Arithmétique : Divisibilité, Multiples, Diviseurs, Nombres Premiers

Professeur : Traoré Ibrahime au Lycée Ouezzin Coulibaly à Bobo-Dioulasso au Burkina Faso
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CHAPITRE 1 : ARITHMETRIQUE
I. DIVISIBILITE PAR 2 ; 3 ; 5 ; 9 et 10.
 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair c'est-à-dire 0 ; 2 ; 4 ;
6 ou 8.
Exemples : 20 ; 60 ; 12 ; 32 ; 24 ; 94 ; 56 ; 76 ; 48 ; 9758 sont divisibles par 2.
 Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Exemples : 4053 (4 + 5+ 0 + 3 = 12 or 12 = 4 ×3) ; 258 (2 + 5 +8 = 15 or 15 = 5 ×3).
 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5.
Exemples : 530 ; 160 ; 70 ; 35 ; 9785 ; 685 ; 2035 sont divisibles par 5.
 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est égale à 9 ou est divisible
par 9.
Exemples : 36 (3 + 6 = 9) ; 963 (5 + 4 +6 +3 = 18 or 18 = 2×9) ; 728793 (7 + 2 + 8 + 7 + 9 + 3 =
36 or 36 = 4 × 9) sont divisibles par 9.
 Un nombre est divisible par 10 s’il se termine par 0.
Exemples : 10 ; 70 ; 90 ; 360 ; 970 ; 1500 ; 82000 ; 50000 sont divisibles par 10.
II. MULTIPLES ET DIVISEURS D’UN ENTIER NATUREL
1) Multiples d’un entier naturel
Définition : Un entier naturel «a » est multiple d’un entier naturel « b » signifie que l’on peut trouver un
entier naturel « k » tel que    .
Notation : L’ensemble des multiples de l’entier naturel « b » se note Mb.
Exemples : 34 est un multiple de 17 ; 45 est un multiple de 3 ; 6741 est un multiple de 9 ;
22M11 ; 11M11 ; 44M11 ; 33M11 ; 5038 M11 ; 55M11 ; 121M11 ; 132M11 ; 1210M11 ;
715M11 ;
M8= {0 ; 8; 16 ; 24 ; 32 ; 40 ; 48 ; 56 ; 64 ; 72 … etc.} ;
M12= {0 ; 48 ; 72 ; 120 ; 60 ; 84 ; 108 ; 12… etc.} ;
Remarque :
 Si deux entiers naturels sont multiples d’un entier naturel « b » alors leur somme et leur
différence sont multiples de « b ».
 L’entier naturel 0 est multiple de tous les entiers naturels.
 Tout entier naturel est multiple de 1 et de lui-même.
2) Diviseurs d’un entier naturel
Définition : un entier naturel non nul « b » est diviseur d’un entier naturel « a » signifie que « a » est
un multiple de « b ».
Notation : L’ensemble des diviseurs de « a » se note Da.
Exemples : 1D12 ; 2D12 ; 3D12 ; 4D12 ; 6D12 ; 12D12 ; 1D78 ; 2D78 ; 3D78 ;
D66= {1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 11 ; 22 ; 33 ; 66}
D48= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48}
Remarque :
 Si l’entier naturel « b » est diviseur de l’entier naturel « a » alors on dit que « b » divise « a »
ou encore que « a » est divisible par « b ».
 L’entier naturel 1 est un diviseur de tous les entiers naturels.
 Tout entier naturel non nul est diviseur de lui-même.
 Tout entier naturel est un diviseur de 0
III. DIVISION EUCLIDIENNE
Rappels : Dans une division les termes portent les noms suivants : dividende, diviseur, quotient et
reste.
Une division se pose de la manière suivante :

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2
On a :
Dividende = diviseur × quotient + reste
L’opération qui permet d’établir l’égalité          s’appelle la
division euclidienne de dividende par diviseur.
Exemples :
        s’appelle la division euclidienne de 48 par 9.
48 s’appelle le dividende, 9 le diviseur, 5 le quotient et 3 est le reste.
        s’appelle la division euclidienne de 57 par 5.
57 ’appelle le dividende, 5 le diviseur, 11 le quotient et 2 est le reste.
Remarque :
 Dans une division euclidienne le diviseur n’est pas en général un diviseur du dividende.
Exemples :
 Dans cette division euclidienne        , 9 est le diviseur mais 9 n’est pas un
diviseur de 48.
 Dans cette division euclidienne        , 5 est le diviseur mais 5 n’est pas un
diviseur de 57.
 Le reste d’une division euclidienne est toujours inférieur au diviseur.
Exemples :
 Le reste 3 est inférieur au diviseur 9.
 Le reste 2est inférieur au diviseur 5.
IV. NOMBRES PREMIERS
Définition : Un entier naturel qui n’a que deux diseurs, 1 et lui-même, est appelé « nombre
premier ».
Reconnaissance d’un nombre premier : Pour savoir si un nombre est premier il suffit de le diviser
par les nombres premiers à partir de 2, jusqu’à ce que le quotient de la division euclidienne devienne
inférieur au diviseur.
Exemple : Nombres premiers inférieurs à 100
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ;
89 ; 97.
V. DECOMPOSITION EN FACTEURS PREMIERS
Décomposer un entier naturel en produit de facteurs premiers c’est l’écrire sous la forme d’un produit
de facteurs premiers
Exemples : Décomposition de 240 ; 108 ; 360
240
2
108
2
360
2
120
2
54
2
180
2
60
2
27
3
90
2
30
2
9
3
45
3
15
3
3
3
15
3
5
5
1
5
5
1
1

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VI. MULTIPLES COMMUNS, DIVISEURS COMMUNS, PPCM, PGCD
1) Diviseurs communs de deux entiers naturels ; PGCD
a) Diviseurs communs de deux entiers naturels
Un diviseur commun à deux entiers naturels « a » et « b » est tout entier naturel non nul qui divise à
la fois « a » et « b ».
L’ensemble des diviseurs communs aux deux entiers naturels « a » et « b » se note Da ∩ Db
Exemples :
D24= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24}
D80= {1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 16 ; 20 ; 40 ; 80}
D300= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 25 ; 50 ; 60 ; 75 ; 100 ; 150 ; 300}
D180= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 30 ; 36 ; 45 ; 60 ; 90 ; 180}
D296 = {1 ; 2; 4; 8 ; 37 ; 74 ; 148 ; 296}
D336= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8 ; 12 ; 14 ; 16 ; 21 ; 24 ; 28 ; 42 ; 48 ; 56 ; 84 ; 112; 168 ; 336}
L’ensemble des diviseurs communs aux entiers naturels 24 et 80 est
D24 ∩ D80 = {1 ; 2 ; 4 ; 8}
L’ensemble des diviseurs communs aux entiers naturels 24 et 300 est
D24 ∩ D300 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}
L’ensemble des diviseurs communs aux entiers naturels 300 et 180 est
D300 ∩ D180 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 60}
L’ensemble des diviseurs communs aux entiers naturels 296 et 336 est
D296 ∩ D336 = {1 ; 2 ; 4 ; 8}
L’ensemble des diviseurs communs aux entiers naturels 300 et 336 est
D300 ∩ D336 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12}
b) PGCD de deux entiers naturels
D24 ∩ D80 = {1 ; 2 ; 4 ; 8} PGCD (24 ; 80)= 8
D24 ∩ D300 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} PGCD (24 ; 300)= 12
D300 ∩ D180 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 60} PGCD (300 ; 180)=60
D296 ∩ D336 = {1 ; 2 ; 4 ; 8} PGCD (296 ; 336)= 8
D300 ∩ D336 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12} PGCD (300 ; 336)= 12
Le PGCD de deux entiers naturels s’obtient en faisant le produit de tous les facteurs communs
aux décompositions en facteurs premiers des deux entiers, chaque facteur étant affecté de son
plus petit exposant.
Exemples :
c) Nombres premiers entre eux
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Remarque : Deux nombres premiers entre eux ne sont pas forcement des nombres premiers
2) Multiples communs de deux entiers naturels ; PPCM
a) Multiples communs de deux entiers naturels
Un multiple commun à deux entiers naturels « a » et « b » est tout entier naturel qui est divisible à la
fois par « a » et « b ».
Exemples :
M4= {0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40 ; 44 ; 48 ; 52 ; 56 ; 60 ; 64 ; 68 ; 72 ; 76…}

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M14= {0 ; 14 ; 28 ; 42 ; 56 ; 70 ; 84 ; 98 ; 112 ; 126 ; 130…}
M32= {0 ; 32 ; 64 ; 96 ; 128 ; 160 ; 192 ; 224 ; 256 ; 288 ; 320…}
M6= {0. 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 ; 36 ; 42 ; 48 ; 54 ; 60 ; 66 ; 72 ; 78. 84 ; 90 ; 96 ; 102 ; 108…}
L’ensemble des multiples communs aux entiers naturels 4 et 14 est :
M4∩M14= {0 ; 28 ; 56…}
L’ensemble des multiples communs aux entiers naturels 4 et 32 est :
M4∩M32= {0 ; 32 ; 64…}
L’ensemble des multiples communs aux entiers naturels 32 et 6 est :
M32∩M6= {0 ; 96…}
L’ensemble des multiples communs aux entiers naturels 14 et 6 est :
M14∩M6= {0 ; 42 ; 84…}
L’ensemble des multiples communs aux entiers naturels 4 et 6 est :
M4∩M6= {0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72…}
b) PPCM de deux entiers naturels
Le PPCM est le plus petit commun multiple non nul de deux entiers
M4∩M14= {0 ; 28 ; 56…} PPCM (4 ; 14)=28
M4∩M32= {0 ; 32 ; 64…} PPCM (4 ; 32)=32
M32∩M6= {0 ; 96…} PPCM (32 ; 6)=96
M14∩M6= {0 ; 42 ; 84…} PPCM (14 ; 6)=42
M4∩M6= {0 ; 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 ; 72…} PPCM (4 ; 6)=12
Le PPCM de deux entiers naturels est obtenu en faisant le produit de tous les facteurs
premiers présents dans les décompositions de chacun des entiers naturels, chaque facteur
étant affecté de son plus grand exposant.