Dynamique des structures : systèmes SSDL

Module : dynamique des structures
Systèmes à un seul degré de liberté (SSDL)
Youssef CHERRADI
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Plan
•Équations du mouvement et méthodes de résolution
• Relation force-déplacement
• Equation de mouvement : force externe
• Equation de mouvement : excitation sismique
• Méthodes de résolution de l'équation différentielle
•Vibrations libres d’un SSDL
• Vibrations libres non amorties(C=0)
• Vibrations libres amorties (C≠0)
•Vibrations forcées d’un SSDL
• Réponse à un chargement harmonique simple
• Réponse à un chargement périodique
• Réponse à un chargement par impulsion
• Réponse à une excitation dynamique quelconque

Équations du mouvement et méthodes de résolution
Le système considéré est représenté à la figure. Il se compose d'une masse m concentrée au niveau du toit,
d'un cadre sans masse qui assure la rigidité du système et d'un amortisseur visqueux (également appelé
dashpot) qui dissipe l'énergie vibratoire du système (amortisseur visqueux). La poutre et les colonnes sont
supposées être inextensibles axialement.
Ce système peut être considéré comme une idéalisation d'une structure à un étage. Chaque élément
structurel (poutre, colonne, mur, etc.) de la structure réelle contribue à l'énergie d'inertie (masse), à l'énergie
d'élasticité et à l'énergie de vibration. Dans ce système idéalisé chacune de ces propriétés est concentré
dans trois composantes pures et distinctes : la masse, la rigidité et l'amortissement.
Masse m
Cadre sans masse
Dashpot
Dans l'analyse dynamique, le nombre de déplacements indépendants nécessaires pour définir les positions
déplacées de toutes les masses par rapport à leur position initiale est appelé le nombre de degrés de liberté
DL(DOF) .

Équations du mouvement et méthodes de résolution
Deux types d'excitation dynamique seront considérés : (1) la force externe p(t) dans la direction latérale , et
(2) le mouvement du sol ug(t) induit par le séisme .Dans les deux cas, u représente le déplacement relatif entre
la masse et la base de la structure.
Considérons le cadre d'un étage de la Figure, contraint de se déplacer uniquement dans la direction de
l'excitation. Le problème de l'analyse statique doit être formulé avec trois DDL (déplacement latéral et deux
rotations d'articulations) pour déterminer la rigidité latérale du cadre. En revanche, la structure n'a qu'une seule
DDL - le déplacement latéral - pour l'analyse dynamique, si elle est idéalisée avec une masse concentrée en un
seul endroit, généralement au niveau du toit. C'est ce que nous appelons un système à un seul degré de
liberté (SDF).
(1) (2)

Relation force-déplacement
Équations du mouvement et méthodes de résolution
Considérons le système illustré à la figure, sans excitation dynamique, soumis à une force statique fS
appliquée de façon externe le long de u. La force interne qui résiste au déplacement u est égale et opposée
à la force externe fS.
On souhaite de déterminer la relation entre la force fS et le
déplacement relatif u associé aux déformations de la
structure pendant un mouvement oscillatoire. Cette relation
force-déplacement sera linéaire pour les petites
déformations mais deviendra non linéaire pour les grandes
déformations.
La détermination de la relation entre fS et u est un
problème standard dans l'analyse statique des structures.