sequence 1

Séquence 1 : Logique et théorie des
ensembles
1 Connecteurs logiques
Définition 1. On appelle assertion logique ou proposition toute phrase ou tout
assemblage de mots et de symboles obéissant à une syntaxe à laquelle on peut
associer une valeur de vérité : Vrai(V) ou Faux(F) ; mais pas les deux en même
temps.
Deux assertions Pet Qsont synonymes (ou équivalentes) si elles ont la même
valeur de vérité. On note P≡Q.
Exemple 1.
«Je suis plus riche que toi» ≡«je suis moins pauvre que toi»
•• « tout le monde est mortel» ≡«personne n’est immortel»
Définition 2. Un connecteur logique est un outil de construction d’une assertion
à partir d’une ou de plusieurs autres assertions.
Définition 3.
Soient Pet Qdeux assertions.
•On appelle négation de l’assertion P, l’assertion qui est vraie lorsque Pest
fausse et fausse sinon. On la note «non P» ou P.
•On appelle conjonction de deux assertions Pet Q, l’assertion qui est vraie
lorsque Pet Qsont tous les deux vraies et fausse sinon. On la note (Pet
Q) ou P∧Q.
•On appelle disjonction de deux assertions Pet Q, l’assertion qui est vraie
lorsque l’une au moins des deux assertions est vraie et fausse sinon. On la
note (Pou Q) ou P∨Q.
A chaque connecteur logique on peut associer une table de vérité.
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Exemple 2. Table de vérité de la conjonction et disjonction
P Q P et Q P ou Q
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F
Proposition 1. Soient P et Q deux assertions logiques.
i)P≡P
ii)P∧Q≡P∨Q
iii)P∨Q≡P∧Q
Exercice 1. Déterminer la Table de vérité de la proposition ci-dessus.
Définition 4 (Implication„ équivalence).
•On définit par P⇒Ql’assertion qui est vrai si P est fausse ou Q est vraie ;
et fausse sinon ; i.e.
P⇒Q≡Pou Q.
Elle se lit « P implique Q».
•On définit par P⇔Ql’assertion qui est vrai si P et Q ont la même valeur
de vérité ; et fausse sinon ; i.e.
P⇔Q≡P⇒Qet Q⇒P.
Elle se lit «P est équivalente à q» ou « P si et seulement si Q».
Exercice 2. Donner la table de vérité de l’implication et de l’équivalence.
Remarque 1. Dans l’assertion P⇒Q, P est l’hypothèse et Q la conclusion.
On dit que P est une condition suffisante pour avoir Q ; et Q est une condition
nécessaire pour avoir P.
Dans le cas de l’assertion P⇔Q, on dit que P est une condition nécessaire et
suffisante pour avoir Q.
Définition 5 (Réciproque et contraposée).
•On appelle réciproque de l’implication P⇒Q, l’assertion Q⇒P.
•On appelle contraposée de l’implication P⇒Q, l’assertion Q⇒P.
Remarque 2. La négation d’une implication n’est jamais une implication. En
effet la négation de l’implication P⇒Qest <<P et Q >>.
Proposition 2. P⇒Q≡Q⇒P
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Preuve. Il suffit d’établir la table de vérité et de comparer la valeurs de
vérité des propositions concernées.
P Q P ⇒QP⇒Q
V V V V
V F F F
F V V V
F F V V
2 Vocabulaire des ensembles
Un ensemble E est une collection d’objets appelés éléments de E. Il peut être
défini :
en extension : {1,2,7,noir,blanc,∆,Π};R;
en compréhension : {a∈Z|a impair};{k∈Z|n≤k≤m}.
Si xest un élément de E, on note x∈Eet si xn’appartient pas à E, on note
x /∈E.
Un ensemble qui contient seulement un élément xest appelé singleton et noté
{x}; et un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé ensemble vide et
noté ∅ou {}.On notera par P(x)toute assertion Pqui dépend d’une variable x
appartenant à un ensemble E.
Définition 6 (Quantificateurs).
Soit E un ensemble
•L’assertion «∀x∈E, P (x)» signifie que pour tout élément xde E, P(x)
est vrai. Le symbole ∀est appelé quantificateur universel et se lit «quel que
soit....» ou «pour tout...».
•L’assertion «∃x∈E, P (x)» signifie qu’il existe au moins un élément xde
E tel que P(x)soit vrai. Le symbole ∃est appelé quantificateur existentiel
et se lit «Il existe....».
•L’assertion ∃!x∈E, P (x)signifie qu’il existe un unique élément xde E tel
que P(x)soit vrai. Le symbole ∃!est appelé quantificateur d’unicité et se lit
«Il existe un unique...».
Remarque 3.
1. Dans une assertion contenant plusieurs quantificateurs, on peut changer
l’ordre de deux quantificateurs de même nature mais on ne peut pas changer
l’ordre de deux quantificateurs de natures différentes.
2. (Convention) L’assertion ∃x∈ ∅, p(x)est fausse et l’assertion ∀x∈ ∅, p(x)
est vraie.
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Proposition 3 (Négation des quantificateurs).
• ∀x∈E, P (x)≡ ∃x∈E, P (x)
• ∃x∈E, P (x)≡ ∀x∈E, P (x).
Définition 7. On dit qu’un ensemble E est inclus dans un ensemble F si tout
élément de E appartient à F. On le note E⊂F. Dans ce cas on dit que E est un
sous-ensemble ou une partie de F.
Si E n’est pas inclus dans F, on note E6⊂ F.
Remarque 4.
• ∀x∈E, on a ∅ ⊂ E.
•E=Fsi et seulement si E⊂Fet F⊂E.
L’ensemble formé par tous les sous-ensembles de E est appelé ensemble des
parties de E et noté P(E).
Définition 8. Soient E un ensemble, A et B des parties de E.
•On appelle union de A et B l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à
au moins l’un des ensembles A ou B. On note A∪B.
•On appelle intersection de A et B l’ensemble des éléments de E communs à A
et B. On note A∩B.
•On appelle différence de A par B l’ensemble des éléments de A qui n’appar-
tiennent pas à B. On note A\B.
•On appelle complémentaire de A dans E, l’ensemble des éléments de E qui n’ap-
partiennent pas à A. On note Aou E\A.
Remarque 5.
Pour deux ensembles Aet B, on a A⊂B⇔A∪B=B⇔A∩B=A.
Définition 9.
•Deux ensembles A et B sont distincts s’ils diffèrent d’au moins un élément ;
on note A6=B.
•Deux ensembles A et B sont disjoints s’ils n’ont aucun élément en commun ;
i.e. A∩B=∅.
Proposition 4. Soient A, B, C ∈ P(E).
•A∩B=B∩Aet A∪B=B∪A(commutativité).
•A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)et A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
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Preuve. Nous allons montrer la première partie du deuxième point ; le reste
se fait de façon similaire et est laissé en exercice.
Montrons d’abord A∩(B∪C)⊂(A∩B)∪(A∩C). Soit x∈A∩(B∪C).
x∈A∩(B∪C)⇒x∈Aet x∈(B∪C)⇒(x∈Aet x∈B)ou (x∈Aet x∈
C)⇒x∈(A∩B)∪(A∩C). La réciproque peut se traiter de façon similaire ou
comme suit.
Réciproquement on a A∩B⊂Aet A∩C⊂A⇒(A∩B)∪(A∩C)⊂A.
De plus (A∩B)⊂Bet (A∩C)⊂C⇒(A∩B)∪(A∩C)⊂(B∪C), d’où
(A∩B)∪(A∩C)⊂A∩(B∪C).
Proposition 5. Soient A, B ∈ P(E).
1. A=A;∅=E
2. A∪B=A∩Bet A∩B=A∪B
3. A∩A=∅et A∪A=E
4. A\B=A∩B
Preuve. Nous allons montrer A∪B=A∩B. Le reste est laissé en exercice.
On a x∈A∪B⇔x /∈A∪B⇔x /∈Aet x /∈B⇔x∈A∩B
Définition 10. Soient E1,··· , Endes ensembles. On appelle produit cartésien de
E1,··· , Enl’ensemble des familles (ou n-uplets) (x1,··· , xn)avec x1∈E1,··· , xn∈
En. Le produit cartésien de ces ensembles est noté E1× ··· × En; En particulier,
si E1=··· =En=E, il est noté En.
Remarque 6. Les éléments du produit cartésien de deux ensembles sont appelés
des couples, et ceux de trois ensembles des triplets.
3 Applications
Définition 11. On appelle application(ou fonction) de Edans F, toute partie f
de E×F, noté f:E→F, telle que :
pour tout élément xde E ; il existe un unique élément yde F tel que y=f(x).
L’ensemble E est appelée l’ensemble de départ de fet F l’ensemble d’arrivée de f.
L’élément y=f(x)de F est appelée l’image de xpar fet xest appelé un antécédent
de ypar f.
Définition 12. Soient f:E→Fune application, A⊂Eet B⊂F.
On appelle image directe de A par f l’ensemble :
f(A) = {y∈F| ∃x∈A;y=f(x)}={f(x); x∈A}.
On appelle image réciproque de B par f l’ensemble :
f−1(B) = {x∈E|f(x)∈B}.
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