Séquence 4 Exercices Fiabilité Loi de Weibull correction

Exercices : Séquence 4 : Fiabilité, Loi de Weibull
Exercice 1 :
On a relevé durant une période de heures, la durée de vie de éléments identiques, mis en service à la même
heure. On a obtenu les résultats suivants :
Durée de
vie en
heures
Nombre de
défaillants
1. En utilisant la méthode adaptée, compléter le tableau ci-dessous :
 en 
0,2
0,8
-0,2231436
0,36
0,64
-0,4462871
0,48
0,52
-0,6539265
0,6
0,4
-0,9162907
0,68
0,32
-1,1394343
0,72
0,28
-1,2729657
0,8
0,2
-1,6094379
0,88
0,12
-2,1202635
1250
0,96
0,04
-3,2188758
2.a) Tracer un nuage de points .
b) Justifier que la variable aléatoire qui mesure le temps de vie des éléments en heure, suit une loi exponentielle.
c) Déterminer graphiquement la MTBF.
3. En déduire l’écart-type de cette loi exponentielle, ainsi que .
Solution :
2a)
b) Les points sont alignés avec l’origine du repère, la variable aléatoire qui mesure le temps de vie des éléments en heure,
suit une loi exponentielle.
c) D’après le graphique  h.
3. 
 et donc    soit  , donc 

Exercice 2 :
L’équipe de maintenance a relevé durant une année les temps de fonctionnement, en heures, entre deux réglages
consécutifs d’une des machines de conditionnement de bouteilles. Elle a obtenu ces temps de bon
fonctionnement, rangés par ordre croissant :
30 ;50 ;90 ;130 ;170 ;230 ;300 ;410 ;580.
1. En utilisant la méthode adaptée, compléter le tableau ci-dessous :
2. Tracer le nuage de points  sur le papier de Weibull.
3. Justifier que la variable aléatoire qui mesure le temps de vie des éléments en heure, suit une loi de Weibull et
déterminer ses paramètres.
4. Déterminer le taux d’avaries moyen entre la ème et la ème heure.
Solution :
2. Voir papier Weibull.
3. , donc 
, c’est une constante, la variable aléatoire suit donc une loi exponentielle, qui est
un cas particulier de la loi de Weibull.
4. Le taux d’avarie et dans ce cas constant, et est égal à 
Exercice 3 :
La société qui vous emploie utilise une pièce  sur une de ses machines. Le fabricant des pièces  affirme que
leur durée de vie moyenne est de heures. Vous devez contrôler l’affirmation du fabricant et étudier la fiabilité de ces
pièces car leur coût est important et le délai de livraison est d’un mois.
ON désigne par la variable aléatoire qui, à chaque pièce , prélevée au hasard dans la production, associe sa durée
de vie exprimée en heures.
Vous décidez de vérifier la fiabilité des pièces . Cela vous a permis de constater que la variable aléatoire  suit
approximativement une loi de Weibull de paramètres  et 
1. Donner l’expression de 
2. Déterminer par le calcul à quel instant  la pièce  a une fiabilité égale à .
3. La pièce  fonctionne  heures par jours (y compris les jours fériés et week-end). Dés la défaillance de cette pièce,
elle est remplacée par la seule pièce en stock et on commande immédiatement une nouvelle pièce. Le délais de livraison
est de jours. Calculer la probabilité que la pièce  tombe en panne avant l’arrivée de la pièce de rechange.
Solution :
1. 
2. 
3. , 

Exercice 4 :
Un tour à commande numérique fabrique en grande série des cylindres.
L’équipe de maintenance décide d’utiliser une carte de contrôle pour relever les temps écoulés entre deux réglages
successifs du tour et obtenir un fichier historique qui permettra de déterminer une périodicité de réglage systématique
basée sur une fiabilité de 
Voici le relevé obtenu :
 (en h)
 (en %)
où représente le temps de fonctionnement entre deux réglages consécutifs et  le pourcentage cumulé de
réglages effectués avant le temps .
1. Tracer le nuage de points  sur le papier de Weibull.
2. Justifier que la variable aléatoire qui mesure le temps de vie des éléments en heure, suit une loi de Weibull et
déterminer ses paramètres et donner l’expression de .
3.Calculer la MTBF et la probabilité de ne pas avoir de réglage à faire avant cette MTBF.
On rappelle que  et , où  et  sont donnés par une table.
4. Déterminer graphiquement puis par le calcul la périodicité de réglage basée sur une fiabilité de 
Solution :
1. Voir graphique
2. ,
3. D’après le tableau lorsque 
et donc .
4.  soit graphiquement 
Par le calcul :
 h
La périodicité de réglage automatique basée sur une fiabilité de  est donc de 

Exercice 5 :
On estime que la fiabilité d’un appareil suit une loi de Weibull telle que 
.
Dans ce problème  sera exprimé en milliers d’heures.
Une étude révèle que :
- des appareils fonctionnent encore à   heures.
-  des appareils fonctionnent encore à   heures.
1. On traduit les données précédentes par les égalités :
Calculer  et .
2. Un relevé effectué sur un échantillon de  appareils donne le résultat ci-dessous :
 en milliers
d’heures
 en 
où  représente le pourcentage d’appareils hors service et  le temps en milliers d’heures.
a) Vérifier à l’aide du papier de Weibull que cette distribution est conforme aux suppositions.
b) Déterminer  et  et comparer avec les résultats précédents.
3. Déterminer la durée de vie moyenne espérée de ces appareils, et l’écart-type.
Solution :
1. Le système donné équivaut à :
 soit environ   en divisant les deux lignes, nous obtenons :
 et donc   soit .
Il s’en suit que 
 soit   donc 
Et .
2. Voir graphique
3.MTBF , d’après la table si alors  donc  milliers d’heures.