓ1 α≤Jn.
c) D´emontrer que :
Jn≤e
1
√n
αΓ1 α+n1
α
1 + n−3
4n+n1
α
nα −1.
On pourra commencer par d´ecomposer l’int´egrale Inde la mani`ere suivante :
In=Zn−
3
4α
0
1
(1 + tα)ndt+Z1
n−
3
4α
1
(1 + tα)ndt+Z+∞
1
1
(1 + tα)ndt.
d) D´emontrer que :
In∼
n→+∞
1
αΓ1 αn−1
α.
4