Série Maths Première S1 : Géométrie & Polynômes

Maissa FALL
Lycée de MBAO
première S1
SERIE N°1
EXERCICE 1 :
Soit ABC un triangle, I,J et K les points définis par 4
'AI
+
'BA
=
'O
'AJ
-
'JC
=
'O
et 4
'BK
+ 3
CB
=
'O
Montrer que (AK), (BJ) et (CI) ont un point commun.
EXERCICE 2
Soit ABC un triangle.
1. Soit M, Net P trois points appartenant respectivement aux droites (BC), (CA) et (AB)
et distincts des sommets A, B, C du triangle. Démontrer que : une condition
nécessaire et suffisante pour que les points M,N et P soient alignés est :
PB
PA
NA
NC
MC
MB 
= 1 (1) Théorème de Ménélaus
2. On suppose que les droites (AM) , (BN) et (CP) sont parallèles ; démontrer que :
PB
PA
NA
NC
MC
MB 
= -1 (2)
3. On suppose que les droites (AM) , (BN) et (CP) sont concourantes en point K.
Démontrer, par deux méthodes que l’égalité (2) est encore vraie
a) En utilisant le théorème de Ménélaus
b) En considérant le point K comme barycentre de A,B,C affecté de
coefficients dont la somme est égale à 1.
4. Réciproquement, démontrer que si les point M,N et P vérifie la relation (2) alors les
droites (AM), (BN) et (CP) sont parallèles ou concourantes.
Conclusion : Pour que les droites (AM), (BN) et (CP) soient parallèles ou concourantes,
il faut et il suffit :
PB
PA
NA
NC
MC
MB 
= -1 Théorème de Ceva
EXERCICE 3
Soit PQR un triangle, P’ le milieu de [QR]. Une droite parallèle à (PP’) coupe les droites
(QR), (PR) et (PQ) respectivement en A1 , B1 et C1
Démontrer que
PQ
PC1
+
PR
PB1
= 0
EXERCICE 4
Soit ABC un triangle. P et q deux réels positifs non nul. On désigne par G le barycentre de
(A, p), (B, q) et (C, q). Les droites (AG), (BG) et (CG) coupent respectivement (BC), (CA) et
(AB) en I, J et K.
En utilisant le théorème des barycentres partiels, démontrer que :
1. I est milieu de [BC] ;
2. Les droites (JK) et (BC) sont parallèles.

Maissa FALL
EXERCICE 5
Soit ABC un triangle on pose AB = c, BC = a et AC = b. On désigne par I, le point
d’intersection de (BC) avec la bissectrice de l’ angle
A
ˆ
. La parallèle à (AI) passant par C
coupe (AB) en D.
1. Démontrer que ACD est isocèle et que
b
c
IC
IB
2. En déduire les barycentres respectifs de (B,b) et (C,c) ; de (A,a) et (B,b) de (A,a) et
(C,c).
3. Montrer que le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC est le barycentre de (A,a)
(B,b) et (C,c).
4. La bissectrice extérieure de l’angle
A
ˆ
coupe la droite (BC) en K. La parallèle à (AK)
passant par C coupe (AB) en C’.
a) Démontre que le triangle ACC’ est isocèle.
b) Démontre que K est le barycentre de (B, b) et (c, -c).
EXERCICE 6
Dans un triangle ABC deux transversales A’B’C’ et A’’B’’C’’ sont telles que : (A’B’’)// (AB)
et (A’’C’) // (AC) .
démontrer que (B’C’’) // (BC).
EXERCICE 7
Soit ABC un triangle, le cercle circonscrit et O son centre ; H l’orthocentre du triangle.
1. On considère ABC rectangle en A, Préciser l’orthocentre et montrer que ses
symétriques par rapport aux cotés du triangle appartiennent au cercle .
2. ABC n’est ici pas rectangle ; soit D le point diamétralement opposé à A sur .
a) Montrer que D est différent de B et C. Quelle est la nature du quadrilatère
BHCD ?
b) Soit H’ le symétrique de H par rapport à (BC). Dans le triangle HH’D, montrer
que (AH’) est orthogonale à (H’D). En déduire que H’ est un point de .
c) En considérant H1 et H2 les symétriques respectifs de H par rapport à (AB) et
(AC) et s’inspirant de ce qui a été fait ci-dessus, montrer que les symétriques
de l’orthocentre par rapport aux cotés du triangle sont sur le cercle
circonscrit
EXERCICE 8
Soit ABCD un parallélogramme, I milieu de [AD] et J le symétrique de D par rapport à C.
1. Montrer que I est barycentre de (A,2), (B,-1) et (C,1)
2. Montrer que J est barycentre des points A, B et C affecté des coefficients que l’on
déterminera.
3. Déterminer l’ensemble des points M tels que :
a)
CMBMAM 
2
=
BMAM 
b)
CMBMAM 
=
CMBMAM 
2
EXERCICE 9
Soit ABC un triangle et M un point strictement intérieur à ce triangle. Les droites (AM), (BM)
et (CM) coupent respectivement les cotés [BC], [CA] et [AB] du triangle en A’, B’ et C’.

Maissa FALL
1. a) Démontrer que :
CA'BA' aire(MAC)
aire(MAB)
b) En déduire que A’ est le barycentre des points pondérés (B, aire(MAC)) et
(C, aire(MAB))
2. Soit G le barycentre des points pondérés (A, aire(MBC)), (B, aire(MAC)) et (C,
aire(MAB)). Démontrer que G et M sont confondus.
3. Application
Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. On pose AB = c , AC = b et
BC = a ; en utilisant les résultats précédents, démontrer que I est le barycentre de
(A, a), (B, b) et (C,c).
EXERCICE 10
Le plan est muni du repère (O, I, J).
On considère une plaque homogène d’épaisseur constante, formée du disque de centre O et de
rayon 1, auquel on a enlevé un disque de rayon r, tangent intérieurement en I au précédent.
1. Déterminer, en fonction de r, la position du point G, centre de Gravité de cette plaque.
2. Calculer r pour que le point G soit exactement sur la « frontière » entre les deux
disques.
( on remarquera que la valeur de r trouvée est égale à l’inverse du « nombre d’o r ».)
EXERCICE 11
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,
i
,
j
). Dans chacun des cas suivants,
déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) :
1. (D) est la droite passant par A(-1 ;3) et de coefficient directeur –1
2. (D) est la droite passant par B(3 ; -4) et dirigée par un vecteur directeur
u
vérifiant
(
ui 
,
) = -
3
2
EXERCICE 12
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,
i
,
j
), on considère la droite (D) de
représentation paramétrique
  ty tx 41 32
t IR.
1. La droite (D) passe-t-elle par A5-2 ; 1) ? Par B(1 ; -1) ? Par C(4 ; -7) ?
2. Quelle est le point de (D) qui a pour abscisse 2 ? Pour ordonnée 0 ?
3. Donner une équation cartésienne de la droite (D).
G
O
O’

Maissa FALL
EXERCICE 13
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,
i
,
j
), on considère le point A(-1 ; 3) et la
droite (D) : x + y – 2 = 0
A tout point M de (D), on associe le point N tel que
AN
= 2
AH
- 3
AK
ou H et K sont les
projetés orthogonaux respectifs de M sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
1. Déterminer une représentation paramétrique de (D).
2. Calculer les coordonnées de N en fonction de celles de M
3. Déterminer le lieu (D’) des point N lorsque M parcourt (D).
EXERCICE 14 :
On donne dans le plan un triangle ABC et un point M.
1. Soit (x , y) les coordonnées du point M dans le repère (A,
AB
,
AC
) du plan ;
démontrer que le point M est le barycentre des points A, B, C affectés de coefficients
que l’on exprimera en fonction de x et y.
2. On suppose que le point M n’appartient à aucune des trois droites passant par un
sommet du triangle et parallèle au côté opposé. Les droites (AM) et (BC) se coupent
alors en A’, distinct de B et C, (BM) et (CA) en B’, distinct de A et C, et (CM) et
(AB) en C’ distinct de A et B. On a montré en 1) que M est barycentre des points des
points A, B, C affecter des coefficients , , .
a- Démontrer par l’absurde que + 0.
b- Soit A1 le barycentre des points (B, ) et (C, ). Démontrer que les points
A, M, A1 sont alignés .En déduire que A1 = A’,puis que
CA BA''
= - .
c- Exprimer de même
ABCB'
'
et
BC AC''
en fonction de , , . Vérifier que
CA BA''
*
ABCB'
'
*
BC AC''
= -1
3. Montrer que si (AA’), (BB’) et (CC’) sont les trois hauteurs du triangle alors :
BA
.
BC
=
'BA
.
BC
=
'BC
.
BA
. Ainsi que deux autres résultats analogues
4. Déduire du 3) en utilisant ceva que les trois hauteurs sont concourantes

Maissa FALL
Première S1
SERIE N°2
Polynômes - Equations - Inéquations - systèmes
EXERCICE 1:
Quatre cubes ont respectivement pour arêtes mesurées en cm x ; x+1 ; x+2 ; et x+3 ou x est
un nombre entier naturel. Déterminer x pour que le contenu des trois cubes d’arêtes
x ; x+1 ; x+2 remplissent exactement le cube d’arête x+3.
EXERCICE 2 :
Un cycliste met deux heures pour effectuer le parcours de la ville A à la ville B, puis deux
heures quatorze minutes pour effectuer le retour de B vers A. En montée sa vitesse moyenne
est 8km/h ; sur terrain plat 12km/h et en descente 15km/h. sachant que les villes A et B sont
distants de 23 km, déterminer la longueur des montées, des plats et des descentes pour le trajet
de B vers A.
EXERCICE 3 :
Soit P(x) et Q(x) deux polynômes tel que P(x) = Q(x) + 1
a) soit le polynôme T(x) = [ P(x) ]2n +[ Q(x) ]n - 1 ; montrer que toutes racines
de P(x) ou de Q(x) est racine de T(x) .
b) En déduire deux polynômes divisibles par T(x).
EXERCICE 4 :
1) Résoudre graphiquement l’inéquation x2 – 4y2 < 0 .
2) Soit f(x) (1 – m) x2 + 2(m – 5) x + 16 – m m IR.
a) déterminer l’ensemble des réels m pour les quels f(x) = 0 admet deux racines
de signes contraires.
b) Déterminer l’ensemble des réels m tel que pour tout x appartenant IR f(x) < 0
c) Déterminer l’ensemble des réels m tel que f(x) admet deux racines x’ et x’’
vérifiant x’ < - 1 < x’’ < 2 .
EXERCICE 5
Déterminer les réels a, b, et c dans les cas suivants :
1. Le polynôme (x – 2)2 – (x + 3)3 + ax + b soit nul pour tout x réel.
2. pour tout x réel P(x) = Q(x) avec P(x) =(a – 3)x2 + (2b + c)x – 3a + b – 2
Q(x) = x2 – (a + b)x + 2c – 1
3. Le polynôme x4 – 2x3 + ax2 + bx + 4, soit le carré d’un polynôme
4. Le polynôme axn + 1 + bxn + 1 soit divisible par (x + 1)2
EXERCICE 6
1. Déterminer P(x) polynôme du second degré, tel que pour tout x réel :
p(x) – p(x – 1) = x ; en déduire la somme 1 + 2 + … + n
2. Déterminer q(x) polynôme de degré trois, tel que pour tout x réel :
q(x) – q(x – 1) = x2 + x ; en déduire la somme 1x2 + 2x3 + … + nx(n+1)
3. Déterminer t(x) polynôme de degré trois, tel que pour tout x réel :
p(x) – p(x – 1) = x2 ; en déduire la somme 12 + 22 + … + n2