Exercices Ondes Électromagnétiques - PEIP 2 Polytech-ISTAMA

PEIP 2Polytech-ISTAMA
Ondes Electromagnétiques
Exercice 1Ondes électromagnétiques dans le vide
On considère une onde plane tel que ~ E=E0e(~
k·~r−ωt)~u. Avec le vecteur polarisation ~u = (α, β, γ), le vecteur d’onde ~
k=
(kx, ky, kz)et le vecteur position ~r = (x, y, z)
1. Donner les équations de Maxwell dans le vide.
2. Montrer que div ~ E=i~ k·~ E,rot ~ E=i~ k×~ Eet 4~ E=−k~ kk~ E
3. Donner l’expression de l’induction magnétique ~ B. Déduire que
~
k×~ E
ω=~
B
Exercice 2Champ alternatif dans un condensateur
Deux plans parallèles P0et P1de même normale ~uxconstituent les armatures d’un condensateur plan. On étudie la possibilité de
l’existence d’un champ électrique entre les armatures ~ E=A(x, y, z)eiωt~ux. On note λ0la longueur d’onde.
1. Montrer que l’amplitude Adu champ électrique ne dépend pas de x.
2. Ecrire l’équation différentielle satisfait par A(y, z).
3. Vérifier que A(y, z) = A0cos 2π
λy
ycos 2π
λz
zest solution à condition que λy,λzet λ0sont liées par une relation que
l’on donnera.
4. Déterminer en fonction des constantes λy,λzet A0,cet ω
(a) Les composantes du champ magnétique complexe ~ B. Vérifiez que div ~ B= 0
(b) Le vecteur de Poynting ~ Ret sa valeur moyenne <~ R >
(c) Lorsque la fréquence est très basse, donner les expressions réelles des champs ~ Eet ~ B. Conclure quant à l’uniformité de
ceux-ci.
Exercice 3Ondes électromagnétiques à l’interface vide-métal
Une onde électromagnétique plane progressive se propage suivant l’axe Oz dans le vide. Le champ électrique incident est polarisé
suivant l’axe x. Un métal de conductivité σest placé dans la partie de l’espace z > 0.
Dans un premier temps, on considère que le métal est parfait
1. Utilisez les relations de continuité sur le champ électrique pour montrer que sa composante tangentielle est nulle à l’interface.
2. Justifier l’existence d’une onde refléchie ~ Eret donner son expression
3. Montrer qu’on sera en présence d’une onde stationnaire dans le vide
4. Calculer la moyenne du vecteur de Poynting de cette onde. Que peut on conclure à propos de l’énergie électromagnétique.
5. A partir de la relation de continuité du champ magnétique, déterminer la densité de courant surfacique ~ jsengendré par l’onde
à la surface du métal.
Dans un second temps, on considère que le métal est non-parfait. Une partie de l’onde est transmise dans le métal. On supposera que
métal est globalement neutre ce qui conduit à div ~ E= 0. On suppose que l’onde transmise à la forme d’une onde plane progressive.
1. Etablir l’équation d’onde satisfaite par le champ électrique transmis ~ Et. Que devient cette équation lorsque ω0<< σ
2. Etablir la relation de dispersion reliant le vecteur d’onde ktet la pulsation ω
3. Montrer que l’onde transmise est atténuée. Définir une distance caractéristique de cette atténuation. On exprimera cette dis-
tance en fonction de σ,µ0et ω
Exercice 1
On considère dans le vide et loin des sources l champ électrique ~ E=E0cos πy
aej(ωt−kz)~uy+αE0sin πy aej(ωt−kz)~uz
1. De quel type d’onde s’agit il. A quelle condition sur αle champ électrique peut être celui d’une onde électromagnétique
2. Donner l’expression : du champ magnétique, du vecteur de poynting, de la densité d’énergie électromagnétique. En déduire
les valeurs moyennes temporelles de ces deux dernières
3. Déterminer la relation de dispersion. La propagation est elle permise quelque soit la pulsation ?
4. déterminer les vitesses de phase et de groupe, tracer et interpreter les courbes
5. Calculer la puissance moyenne traversant un carré situé dans le plan xy tel que x∈[−a, a]et y∈[−a, a].
6. Calculer l’énergie électromagnétique contenue dans un parallélépidède rectangle défini par x∈[−a, a]y∈[−a, a]et
z∈[0,1]
1

7. Définir la vitesse moyenne de l’énergie.
Exercice 1
Une lame de vide d’épaisseur aest comprise entre 2plaques de conducteurs parfaits y= 0 et y=a, sert
à guider une onde dont le champ électrique est ~ E(y, z, t) = f(y) cos (ωt −kgz)~ux.
Cette onde résulte de la propagation d’une onde plane dont la direction de propagation est oblique (angle
d’incidence θ) qui subit des réflexions successives sur les deux plaques. L’onde résultante est la superpo-
sition de 2ondes planes polarisées rectilignement :
— Une onde incidente de vecteur d’onde ~ k1de champ électrique ~ E1=E0sin ωt −~ k1·~r~ux
— Une onde réflechie de vecteur d’onde ~ k2de champ électrique ~ E2=−E0sin ωt −~ k2·~r~ux
1. Ecrire les composantes des vecteurs d’ondes ~ k1et ~ k2en fonction de θet k0=2π
λ0
2. Exprimer l’onde résultante −→ E
3. Déduire l’expression de f(y)en fonction de E0,λ0et θ
4. Exprimer kgen fonction de λ0et θet déduire l’expression de la longueur d’onde apparente λg
5. Exprimer les composantes du champ magnétique −→ B
6. Donner les expression de la vitesse de phase.
7. En utilisant les conditions aux limites sur les plaques de conducteurs parfaits, montrer que cos θs’exprimera en fonction d’un
entier naturel positif n.
Rappel : sin a−sin b= 2 sin a−b
2cosa+b 2
Exercice 2Guide ondes rectangulaire
Quatre plans métalliques parfaitement conducteur x= 0,x=a,y= 0,y=b, délimitent
un guide d’ondes de longueur infinie suivant Oz, de section droite rectangulaire et dans le-
quel règne le vide. On considère une onde électromagnétique dont le champ électrique s’écrit
~
E=f(y) cos (ωt −kz)~ux.
1. Déterminer l’équation différentielle satisfaite par f(y)
2. Ecrire les conditions aux limites sur le champ ~ E. Grâce à deux d’entre elles, expliciter f(y). Décrire le type d’onde auquel
on aboutit.
3. Déterminer le champ magnétique ~ B.
4. Exprimer ken fonction de ω,c,net b(valeur de ncorrespond au mode de propagation). Montrer que pour chaque mode,
qu’il existe une fréquence de coupure fcen dessous de laquelle il n’existe pas.
5. Lorsque le mode existe, exprimer les vitesses de phase vϕet de groupe vgde l’onde en fonction de c,net f
fc
6. Donner l’expression du vecteur de Poynting ~ R. Quelle est sa valeur moyenne dans le temps. En déduire la puissance moyenne
Pmtransmise par une section droite du guide d’ondes.
7. Calculer la valeur moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique
8. Déduire la vitesse de propagation de l’énergie veet la comparer à vϕet vg. On supposera que l’énergie moyenne traversant la
section droite du guide pendant dt vaut dE =Pmdt
9. Que se passerait il si les parois du guide d’ondes avaient une conductivité finie
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