Cours d'algèbre : Matrices, Matrices Associées et Déterminants
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rania saliha oukaci
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Cours d’algèbre 2 :
Chapitre 02 : Matrices, matricces associées
et déterminants.
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Matrices associées à une application linéaire :
Définition :
1)Soient deux espaces vectoriels, une base de et une
base de Soit une application linéaire.
Pour tels que
La matrice
est appelée matrice de relativement aux bases et est notée
C’est la matrice dont le vecteur colonne est le vecteur des coordonnées de dans la base
2)Soit un espace vectoriel de dimension et une base de . On appelle matrice de dans
la base et l’on note la matrice .
Exemple :
1)Soit une application linéaire définie par:
On note la base canonique de et
la base canonique de ,
Déterminons la matrice de relativement aux bases :
=1
=2
=
2)Soit une application linéaire définie par:
Soit la base canonique de et la base canonique de
Déterminons la matrice de relativement aux bases :
+0
+0
+2
Remarque :
Réciproquement, étant donnée une matrice
on peut considérer
qui a tout associe le où pour on a
on vérifie facilement que cette application est linéaire par construction, cette application
a pour matrice dans les bases canoniques de . L’application est appelée l’application
linéaire canoniquement associée à
Proposition :
Soient et trois espaces vectoriels, des bases de respectivement
, alors
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Changement de bases :
Définition :
Soit un espace vectoriel de dimension et de base et une famille de vecteurs de
telle que pour le vecteur ait pour coordonnées dans la base , On
appelle matrice de la famillerelativement à la base la matrice
C’est-à-dire c’est la matrice dont le vecteur colonne est le vecteur des coordonnées de dans
la base
Définition :
Soit un espace vectoriel de dimension , et deux bases de
On appelle matrice de passage de à et l’on note la matrice
Exemple :
Soit la base canonique de et une
autre base de .
Déterminons la matrice de passage de la base à la base :
On a:
D’où
Proposition :
Soient un espace vectoriel, deux bases de ,
alors
Exemple :
Considérons dans le vecteur Les coordonnées de dans la base canonique de
sont Considérons à present une autre base de constituée des
vecteurs .
Déterminoons les coordonnées de dans la base :
On a :
Donc la matrice de passage de la base vers la base
est
est la matrice de passage de la base vers la base . Pour
l’obtenir il faut exprimer les vecteurs en fonction des vecteurs
D’où
les coordonnées de dans la base sont données par :
Proposition :
Soient et deux espaces vectoriels, deux bases de deux bases de
, alors
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Proposition :
Soient un espace vectoriel, deux bases de ,
alors
Exemple :
Soit l’application de définie par :
1)Montrer que est une application linéaire
2) Donner la matrice de par rapport à la base canonique
de
3)Soit une autre base de
a)Déterminer la matrice de passage de la base à la base
b)Déterminer la matrice de passage de la base à la base
c)Donner la matrice de par rapport à la base
Solution :
Soit l’application de définie par :
1)Montrer que est une application linéaire (à faire)
2) Donnons la matrice de par rapport à la base canonique
de
=2
=1
=-1
3)Soit une autre base de
a)Déterminons la matrice de passage de la base à la base
= 1
1
0
b)Déterminons la matrice de passage de la base à la base :
1ère méthode:
La matrice de passage de la base à la base est l’inverse de la matrice
2ème méthode:
=
c)Donnons la matrice de par rapport à la base
la matrice de par rapport à la base est
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=
Définition :
Deux matrices sont dites semblables s’il existe une matrice inversible
telle que
Proposition :
Soient deux matrices et inversible telle que alors
Preuve : par récurrence
Pour
donc la propriété est vraie pour
On suppose que la propriété est vraie à l’ordre c’est-à-dire et on démontre
qu’elle est vraie à l’ordre c’est-à-dire
On a :
Donc
Exemple :
Dans l’exemple précédent, calculons
On a : alors
d’où =
Proposition :
Soient et deux -espaces vectoriels de dimensions finies , et des bases de et
respectivemet, une application linéaire de dans . Pour tout vecteur ,
on a:
avec ,
En particulier :
Théorème :
Soit la matrice de l’application linéaire relativement aux bases et alors
Proposition :
Soit alors
Exemple :
Reprenons l’exemple précédent
une application linéaire de vers définie par :
Vérifions si est bijective :
Calculons le rang de la matrice de l’application :
On a trouvé que
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