Cours d'électromagnétisme: Régimes quasi-stationnaires

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Licence de Physique PC S3
Année universitaire 2024-2025
Cours d’électromagnétisme dans le vide
Chapitre I
Etude des régimes quasi-stationnaires
Responsable de module :
Pr. Abdelkrim MANAR
Université Ibn Tofail
Faculté des Sciences
Département de physique
Kénitra

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Sommaire
I. Régime quasi-stationnaire
I.1. Introduction
I.2. ARQS et équations de Maxwell
I.2.1. Les quatre équations de Maxwell en régime stationnaire
I.2.1.1. Equation Maxwell-Ampère
I.2.1.2. Equation Maxwell – Thomson
I.2.1.3. Equation de Maxwell-Gauss
I.2.1.4. Equation de Maxwell-Faraday
I.3. Induction électromagnétique
I.3.1. Circuit en mouvement dans un champ magnétique constant (uniforme ou non)
I.4. Loi de Faraday
I.5. Sens du courant induit : Loi de Lenz
I.5.1. Enoncé de La Loi de Lenz
I.5.2. Loi de modération de Lenz
I.5.3. Généralisation : cas d’un circuit filiforme
I.6. Phénomènes d’induction dans un circuit fixe placé dans un champ 
variable
I.6.1. Expression du champ électromoteur (
)
I.6.2. Extension de la notion de champ électrique
I.6.3. Relation de Maxwell-Faraday en ARQS
I.6.4. Relation de Maxwell-Gauss en ARQS
I.7. Coefficients d’induction
I.7.1. Coefficients d’induction mutuelle de deux circuits
I.7.2. Coefficient d’auto-induction L
I.7.3. Matrice induction mutuelle
I.8. Energie électromagnétique
I.8.1. Définition
I.8.2. Energie électromagnétique dans un circuit unique
I.8.3. Cas de deux circuits filiformes (C1) et (C2)
I.9. Densité volumique d’énergie électromagnétique
I.9.1. Energie électromagnétique
I.9.2. Localisation de l’énergie électromagnétique : densité d’énergie électromagnétique
I.9.3. Energie électromagnétique dans le cas des circuits non filiformes
Bibliographie

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Ce chapitre est consacré à l’étude du mouvement des charges électriques dans un conducteur,
éventuellement mobile, en présence d’un champ électromagnétique susceptible de varier dans le
temps. L’ensemble des phénomènes électriques qui apparaissent est appelé induction
électromagnétique.
I. Régime quasi-stationnaire
I.1. Introduction
Les régimes quasi-stationnaires sont des régimes lentement (ou quasiment) variables pour que les lois
en régime stationnaire y puissent être appliquées instantanément. Cette théorie est dite aussi
Approximation des Régimes Quasi-Stationnaires (ARQS). L’approximation consiste à négliger la durée
de propagation du signal électrique  entre deux points  et  du circuit (distants d’une longueur 
(Fig. 1)) vis à vis d’un temps  caractéristique d’évolution des grandeurs physiques, autrement dit,
le temps  est très petit devant le temps  de modification des sources  ou  et la vitesse de
propagation peut être considérée infinie..
Analogie :
On peut comprendre cette approche ARQS par analogie avec le démarrage des véhicules
(représentant ici les électrons) à un feu qui vient de passer au vert : toutes les voitures de la file ne
démarrent pas en même temps, il faut un certain temps pour que l’information « remonte la file » et
que la dernière voiture démarre. Cette vitesse à laquelle l’information remonte est liée au temps de
réaction des conducteurs et n’a rien à voir avec les 60 km/h (représentant ici la vitesse de la lumière
dans le vide) auxquels se déplacent les voitures une fois qu’elles peuvent rouler librement. À titre
Figure 1 : Signal électrique enregistré en deux points différents
distants de  montrant un déphasage temporel 

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indicatif, les électrons dans un fil se déplacent à une vitesse de l’ordre de  à , qui est donc
100 à 1000 fois plus faible que c.
Dans le cas d’un signal sinusoïdal de période  et de fréquence , l’ARQS est valable si :
L’ARQS s’applique pour des circuits dont la taille est faible vis-à-vis de la longueur d’onde  du signal.
Ainsi, en électrocinétique, on considère que l’intensité du courant est la même en tout point d’un fil,
négligeant en cela le temps de propagation.
La longueur  entre  et  doit vérifier :
 est la vitesse de la lumière dans le vide.
A.N.
• pour  (réseau ONE) :  
;  est aisément
réalisée ! A l’échelle de notre pays, le transport de l’électricité peut être traité dans le cadre de
l’ARQS.
• pour  (fréquence usuellement utilisée en TP) :  
;
• pour  (fréquence maximale utilisée en TP) :  
 ;
L’ARQS sera donc valide dans toutes les situations que nous étudierons. Autrement dit, l’ARQS néglige
les phénomènes de propagation mais pas les phénomènes d’induction.
ARQS non vérifiée
ARQS vérifiée
Figure 2 : Deux signaux électriques enregistrés en deux points
différents distants de  montrant un temps  différent

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I.2. ARQS et équations de Maxwell
I.2.1. Les quatre équations de Maxwell en régime stationnaire
I.2.1.1. Equation Maxwell - Ampère
On a vu que la circulation du champ magnétique sur un contour fermé Γ orienté dans un sens arbitraire,
s’appuyant sur une surface Σ (théorème d’Ampère), s’écrit :
D’après Stokes (voir annexe II), on peut écrire :
On en déduit que : 
D’où : 
I.2.1.2. Equation Maxwell – Thomson
Dans le contexte d’une distribution filiforme, on sait que :
Utilisons maintenant l’identité : 
(voir annexe II,
relation 7). On pose : 
et 