Cours Fonctions Linéaires et Affines

Chapitre 11 : Fonctions linéaires et affines
I. Fonction linéaire :
1) Définition :
Définition : a est un nombre relatif donné.
Une fonction linéaire de coefficient a est la fonction qui, à un nombre, associe le produit de ce
nombre par a.
On note f : x⟼ax.
On écrit ainsi f(x) = ax
Exemple :
La fonction qui à un nombre x fait correspondre son triple est une fonction linéaire de coefficient 3.
On la note f : x⟼ 3x.
L'image de -2 par la fonction f se note f(-2) et f(-2) = 3 × (-2) = -6
Donc, l'image de -2 par la fonction f est -6.
Remarque : f est une fonction linéaire de coefficient a, on a f(0) = 0 et f(1) = a.
Propriété : f est une fonction linéaire de coefficient a avec a ≠ 0.
Par cette fonction linéaire, tout nombre admet un et un seul antécédent.
Exemple :
On considère la fonction f : x⟼ -4x.
Pour déterminer l'antécédent de 8 par la fonction f il suffit de résoudre l'équation f(x) = 8 d'inconnue
x. D'où -4x = 8
x = -2
Donc -2 est l'antécédent de 8 par la fonction f.
2) Fonction linéaire et proportionnalité :
Propriété : La fonction qui modélise une situation de proportionnalité est une fonction linéaire.
Son coefficient est le coefficient de proportionnalité.
Exemple :
La fonction p : x⟼ 2𝜋x qui permet de calculer le périmètre d’un disque est une fonction linéaire de
coefficient 2𝜋 . Le périmètre d’un disque est proportionnel au rayon du disque et 2𝜋 est le coefficient
de proportionnalité.

II. Représentation graphique :
1) Propriété :
Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a dans un repère est
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Le nombre a est appelé le …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exemple :
On considère la fonction linéaire f : x⟼ 0,5x.
Sa représentation graphique est une droite (d) passant par l’origine du repère.
Pour tracer la droite (d), on détermine les coordonnées d’un deuxième point. Par exemple, f(2) = 1. Donc la
droite (d) passe par le point A(2 ;1).

2) Interprétation du coefficient directeur d’une droite :
Cas a>0 : Cas a<0 :
On considère f: x⟼ 2x On considère g: x⟼ -1,5x
La droite (d) est sa représentation graphique. La droite (d’) est sa représentation graphique.
2 est le coefficient directeur de la droite (d). -1,5 est le coefficient directeur de la droite (d’).
Remarque : Lorsque a > 0, la droite « monte ». Remarque : Lorsque a < 0, la droite « descend

III. Evolution en pourcentages :
Propriété : Augmenter un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par 1 + p
100.
Une augmentation de p% est modélisée par la fonction linéaire f : x⟼ (1 + p
100) x .
Exemple :
Si une boîte de 400g est vendue avec 25% de produit en plus, alors sa nouvelle masse m (en g)
est:
m = 400 × (1 + 25
100) = 400 × 1,25 = 500g.
Cette augmentation est modélisée par la fonction linéaire f: x⟼ 1,25x .
Propriété : Soit p un nombre compris entre 0 et 100.
Diminuer un nombre positif de p% revient à multiplier ce nombre par 1 - p
100.
Une diminution de p% est modélisée par la fonction linéaire f : x⟼ (1 - p
100) x .
Exemple :
En France, une baisse de 4% a été enregistrée sur un effectif annuel de 750 000
naissances. Le nouvel
effectif N est:
N = (1 – 4
100) × 750 000 = 0,96 × 750 000 = 720 000 naissances.
Cette diminution est modélisée par la fonction linéaire g: x⟼ 0,96x .

IV. Définition d’une fonction affine :
1) Cas général :
Définition : a et b désignent deux nombres relatifs donnés.
Une fonction affine est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre
ax + b.
Si f désigne cette fonction, on la note :
f : x ↦ ax + b
On dit que ax + b est l’image de x et on note f(x) = ax + b.
2) Cas particuliers :
• Pour b = 0, la fonction x ↦ ax + b devient x ↦ ax + 0, donc x ↦ ax .
Une fonction affine pour laquelle b = 0 est une fonction linéaire.
• Pour a = 0, la fonction x ↦ ax + b devient x ↦ 0 + b, donc x ↦ b.
Cette fonction, à un nombre x, associe le nombre b. Par cette fonction, tous les
nombres ont la même image. On dit que cette fonction est la fonction
constante.
Une fonction affine pour laquelle a = 0 est une fonction constante.
3) Antécédent :
Propriété admise : Si f est une fonction affine non constante, alors tout
nombre admet un antécédent par la fonction f et cet antécédent est unique.
Remarque : Si f est une fonction constante définie par f : x ↦ b, alors le
nombre b a pour antécédents tous les nombres. Un nombre différent de b n’a
pas d’antécédent.