Exercices d'algèbre linéaire : Applications, Matrices, Déterminants

EXERCICE N°1
Soient  un espace vectoriel et  une application linéaire de . On suppose que
 alors, pour tout 
EXERCICE N°2
Soit  un espace vectoriel et soient  deux sous-espaces vectoriels de dimension finie
de , on définit l’application  par .
1. Montrer que  est linéaire.
2. Déterminer le noyau et l’image de .
3. Que donne le théorème du rang ?
EXERCICE N°3
Soient  deux endomorphismes de  tels que 
Montrer que  et  sont stables par .
EXERCICE N°4
Soit  un espace vectoriel de dimension 3,  une base de , et  un paramètre réel.
Démontrer que la donnée de 
 définit une application
Linéaire . Ecrire le transformé de vecteur . Comment
choisir  pour que  soit injective ? surjective ?
TRAVAUX DIRIGES NO 1: APPLICATIONS LINEAIRES
2024-2025

EXERCICE N°1
Soit  
  . Calcule  En déduire que  est inversible puis .
EXERCICE N°2
Soit  et  les sous-ensembles de  définis par :
Montrer que ce sont des sous-espaces de  dont on déterminera des bases.
EXERCICE N°3
Soit  muni de la base canonique  Soit  la projection sur l’axe des
abscisses  parallèlement à  Déterminer, la matrice de  dans la base
Même question avec  où est la base 
Même question avec .
EXERCICE N°4
Soit  l’application de  définit en posant en posant pour tout
1. Montrer que  est linéaire et que son image est incluse dans.
2. Dans le cas où , donner la matrice de  dans la base  Déterminer
ensuite, pour une valeur de  quelconque, la matrice de  dans la 
3. Déterminer le noyau et image et . Calculer leur dimension respective.
4. Soit  un élément de l’image de . Montrer qu’il existe un unique  tel que :
.
TRAVAUX DIRIGES NO 2 : MATRICES
2024-2025

EXERCICE N°1
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
EXERCICE N°2
Montre que :
EXERCICE N°3
Soient trois vecteurs  formant une base de . On note  l’application linéaire
définie par .
1. Ecrire la matrice  de  dans la base . Déterminer le noyau de cette
application.
2. On pose  Calculer  en
fonction de . Les vecteurs  forment-ils une base de  ?
3. Calculer  en fonction de . Ecrire la matrice
 et trouver la nature de l’application .
4. On pose   
  . Vérifier que  est inversible et calculer 
Quelle relation lie 
EXERCICE N°4
1. Résoudre ce système linéaire, en fonction du paramètre 
2. Calculer le rang de la matrice suivante selon les paramètres 
TRAVAUX DIRIGES NO 3 : DETERMINANT D’UNE MATRICE
2024-2025

EXERCICE N°1
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : 
EXERCICE N°2
Soient les quatre assertions suivantes :
1. Les assertions  sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
EXERCICE N°3
Montrer que 
EXERCICE N°4
Soit  une suite d’applications de l’ensemble  dans lui-même. On définit une
application de  dans  en posant . Démontrer qu’il n’existe aucun 
 tel que 
EXERCICE N°5
Montrer :
TRAVAUX DIRIGES NO 4 : ELEMENTS DE LOGIQUE
2024-2025

EXERCICE N°1
Soient  deux ensembles, montrer 
EXERCICE N°2
Dans  on définit la relation  par : 
1. Montrer que  est une relation d’équivalence.
2. Déterminer la classe d’équivalence de chaque 
EXERCICE N°3
Ecrire sous la forme de  les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module  et d’argument 
2. Nombre de module  et d’argument 
EXERCICE N°4
Calculer le module et l’argument de 
et . En déduire le module et
l’argument de 
.
EXERCICE N°5
Quels sont les polynômes 
EXERCICE N°6
Décomposition en éléments simples 
et 
TRAVAUX DIRIGES NO 5 : ENSEMBLE RELATION, LOIS DE COMPOSITION,
NOMBRES COMPLEXES, POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES
2024-2025