Équations différentielles : Équations linéaires et solutions

Chapitre 2
Equations di!érentielles
2.1 Introduction
En mathématiques, Une équation di!érentielle d’ordre n, est une équation liant
une fonction fet sa ou ses dérivée(s) f→,f
→→,···,f(n). On note :
F!x, f , f→,f
→→,···,f(n)"=0 (2.1)
où Fest une fonction de n+2variables.
Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions fsur un in-
tervalle I→Rqui satisfont l’égalité (2.1).
Exemple 7
1. Soit l’équation di!érentielle
y→=2xy +4x.
On vérifie que y(x)=↑2+kex2est une solution sur R, ceci quel que k↓R.
2. Soit l’équation di!érentielle
x2y→↑2xy +2x=0
On vérifie que y(x)=kx2+xest une solution sur R, ceci quel que k↓R.
2.2 Équation di!érentielle linéaire :
On ne sait pas résoudre toutes les équations di!érentielles. On se concentre dans ce
chapitre sur deux types d’équations : les équations di!érentielles linéaires du premier
ordre et celles du second ordre à coe"cients constants ou pas.
ωUne équation di!érentielle d’ordre nest linéaire si elle est de la forme
a0(x)y+a1(x)y→+···+an(x)y(n)=g(x)
où les aiet gsont des fonctions réelles continues sur un intervalle I→RLe
terme linéaire signifie grosso modo qu’il n’y a pas d’exposant pour les termes
y, y→,y
→→,...
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ωUne équation di!érentielle linéaire est homogène, ou sans second membre, si
la fonction gci-dessus est la fonction nulle
a0(x)y+a1(x)y→+···+an(x)y(n)=0
ωUne équation di!érentielle linéaire est à coe"cients constants si les fonctions
aici-dessus sont constantes
a0y+a1y→+···+any(n)=g(x)
où les aisont des constantes réelles et gune fonction continue
Exemple 8
1. y→+5xy =exest une équation di!érentielle linéaire du premier ordre avec
second membre
2. y→+5xy =0est une équation di!érentielle linéaire homogène associée à la
précédent
3. 2y→→ ↑3y→+5y=0est une équation di!érentielle linéaire du second ordre à
coe"cients constants, sans second membre.
4. y→2↑y=xet y→→.y→↑y=0, ne sont pas des équations di!érentielles linéaire
2.2.1 Équations di!érentielles du premier ordre
Définition 9 EDL du premier ordre
On appelle équation di!érentielle linéaire premier ordre (EDL) toute équation de
la forme
F!t, f , f→"=0
ou bien
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=c(t)
où a,bet cdésignent deux fonctions de la variable réelle t,f(t)et f→(t)une fonction
inconnue et sa dérivée.
Remarque 2 Suivant les exercices, les situations sont di!érentes :
On trouvera par exemple
—5x→(t)+3x(t)=2(x(t)est la fonction inconnue)
—x→↑tx =t2(x(t)est la fonction inconnue)
—xy→↑2y=x(y(x)est la fonction inconnue)
Donc, il faut s’habituer au changement de nom pour les fonctions et les variables.
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2.2.2 Équation di!érentielle à variables séparées :
Une équation di!érentielle à variables séparées est une équation du type
y→=g(x)
f(y)ou y→f(y)=g(x)
Une telle équation se résout par calcul de primitives. Si G(x)est une primitive de
g(x)alors G→(x)=g(x).Si F(x)est une primitive de f(x)alors F→(x)=f(x), mais
surtout, par dérivation d’une composition,
#F(y(x))$→=y→(x)F→(y(x)) = y→f(y).
Ainsi l’équation di!érentielle y→f(y)=g(x)se réécrit #F(y(x))$→=G→(x)ce qui est
équivaut à une égalité de fonction : F(y(x)) = G(x)+c.
Voici un exemple concret
x2y→=e↑y
On commence par séparer les variables xd’un côté et yde l’autre
y→ey=1
x2,x↔=0.
On intègre des deux côtés :
ey=↑1
x+c, c ↓R
Ce qui permet d’obtenir y(en supposant ↑1
x+c>0):
y(x) = ln #↑1
x+c$
qui est une solution sur chaque intervalle Ioù elle est définie et dérivable. Cet inter-
valle dépend de la constante c:
si,c<0,I=%1
c,0&;si,c=0,I=%↑↗,0&;si,c>0,I=%1 c,+↗&
2.2.3 Équation di!érentielle du type :
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=0
Nous nous intressons dans cette section une méthode pour résoudre une EDL de pre-
mier ordre pour laquelle le deuxième membre est nul appelée aussi équation homogène.
On supposera de plus que a(t)n’est jamais nul sur l’intervalle d’étude.
On peut toujours écrire l’quation a(t)f→(t)+b(t)f(t)=0sous la forme :
f→(t)
f(t)=↑b(t) a(t)=ε(t)
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Si on connait une primitive Ade la fonction ε, on a en intégrant les deux membres
de l’équation :
ln |f(t)|=A(t)+ϑ;où ϑest la constante d’intégration
en prenant l’exponentielle des 2membres, on obtient :
|f(t)|=eA(t)eωd’où f=±eωeA(t)
En posant C=±eω,ona:f=CeA(t)
Théorème 11 La solution générale de l’équation di!érentielle
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=0
est la fonction f(t)définie par f(t)=CeA(t)où Cest une constante réelle détermi-
nable avec les conditions initiales et A(t)une primitive de ↑b(t)
a(t).
Exemple 9 Résoudre les équations di!érentielles suivantes :
1. 3f→(t)+2f(t)=0.
2. t2f→+f=0sur I=]0; +↗[.
1. Ici, on a ↑b(t)
a(t)=↑2 3dont une primitive est ↑2 3tdonc f(t)=Ce↑2
3t
2. Ici, on a ↑b(t)
a(t)=↑1 t2dont une primitive est 1 tdonc f(t)=Ce1
tsur I=]0; +↗[.
Il faut bien préciser l’intervalle I=]0; +↗[car sinon a(t)=t2s’annule.
2.2.4 Équation di!érentielle du type :
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=c(t)
Définition 10 (équation homogne associée)
L’équation
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=0
est appelle équation di!érentielle homogène associe (EDH)
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=c(t)
ou équation di!érentielle sans second membre associé
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=c(t)
Théorème 12 La solution générale de l’équation di!érentielle (1) :
a(t)f→(t)+b(t)f(t)=c(t)
s’obtient en ajoutant une solution particulière quelconque de (1) la solution générale
de l’équation sans seconde membre associé (1)
ygenerale =y0+yp.
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Exemple 10 On considére l’équation di!érentielle (E):
t2x→(t)+x(t)=t2+t
1. Résoudre l’équation di!érentielle homogène associée (E).
2. vérifier que xp(t)=test une solution particulière de (E).
3. En déduire les solutions de (E).
4. Parmis les solutions, déterminer la solution vérifiant x(1) = 2
Réponse :
1. L’équation homogène associé est t2x→(t)+x(t)=0. Elle a été résolue au a).
Ses solutions sont x(t)=Ce1
t.
2. x0(t)=tdonc x→
0(t)=1.
On a alors t2x→
0(t)+x0(t)=t2↘1+t=t2+tdonc x0(t)est bien une solution
de (E).
1. Les solutions de (E)sont obtenue en ajoutant une solution paritculière une
solution générale de l’EDH. Les solutions de (E)sont donc de la forme x(t)=
t+Ce1
t.
2. x(1) = 2 implique 1+Ce1
1=2donc Ce =1d’ou C=e↑1.
On a donc x(t)=t+e↑1e1
t=t+e1 t↑1
Remarque 3
Il n’est pas toujours facile de trouver une solution particulière de l’équation di!é-
rentielle proposée
2.3 Recherche d’une solution particulière
Dans certains exercices, une solution particulire yp(t)de l’EDL est donnée. Dans
d’autres, seule la forme de yp(t)est précisée pour aider la recherche. Enfin, dans
certains cas, il n’y a aucune indication. On peut alors utiliser plusieurs méthodes.
2.3.1 Les cas particuliers
Si on ne devine pas une solution particulière de l’équation di!érentielle, on pourra
dans certains cas particuliers utiliser les méthodes suivantes :
Si les coe"cients de l’équation di!érentielle sont des constantes et :
— dans le cas où le second membre est un polynôme, on cherche la solution
sous la forme d’un polynôme de même type ;
— dans le cas où le second membre est une combinaison linéaire de sin ϖx
et cos ϖx, on cherche la solution sous la forme
yp(x)=A. cos ϖx+B.sin ϖx
— dans le cas où le second membre est de la forme A.ekx, avec k↓R, on cherche
la solution sous la forme
yp(x)=B.ekx.
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