Mécanique Quantique: Bases Mathématiques

Chapitre 4
Bases math´ ematiques de la
m´ ecanique quantique

Espace ξdes fonctions d’onde d’une particule 226
Dans les chapitres pr´ ec´ edents, nous avons montr´ e l’existence de la dualit´ e
onde-corpuscule, aussi bien pour le rayonnement que pour les particules. Pour
ces derni` eres nous avons pu d´ egager quatre exigences essentielles :
- L’existence d’une fonction d’onde dont le carr´ e de l’amplitude repr´ esente
la probabilit´ edepr´ esence de la particule en chaque point de l’espace.
- L’existence d’une sorte de “Principe fondamental de la m´ ecanique
quantique” qui est l’´ equation de Schr¨ odinger dont les solutions sont justement
les fonctions d’onde de la particule.
- L’existence d’une incertitude sur la mesure des grandeurs physiques qui
est r´ egie par le principe d’incertitude de Heisenberg.
-Enfin la quantification d’un certain nombre de grandeurs physiques telles
que l’´ energie, dont le spectre peut ˆ etre discret.
Ces consid´ erations montrent l’importance jou´ ee par la fonction d’onde
en physique quantique et il est donc n´ ecessaire d’´ etudier les propri´ et´ es
math´ ematiques de l’espace des fonctions d’onde et des op´ erateurs agissant
sur ces fonctions ` a l’int´ erieur de cet espace.
Toutefois, nous ne pr´ etendons pas pr´ esenter ici un formalisme math´ ematique
complet et rigoureux, mais regrouper les diverses notions utiles en m´ ecanique
quantique telles que la notion de repr´ esentations, la notation de Dirac et
l’alg` ebre des op´ erateurs.
Pour simplifier davantage le formalisme on se limitera ` aunespace` a une
dimension, les r´ esultats obtenus se g´ en´ eraliseront ais´
ement dans R3.

1. ESPACE ξDES FONCTIONS D’ONDE D’UNE PARTICULE 227
1. Espace ξdes fonctions d’onde d’une particule
L’espace des fonctions d’onde d’une particule est un espace de fonctions
de carr´ es sommables car nous avons vu que |ψ|2d3rest toujours une
quantit´ efinie et ´ egale ` a l’unit´ e puisqu’elle repr´ esente la probabilit´ etotalede
trouver la particule dans l’espace. Cet espace qu’on note £2est un espace
de Hilbert et est de dimension infinie, car une fonction est d´ etermin´ ee par une
infinit´ e de coordonn´ ees qui sont les valeurs prises par cette fonction pour les
diverses valeurs de la variable. Toutefois, d’un point de vue physique £2est
trop vaste car les fonctions d’onde doivent ˆ etre non seulement partout d´ efinies,
continues et ind´ efiniment d´ erivables mais surtout ` a support born´ e pour que la
particule se trouve dans une r´ egion finie de l’espace. On se limitera donc ` a
l’espace ξqui contient de pareilles fonctions et qui est un sous-espace de
l’espace £2de Hilbert.
1.1. Structure de ξ
1.1.1. D´ efinition :
ξest un espace vectoriel form´ e des fonctions de carr´ e sommable. Ainsi
si les fonctions Ψ1(x)et Ψ2(x)appartiennent `
aξet si λ1et λ2sont deux

Espace des fonctions d’onde d’une particule 228
nombres complexes quelconques alors la fonction Ψ(x)donn´ ee par :
Ψ(x)=λ1Ψ1(x)+λ2Ψ2(x)(4.1)
appartient ´ egalement ` aξ.
Pour le montrer, il suffitded´ evelopper |Ψ(x)|2:
|Ψ(x)|2=|λ1|2|Ψ1(x)|2+|λ2|2|Ψ2(x)|2+
λ∗
1λ2Ψ∗ 1(x)Ψ2(x)+λ1λ∗ 2Ψ1(x)Ψ∗ 2(x)(4.2)
Comme, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Schwarz on a :
+∞
∞−
Ψ1Ψ2dx≤+∞
−∞ |Ψ1|2dx+∞ −∞ |Ψ2|2dx (4.3)
alors +∞
∞− |Ψ(x)|2dx qui est inf´
erieure ` a une int´ egrale convergente, est elle
mˆ eme convergente et Ψ(x)est une fonction de carr´
e sommable et appartient
`
aξ.
1.1.2. Produit scalaire
On d´ efinit le produit scalaire dans ξd’une fonction φ(x)par une fonction
Ψ(x)par le nombre complexe not´ eφ|ψet valant :
φ|ψ=+∞
−∞
φ∗(x)ψ(x)dx (4.4)

Espace des fonctions d’onde d’une particule 229
Les propri´ et´ es de ce produit scalaire sont :
φ|ψ=ψ|φ(4.5)
φ|λ1ψ1+λ2ψ2=λ1φ|ψ1+λ2φ|ψ2(4.6)
λ1φ1+λ2φ2|ψ=λ∗
1φ1|ψ+λ∗ 2φ2|ψ(4.7)
φ|ψ=0 (4.8)
Cette derni` ere relation implique que les deux fonctions φet ψsont orthogo-
nales.
ψ|ψest un r´ eel positif qui est nul si et seulement si ψ=0, sa racine
positive ψ|ψest appel´
ee norme de ψ.
1.2. Base orthonorm´ ee compl` ete discr` ete de ξ
1.2.1. D´ efinition
Soit un ensemble d´ enombrable de fonctions de carr´ e sommable {ui(x)}
(i=1,2, ...n, ...).
- Cet ensemble est orthonorm´ esi:
ui|
|
|uj =
=
=
u∗
i(x)
(x)
(x)uj(x)
(x)
(x)dx
dx
dx=
=
=δij (4.9)
o` uδij est le symbole de Kronecker.