TD Filtrage Linéaire - Exercices et Filtres RC, ADSL, Colpitts

CPGE IBN ABDOUN Khouribga
Pr Y.LAZRAK
MPSI 2 2023/2024
Gmail:[email protected]
1
site web: https://sites.google.com
/view/youssef-lazrak-cpge/accueil
TD 4 : Filtrage linéaire
Exercice 1: Filtre observé à l’oscilloscope
Pour l’étude fréquentielle d’un filtre RC série, on
visualise la tension aux bornes du condensateur à
l’aide d’un oscilloscope, dont l’entrée peut être
assimilée à une association en parallèle d’une
capacité C
0
et d’une résistance R
0
. On obtient donc
le schéma ci-contre.
1. Déterminer la nature du filtre constitué par ces quatre dipôles, d’après son comportement
asymptotique.
2. Montrer que sa fonction de transfert s’écrit
s0
0
e0 0
0
1
( )ω 1
uR
HRR
u RRj CC
RR
.
3. Calculer la pulsation de coupure
c
ω
de ce circuit, et la comparer avec la pulsation de coupure
c
ω
du circuit RC seul. À quelles conditions l’étage d’entrée de l’oscilloscope ne perturbe-t-il
pas l’étude du filtre ?
4.
On prend 4,7 kΩR,
6,8 nFC
, et on lit les valeurs de
R
0
et C
0
directement sur
l’oscilloscope, au-dessus de ses
bornes d’entrée (image ci-contre).
Comparer
c
ω
et
c
ω
et conclure.
R
R
0
C
0
ueus
C
Exercice 2 : Filtre
RC*
On étudie le filtre ci-contre.
1. En effectuant un schéma équivalent en
BF
(basse
fréquence), puis un autre en
HF
(haute fréquence),
déterminer sans calcul le type de ce filtre.
2. Déterminer la fonction de transfert
()
Hx
de ce
filtre en fonction de
ωx RC
.
3. Déterminer sa pulsation de coupure
c
ω
en fonction de R et C.
4. On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode de ce filtre. Justifier les parties rectilignes du
diagramme de Bode en gain. Déterminer un ordre de grandeur du produit RC.
R
R C
ue us
5. En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d’une intégration ? Comment vérifie-t-on cette
propriété sur le diagramme de Bode en gain ? Vers quelle valeur tend alors le déphasage de
s
()
ut
par rapport à
e
()
ut
?
6. Déterminer l’amplitude du signal de sortie si l’entrée vaut π
10cos 2π 900 3
t
en volts,
avec t en secondes.

CPGE IBN ABDOUN Khouribga
Pr Y.LAZRAK
MPSI 2 2023/2024
Gmail:[email protected]
2
site web: https://sites.google.com
/view/youssef-lazrak-cpge/accueil
Exercice 3 : Filtre ADSL
Le chien de Madame Michu a mangé son filtre
ADSL
! Qu’à cela ne tienne, elle va en fabriquer
un elle-même…
Les signaux transmis par une ligne téléphonique utilisent une très large gamme de fréquences,
divisée en deux parties : les signaux téléphoniques (transmettant la voix) utilisent les fréquences
de 0 à 4 kHz ; les signaux informatiques (Internet) utilisent les fréquences de 25 kHz à 2 MHz.
1. Quel type de filtre faut-il utiliser pour récupérer seulement les signaux téléphoniques ? les
signaux informatiques ? Quelle fréquence de coupure peut-on choisir ?
Madame Michu réalise le filtre ci-contre.
2. Déterminer la nature du filtre grâce à son
comportement asymptotique. En déduire pour
quels signaux il peut être utilisé.
3. Montrer que la fonction de transfert de ce filtre
peut se mettre sous la forme :
2
2
() 1 3
x
Hx jx x
avec
0
ω
ω
x
et
0
ω
à déterminer en fonction de R et L.
4. Tracer le diagramme de Bode asymptotique de ce filtre, puis esquisser l’allure de la courbe
réelle de gain en la justifiant.
5. Madame Michu possède des résistances de 100 Ω. Quelle valeur d’inductance doit-elle choisir
pour réaliser le filtre souhaité ?
R
ue us
L
R
L

CPGE IBN ABDOUN Khouribga
Pr Y.LAZRAK
MPSI 2 2023/2024
Gmail:[email protected]
3
site web: https://sites.google.com
/view/youssef-lazrak-cpge/accueil
Exercice 4: Filtre de Colpitts
On considère le quadripôle suivant, où C est une
capacité, R une résistance et L une inductance. Il est
utilisé en régime sinusoïdal forcé, en sortie ouverte
(rien n’est branché entre les bornes de sortie).
1. Étudier qualitativement le comportement de ce
quadripôle en haute fréquence et en basse
fréquence. De quel type de filtre s’agit-il ?
2. Déterminer la fonction de transfert
s
e
u
Hu  et la mettre sous l’une des deux formes
équivalentes :
0
2
0
2
00
0
ω
ω
ωω
ωω 1
1ωω
ωω
A
j
AQ
Hj
jQ Q
en introduisant des constantes A,
0
ω
et Q dont on précisera les expressions en fonction de R, C et L.
3. Le diagramme de Bode de ce quadripôle a été relevé, et on sait que Q = 10 (voir page suivante).
Justifier l’allure des parties rectilignes du diagramme de Bode. Déduire du diagramme la
valeur de la fréquence d’accord
0
f
, ainsi que des fréquences de coupure.
ue us
R
L 3C
C
4. Un circuit multiplieur fournit le signal d’entrée
e12
( ) 2 cos(ω )cos(ω )
ut B t t
avec
10
ω 100ω
et
20
ω 101ω. Écrire
e
()ut
sous forme d’une somme de cosinus. En déduire le signal obtenu
à la sortie de ce filtre.

CPGE IBN ABDOUN Khouribga
Pr Y.LAZRAK
MPSI 2 2023/2024
Gmail:[email protected]
4
site web: https://sites.google.com
/view/youssef-lazrak-cpge/accueil
On réalise le montage suivant :
R
C
L
L
e s
A
1. Montrer que sa fonction de transfert est de la forme : H(j ω )=
G
0
×2 ξ
j ω
ω
0
1+2 ξ
j ω
ω
0
−
ω
2
ω
2
0
.
Exprimer G
0
, ξ et ω
0
en fonction de R,Let Cet les calculer numériquement pour
L=1,00 mH, C=100 nF et R=10,0kΩ.
2. Le diagramme de Bode en amplitude a l’allure pré-
sentée ci-contre.
Identifier les pentes des asymptotes représentées en
gris sur la figure.
Trouver les valeurs numériques de
α et β .
log ω
G
dB
α
β
log ω
0
3. On étudie la sortie s
1
(t)associée à l’entrée e
1
(t)=E
0
+E
1
cos( ω
1
t)où ω
1
= ω
0
.Com-
ment réaliser expérimentalement ce signal au laboratoire d’électronique?
4. Calculer l’expression littérale de la sortie s
1
(t), observée sur l’oscilloscope en régime
établi.
5. On étudie maintenant la sortie s
2
(t)associée au signal créneaux e
2
(t), de période
T=6
π
ω
0
, d’amplitude crête-à-crête 2E=2 V. Ce signal est décomposable en série de Fourier,
en posant ω
2
=2
π
T:
e
2
(t)
t
E
T0
e
2
(t)=4E
π
sin(
ω
2
t)+sin(3
ω
2
t)
3+sin(5
ω
2
t)
5+···+sin((2n+1)
ω
2
t)
2n+1+...
Calculer la valeur efficace E
2eff
de e
2
(t).
6. Tracer l’allure du spectre de e
2
(t). Préciser numériquement les pulsations correspondantes
aux 3 premières harmoniques.
7. Calculer numériquement les amplitudes des 3 premières harmoniques du signal de sortie
s
2
. Expliquer alors le nom de « tripleur de fréquence » donné au montage. Préciser l’expres-
sion numérique de s
2
(t).
Exercice 5: Filtre de Hartley

CPGE IBN ABDOUN Khouribga
Pr Y.LAZRAK
MPSI 2 2023/2024
Gmail:[email protected]
5
site web: https://sites.google.com
/view/youssef-lazrak-cpge/accueil
Exercice 7: Effet d’un filtre sur un signal carré
Toto n’est jamais sûr de lui lorsqu’il fait un exercice, c’est pourquoi il a choisi d’utiliser Python
pour vérifier ses résultats… Mais comme il n’est pas non plus très fort en programmation, il
compte sur vous !
Un signal carré d’amplitude E, présent à l’entrée d’un filtre, présente un développement en série
de Fourier de la forme :
0
41
() sin(2π (2 1))
π2 1
e
n
E
et f n t
n
, où
e
f
représente la fréquence du
signal carré.
Toto a déterminé la fonction de transfert du filtre
0
1
H
Hjx , avec
00
ω
ω
  f xf
la pulsation
réduite.
1.
Définir une fonction Python nommée
generation_coefficient
qui permet de générer les
coefficients du développement en série de Fourier du carré, en fonction du nombre de termes
désirés appelé
nombre_termes
.
2.
Générer une liste temps noté
t
qui comporte 2000 valeurs réparties sur 3 périodes du carré de
fréquence
e
f
ainsi qu’une fonction que l’on nomme
entree
qui génère le signal carré sous
forme de liste.
3.
Définir la fonction
filtre_passe_bas
qui génère la sortie s(t) du filtre sous forme de liste,
puis compléter le programme pour tracer l’entrée et la sortie du filtre.
4.
Le signal carré d’entrée a une amplitude
2V
E
et sa fréquence est de 1 kHz. Le filtre
présente les caractéristiques
0
3
H
et
0
10 Hz
f
.
a)
À l’aide des fonctions que vous avez précédemment définies, terminer le programme pour
observer l’entrée et la sortie du filtre pour 100 termes du développement en série de Fourier
du signal e(t). D’après l’observation, que pouvez-vous en conclure sur l’opération effectuée
sur le carré ?
b)
À l’aide de la forme asymptotique du diagramme de Bode, déterminer l’amplitude du signal
de sortie, valeur que l’on pourra vérifier sur la simulation.
RC
R C
e s
On s’intéresse au filtre de Wien représenté ci-contre. Ce type de filtre est
notamment utilisé dans des oscillateurs auto-entretenus assez simples à réaliser :
vous y reviendrez dans le cours d’électronique de PT.
1 - Par analyse des comportements asymptotiques, déterminer le type de filtre
dont il s’agit.
2 - Déterminer la fonction de transfert Hdu filtre.
3 - On pose ω0= 1/RC et x=ω/ω0. Écrire la fonction de transfert sous la forme
H=H0
1 + jQx−1
x,
en précisant ce que valent H0et Q.
4 - Calculer simplement le gain maximal du filtre, exprimer sa valeur de dB, et calculer le déphasage correspondant.
5 - Représenter le diagramme de Bode asymptotique du filtre et en déduire qualitativement le tracé réel.
6 - Calculer la pulsation propre ω0pour R= 1,0 kΩ et C= 500 nF. Donner le signal de sortie du filtre si le signal
d’entrée est
e(t) = E0+E0cos(ωt) + E0cos(10 ωt) + E0cos(100 ωt)
avec E0= 10 V et ω= 200 rad ·s−1.
Exercice 6: Filtre de Wien (Oral CCP)