Systèmes Dynamiques: Stabilité & Commande - Cours & Exercices

AO 102
Systèmes Dynamiques
Stabilité et Commande
Cours et exercices corrigés
Édition 2017/2018
Frédéric JEAN

Table des matières
Avant-propos ................................................ V
1 Calcul différentiel ........................................ 1
1.1 Applications différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 *Dérivées d’ordres supérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Inversion locale et fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Et en dimension infinie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Équations différentielles linéaires autonomes .............. 43
2.1 Approche élémentaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Calcul de l’exponentielle de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Forme des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Comportement asymptotique des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Équations différentielles linéaires ......................... 77
3.1 Existence et unicité globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Larésolvante........................................... 80
3.3 Quelques propriétés de la résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Équations affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5 *Équations linéaires périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Théorie générale des équations différentielles .............101
4.1 Existence et unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Table des matières
4.2 Solutions maximales et durée de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Flots, portraits de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 Linéarisation et perturbation du flot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Stabilité des équilibres....................................139
5.1 Équilibres et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 La stabilité par la linéarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.3 Fonctions de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6 Commande des systèmes .................................167
6.1 Systèmes commandés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2 Linéarisation des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.3 Commandabilité (relation entrée/état) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.4 Observabilité (relation état/sortie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Stabilisation............................................179
6.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
A Espaces vectoriels normés et théorèmes du point fixe .....199
A.1 Topologie des espaces métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
A.2 Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
A.3 Théorèmes du Point Fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
A.4 Conséquence pour l’inversion locale et les fonctions implicites . 203
B Forme normale des systèmes commandables ..............207
B.1 Équations différentielles scalaires d’ordre n.................207
B.2 Forme normale : cas m= 1 ...............................210
B.3 Forme normale : cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
B.4 Démonstration du théorème 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Bibliographie ................................................217
Index ........................................................219
4

Avant-propos
Les systèmes dynamiques sont les notions mathématiques qui permettent de
modéliser des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant
provenir de la physique, la mécanique, l’économie, la biologie, l’écologie, la
chimie... Un système dynamique est constitué d’un espace de phases, l’espace
des états possibles du phénomène convenablement paramétré, muni d’une
loi d’évolution qui décrit la variation temporelle de l’état du système. Dans
le cadre choisi ici, celui de lois déterministes en temps continu, cette loi
d’évolution prend la forme d’une équation différentielle.
La résolution explicite, ou même approchée, d’une équation différentielle
est en général impossible, les méthodes numériques permettant seulement
de calculer sur un intervalle de temps fini une solution correspondant à des
conditions initiales données. La théorie vise donc plutôt une étude qualitative
des phénomènes et cherche en particulier à en comprendre l’évolution à long
terme.
Ce polycopié a deux objectifs. Le premier est d’aborder l’étude générale
des systèmes dynamiques régis par des équations différentielles ordinaires.
L’accent est mis principalement sur la notion de stabilité dont l’importance,
pour de nombreux problèmes pratiques, est comparable à celle de la con-
naissance effective des solutions.
Le deuxième objectif est de présenter une introduction à la commande
des systèmes dynamiques, c’est-à-dire à l’automatique. Il s’agit en particulier
d’étudier, dans le cadre de l’automatique linéaire, les notions essentielles que
sont la commandabilité, l’observabilité et la stabilisation.
Chaque chapitre est constitué d’une part de notes de cours et d’autre part
d’exercices suivis de leurs corrigés. Les deux parties sont d’égale importance.
En effet, les notes de cours sont volontairement rédigées dans un style assez
théorique, les exemples et les applications étant présentés dans les exercices.