Suites Numériques : Cours et Méthodes pour Première Générale

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PREMIÈRE'GÉNÉRALE'-'SPÉCIALITÉ'
SUITES&NUMÉRIQUES&
!
!
!
1. Généralités,,
!
!
DÉFINITION!:!suite!
Une!
suite!numérique
!est!une!fonction!définie!sur!ℕ!ou!pour!tous!les!entiers!𝑛!à!partir!d’un!entier!𝑛!!positif.!!
L’image!de!l’entier!𝑛 ! est!notée!𝑢".!On!l’appelle!
terme!d’indice
!𝑛!ou!terme!de!rang!𝑛!.!Cette!suite!est!notée!(𝑢")!ou!𝑢.!!
!
!
n Soit!la!suite!(𝑢")!définie!sur!ℕ!par!𝑢"= 𝑛 − 1.!Le!premier!terme!de!la!suite!est!𝑢!= −1.!
n!!Soit!la!suite!(𝑢")!définie!sur!𝑛 ≥ 1!!par!𝑢"=1
𝑛− 1. Le!premier!terme!de!la!suite!est!𝑢#= 0.!
n!!Soit!la!suite!(𝑢")!définie!sur!ℕ!par!𝑢!= 2!et,!pour!tout!entier!𝑛,!𝑢"$# = 𝑢"+ 1.!
!
REMARQUE!:!
dans!les!deux!premiers!exemples,!𝑢"!est!définie!en!fonction!de!𝑛!;!on!peut!calculer!n’importe!quel!terme!de!la!
suite.!On!dit!que!la!suite!(𝑢")!est!définie!de!manière!explicite.
!
!
DÉFINITION!:!suite!définie!par!récurrence!
Lorsque!la!suite!(𝑢")!est!définie!par!la!donnée! de! ses!premiers!termes!et!d’une! relation!exprimant!chaque!autre! terme!en!
fonction!de!termes!précédents,!on!dit!que!la!suite!(𝑢")!est!
définie!par!récurrence
.!
!
!
Soit!la!suite!(𝑢")!définie!sur!ℕ!par!𝑢!= −1!et,!pour!tout!entier!𝑛,!𝑢"$# = 2𝑢"+ 3.!
En!appliquant!la!formule!pour!𝑛 = 0,!on!obtient!𝑢#= 2𝑢!+ 3 = 2 × (−1)+ 3 = 1.!De!même,!𝑢%= 2𝑢#+ 3 = 2 + 3 = 5.!
!
REMARQUES!:!
n Avec!une!suite!définie!par!récurrence,!pour!calculer!un!terme,!on!doit!connaître!tous!ses!précédents.!
n Ne!pas!confondre!𝑢"$#!qui!désigne!le!terme!suivant!𝑢"!et!𝑢"+ 1!qui!désigne!le!terme!𝑢"!auquel!on!a!ajouté!1.!
!
REPRÉSENTATIONS!GRAPHIQUES!
Pour!représenter!une!suite,!on!dispose!de!plusieurs!méthodes.!
n Sur!une!droite!graduée,!on!place!les!réels!d’abscisses!𝑢!!; 𝑢#!; 𝑢%!; …!!
n Dans!un!repère,!on!place!les!points!de!coordonnées!(𝑛!; 𝑢").!
n Si!𝑢"= 𝑓(𝑛),!𝑢"!est!l’ordonnée!du!point!d’abscisse!𝑛!de!la!courbe!représentative!de!𝑓.!
n Si!𝑢"$# = 𝑓(𝑢"),!on!construit!les!termes!à!l’aide!de!la!courbe!de!𝑓!et!de!la!droite!d’équation!𝑦 = 𝑥.! !
!
!
n On!considère!la!suite!définie!sur!ℕ!par!𝑢"= 2𝑛 − 1.!
On!peut!placer!les!valeurs!sur!un!axe!ou!les!points!
dans!un!repère!:!
!
!
!
!
!
n On!considère!la!suite!définie!sur!ℕ!par!𝑢"= 𝑓(𝑛).!On!utilise!la!courbe!de!𝑓pour!
placer!les!points!dans!un!repère!:!
!
n On!considère!la!suite!définie!sur!ℕ!par!
𝑢"$# = 𝑓(𝑢").!On!utilise!la!courbe!de!
𝑓et! la! droite! d’équation! 𝑦 = 𝑥! pour!
placer!les!points!dans!un!repère!:!
!
!
!
!
!
Cours - Méthodes
Exemple Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes:
•f(x)=−0, 5(x+2)2+3
•g(x)=2(x−3)2−2
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.
Correction
+
1
+
1
0
Cg
Cf
La fonction f:
•est croissante sur ]−∞;−2[;
•est décroissante sur ]−2; +∞[;
•elle admet un maximum en −2quivaut3.
La fonction g:
•est décroissante sur ]−∞;3
[;
•est croissante sur ]3; +∞[;
•elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.
MÉTHODE 2 Identifier la forme d’une fonction Ex. 12 p. 156
Exercice d’application Soit f,g,htrois fonctions définies sur Rpar :
•f(x)=2x2+4x−6•g(x)=2(x+1)2−8•h(x)=2(x−1)(x+3).
1) Montrer que f,g,hsont trois formes de la même fonction.
2) Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée.
a) Chercher les éventuels antécédents de 0 et de −6.
b) Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de cette fonction.
c) Calculer les images de 0, de 1 et de −1.
Correction
1) On développe get hpour prouver qu’elles sont égales à f.
g(x)=2(x+1)2−8=2x2+4x+2−8=2x2+4x−6
h(x)=(2x−2)(x+3)=2x2+6x−2x−6=2x2+4x−6.
fest la forme développée,gla forme canonique et hla forme factorisée du même trinôme.
2) a) Chercher les antécédents, c’est résoudre une équation.
•Pour l’antécédent de 0, la forme la plus adaptée est la forme factorisée.
On résout h(x)=2(x−1)(x+3)=0. Les antécédents de 0 sont 1 et −3.
•Pour l’antécédent de −6, la plus pertinente est la forme développée.
On résout f(x)=2x2+4x−6=−6. On obtient 2x2+4x=0.
On factorise l’expression : x(2x+4)=0. Les antécédents de −6sont0et−2.
b) Pour chercher les coordonnées du sommet d’une parabole, la forme canonique est la plus
pertinente. Ici, c’est gavec α=−1.
Donc les coordonnées du sommet de la parabole sont (−1; −8).
c) Calculer une image, c’est évaluer une expression. La forme laplusadaptéedépenddex.
•f(0)=−6, l’image de 0 est −6.
•h(1)=0, l’image de 1 est 0.
•g(−1)=−8, l’image de −1est−8.
Chapitre F5. Fonctions polynômes du second degré 155
Cours - Méthodes
Exemple Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes:
•f(x)=−0, 5(x+2)2+3
•g(x)=2(x−3)2−2
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.
Correction
+
1
+
1
0
Cg
Cf
La fonction f:
•est croissante sur ]−∞;−2[;
•est décroissante sur ]−2; +∞[;
•elle admet un maximum en −2quivaut3.
La fonction g:
•est décroissante sur ]−∞;3
[;
•est croissante sur ]3; +∞[;
•elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.
MÉTHODE 2 Identifier la forme d’une fonction Ex. 12 p. 156
Exercice d’application Soit f,g,htrois fonctions définies sur Rpar :
•f(x)=2x2+4x−6•g(x)=2(x+1)2−8•h(x)=2(x−1)(x+3).
1) Montrer que f,g,hsont trois formes de la même fonction.
2) Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée.
a) Chercher les éventuels antécédents de 0 et de −6.
b) Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de cette fonction.
c) Calculer les images de 0, de 1 et de −1.
Correction
1) On développe get hpour prouver qu’elles sont égales à f.
g(x)=2(x+1)2−8=2x2+4x+2−8=2x2+4x−6
h(x)=(2x−2)(x+3)=2x2+6x−2x−6=2x2+4x−6.
fest la forme développée,gla forme canonique et hla forme factorisée du même trinôme.
2) a) Chercher les antécédents, c’est résoudre une équation.
•Pour l’antécédent de 0, la forme la plus adaptée est la forme factorisée.
On résout h(x)=2(x−1)(x+3)=0. Les antécédents de 0 sont 1 et −3.
•Pour l’antécédent de −6, la plus pertinente est la forme développée.
On résout f(x)=2x2+4x−6=−6. On obtient 2x2+4x=0.
On factorise l’expression : x(2x+4)=0. Les antécédents de −6sont0et−2.
b) Pour chercher les coordonnées du sommet d’une parabole, la forme canonique est la plus
pertinente. Ici, c’est gavec α=−1.
Donc les coordonnées du sommet de la parabole sont (−1; −8).
c) Calculer une image, c’est évaluer une expression. La forme laplusadaptéedépenddex.
•f(0)=−6, l’image de 0 est −6.
•h(1)=0, l’image de 1 est 0.
•g(−1)=−8, l’image de −1est−8.
Chapitre F5. Fonctions polynômes du second degré 155
Cours - Méthodes
Exemple Tracer les courbes représentatives des fonctions suivantes:
•f(x)=−0, 5(x+2)2+3
•g(x)=2(x−3)2−2
Donner leurs sens de variations et leur éventuel extremum.
Correction
+
1
+
1
0
Cg
Cf
La fonction f:
•est croissante sur ]−∞;−2[;
•est décroissante sur ]−2; +∞[;
•elle admet un maximum en −2quivaut3.
La fonction g:
•est décroissante sur ]−∞;3
[;
•est croissante sur ]3; +∞[;
•elle admet un minimum en 3 qui vaut −2.
MÉTHODE 2 Identifier la forme d’une fonction Ex. 12 p. 156
Exercice d’application Soit f,g,htrois fonctions définies sur Rpar :
•f(x)=2x2+4x−6•g(x)=2(x+1)2−8•h(x)=2(x−1)(x+3).
1) Montrer que f,g,hsont trois formes de la même fonction.
2) Répondre aux questions suivantes en utilisant la forme la plus adaptée.
a) Chercher les éventuels antécédents de 0 et de −6.
b) Déterminer les coordonnées du sommet de la courbe représentative de cette fonction.
c) Calculer les images de 0, de 1 et de −1.
Correction
1) On développe get hpour prouver qu’elles sont égales à f.
g(x)=2(x+1)2−8=2x2+4x+2−8=2x2+4x−6
h(x)=(2x−2)(x+3)=2x2+6x−2x−6=2x2+4x−6.
fest la forme développée,gla forme canonique et hla forme factorisée du même trinôme.
2) a) Chercher les antécédents, c’est résoudre une équation.
•Pour l’antécédent de 0, la forme la plus adaptée est la forme factorisée.
On résout h(x)=2(x−1)(x+3)=0. Les antécédents de 0 sont 1 et −3.
•Pour l’antécédent de −6, la plus pertinente est la forme développée.
On résout f(x)=2x2+4x−6=−6. On obtient 2x2+4x=0.
On factorise l’expression : x(2x+4)=0. Les antécédents de −6sont0et−2.
b) Pour chercher les coordonnées du sommet d’une parabole, la forme canonique est la plus
pertinente. Ici, c’est gavec α=−1.
Donc les coordonnées du sommet de la parabole sont (−1; −8).
c) Calculer une image, c’est évaluer une expression. La forme laplusadaptéedépenddex.
•f(0)=−6, l’image de 0 est −6.
•h(1)=0, l’image de 1 est 0.
•g(−1)=−8, l’image de −1est−8.
Chapitre F5. Fonctions polynômes du second degré 155

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2. Sens,de,variation,
!
!
DÉFINITION!:!sens!de!variation!d’une!suite!
n On!dit!qu’une!suite!(𝑢")!est!
croissante
!si!pour!tout!entier!naturel!𝑛,!𝑢"$# ≥ 𝑢".!
n On!dit!qu’une!suite!(𝑢")!est!
décroissante
!si!pour!tout!entier!naturel!𝑛,!𝑢"$# ≤ 𝑢".!
n On!dit!qu’une!suite!(𝑢")!est!
monotone
!si!elle!est!croissante!ou!décroissante.!
!
REMARQUES!:!
n On!définit!de!même!une!suite!strictement!monotone!en!utilisant!des!inégalités!strictes.!
n Une!suite!peut!être!monotone!qu’à!partir!d’un!certain!rang!(voir!le!deuxième!exemple).!
!
!
n La!suite!(𝑢")!définie!pour!tout!entier!naturel!𝑛!par!𝑢"=(−1)"!n’est!ni!croissante,!ni!décroissante.!On!dit!qu’elle!est!non!
monotone.!
!
n La!suite!(𝑢")!définie!pour!tout!entier!naturel!𝑛!par!𝑢"= 𝑛%− 6𝑛 + 9!est!croissante!à!partir!du!rang!3.!
!
!
PROPRIÉTÉ!:!étude!du!signe!de!
𝒖𝒏$𝟏 − 𝒖𝒏
!
Soit!(𝑢")!une!suite.!
n Si,!pour!tout!entier!naturel!𝑛,!!𝑢"$# − 𝑢"> 0!alors!la!suite!(𝑢")!est!strictement!croissante.!
n Si,!pour!tout!entier!naturel!𝑛,!!𝑢"$# − 𝑢"< 0!alors!la!suite!(𝑢")!est!strictement!décroissante.!
!
!
On!considère!la!suite!(𝑢")!définie!sur!ℕ!par!𝑢"= 𝑛%+ 1.!
Pour!tout!entier!𝑛,!𝑢"$# − 𝑢"=(𝑛 + 1)%+ 1 − (𝑛%+ 1)= 𝑛%+ 2𝑛 + 1 + 1 − 𝑛%− 1 = 2𝑛 + 1.!
𝑛!étant!un!entier!naturel,!𝑛!est!un!nombre!positif!donc!le!nombre!2𝑛 + 1!est!positif.!
Ainsi,!𝑢"$# − 𝑢"> 0!et!la!suite!(𝑢")!est!strictement!croissante.!
!
PROPRIÉTÉ!:!comparaison!de!
𝒖𝒏"𝟏
𝒖𝒏
!et!1!
Soit!(𝑢")!une!suite!dont!tous!les!termes!sont!positifs.!
n!!Si,pour!tout!entier!naturel!𝑛, 𝑢"$#
𝑢"
> 1!alors!la!suite!(𝑢")!est!strictement!croissante.!
n!!Si,pour!tout!entier!naturel!𝑛, 𝑢"$#
𝑢"
< 1!alors!la!suite!(𝑢")!est!strictement!décroissante.!
!
!
On!considère!la!suite!(𝑢")!définie!sur!ℕ!par!𝑢"= 5 × 3".!
Pour!tout!entier!𝑛,!5!et!3"!sont!des!nombres!strictement!positifs!donc!𝑢"!est!strictement!positif.!
𝑢"$#
𝑢"
=5 × 3"$#
5 × 3"=5 × 3"× 3 5 × 3"= 3 > 1!!donc!la!suite!(𝑢")!est!strictement!croissante.!
Cours - Méthodes
2. Les suites arithmétiques
DÉFINITION
On dit qu’une suite (un)est arithmétique,s’ilexisteunréelrtel que pour tout entier naturel,
on a un+1=un+r.
Le réel rest appelé la raison de la suite arithmétique (un).
REMARQUE :Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence ; on ajoute
toujours le même terme. Pour la définir, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemple La suite définie par !u3=4
un+1=un−5pour n≥3estunesuitearithmétiquede
raison −5.
MÉTHODE 5 Démontrer qu’une suite est arithmétique Ex. 41 p. 121
Pour tout entier appartenant à N,oncalculeladifférenceun+1−un.
On montre que cette différence est constante.
Exercice d’application
Montrer que la suite (un)définie sur N
par un=2+3nest arithmétique.
Correction
Pour tout ndans N:
un+1−un=2+3(n+1)−(2+3n)
=2+3n+3−2−3n
=3
Donc (un)est une suite arithmétique de raison 3.
MÉTHODE 6 Démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique Ex. 43 p. 121
On utilise un contre-exemple pour prouver qu’une suite n’estpasarithmétique.
On calcule deux différences de termes consécutifs et on montre qu’elles ne sont pas égales.
Exercice d’application
La suite définie par !u0=0
un+1=un+2n
pour n≥0est-elleunesuitearithmé-
tique ?
Correction
On calcule les trois premiers termes, par exemple :
u0=0u1=u0+2×0=0u2=u1+2×1=2
Puis on calcule les différences :
u1−u0=0etu2−u1=2doncu1−u0$=u2−u1.
La suite (un)n’est pas arithmétique.
THÉORÈME : Forme explicite d’une suite arithmétique
Si (un)est une suite arithmétique de raison r,alorspourtoutentiernatureln,ona:
un=u0+nr.
Si (un)est une suite arithmétique de raison r,alorspourtouslesentiersnaturelsnet k,
on a :
un=uk+(n−k)r.
Chapitre A5. Notion de suite 113
Cours - Méthodes
1. Sens de variations
A. Cas général
DÉFINITION
On dit qu’une suite uest croissante si pour tout entier naturel n,un+1≥un.
On dit qu’une suite uest décroissante si pour tout entier naturel n,un+1≤un.
On dit qu’une suite uest monotone si elle est croissante ou décroissante.
REMARQUES :
On définit de même une suite strictement monotone en utilisantdesinégalitésstrictes.
Une suite peut être monotone à partir d’un terme (voir 2eexemple).
Exemples
•La suite udéfinie pour tout entier naturel npar un=(−1)nn’est ni croissante ni décrois-
sante.
Les termes d’indice pair sont égaux à 1 et les termes d’indice impair sont égaux à −1.
1
1
0
•La suite udéfinie pour tout entier naturel npar un=n2−6n+9estcroissanteàpartirde
l’indice 3.
1
10
0
134 Chapitre A6. Comportement global d’une suite
Cours - Méthodes
1. Sens de variations
A. Cas général
DÉFINITION
On dit qu’une suite uest croissante si pour tout entier naturel n,un+1≥un.
On dit qu’une suite uest décroissante si pour tout entier naturel n,un+1≤un.
On dit qu’une suite uest monotone si elle est croissante ou décroissante.
REMARQUES :
On définit de même une suite strictement monotone en utilisantdesinégalitésstrictes.
Une suite peut être monotone à partir d’un terme (voir 2eexemple).
Exemples
•La suite udéfinie pour tout entier naturel npar un=(−1)nn’est ni croissante ni décrois-
sante.
Les termes d’indice pair sont égaux à 1 et les termes d’indice impair sont égaux à −1.
1
1
0
•La suite udéfinie pour tout entier naturel npar un=n2−6n+9estcroissanteàpartirde
l’indice 3.
1
10
0
134 Chapitre A6. Comportement global d’une suite
Cours - Méthodes
2. Les suites arithmétiques
DÉFINITION
On dit qu’une suite (un)est arithmétique,s’ilexisteunréelrtel que pour tout entier naturel,
on a un+1=un+r.
Le réel rest appelé la raison de la suite arithmétique (un).
REMARQUE :Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence ; on ajoute
toujours le même terme. Pour la définir, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemple La suite définie par !u3=4
un+1=un−5pour n≥3estunesuitearithmétiquede
raison −5.
MÉTHODE 5 Démontrer qu’une suite est arithmétique Ex. 41 p. 121
Pour tout entier appartenant à N,oncalculeladifférenceun+1−un.
On montre que cette différence est constante.
Exercice d’application
Montrer que la suite (un)définie sur N
par un=2+3nest arithmétique.
Correction
Pour tout ndans N:
un+1−un=2+3(n+1)−(2+3n)
=2+3n+3−2−3n
=3
Donc (un)est une suite arithmétique de raison 3.
MÉTHODE 6 Démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique Ex. 43 p. 121
On utilise un contre-exemple pour prouver qu’une suite n’estpasarithmétique.
On calcule deux différences de termes consécutifs et on montre qu’elles ne sont pas égales.
Exercice d’application
La suite définie par !u0=0
un+1=un+2n
pour n≥0est-elleunesuitearithmé-
tique ?
Correction
On calcule les trois premiers termes, par exemple :
u0=0u1=u0+2×0=0u2=u1+2×1=2
Puis on calcule les différences :
u1−u0=0etu2−u1=2doncu1−u0$=u2−u1.
La suite (un)n’est pas arithmétique.
THÉORÈME : Forme explicite d’une suite arithmétique
Si (un)est une suite arithmétique de raison r,alorspourtoutentiernatureln,ona:
un=u0+nr.
Si (un)est une suite arithmétique de raison r,alorspourtouslesentiersnaturelsnet k,
on a :
un=uk+(n−k)r.
Chapitre A5. Notion de suite 113
Cours - Méthodes
2. Les suites arithmétiques
DÉFINITION
On dit qu’une suite (un)est arithmétique,s’ilexisteunréelrtel que pour tout entier naturel,
on a un+1=un+r.
Le réel rest appelé la raison de la suite arithmétique (un).
REMARQUE :Une suite arithmétique est définie par une relation de récurrence ; on ajoute
toujours le même terme. Pour la définir, il faut donner son premier terme et sa raison.
Exemple La suite définie par !u3=4
un+1=un−5pour n≥3estunesuitearithmétiquede
raison −5.
MÉTHODE 5 Démontrer qu’une suite est arithmétique Ex. 41 p. 121
Pour tout entier appartenant à N,oncalculeladifférenceun+1−un.
On montre que cette différence est constante.
Exercice d’application
Montrer que la suite (un)définie sur N
par un=2+3nest arithmétique.
Correction
Pour tout ndans N:
un+1−un=2+3(n+1)−(2+3n)
=2+3n+3−2−3n
=3
Donc (un)est une suite arithmétique de raison 3.
MÉTHODE 6 Démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique Ex. 43 p. 121
On utilise un contre-exemple pour prouver qu’une suite n’estpasarithmétique.
On calcule deux différences de termes consécutifs et on montre qu’elles ne sont pas égales.
Exercice d’application
La suite définie par !u0=0
un+1=un+2n
pour n≥0est-elleunesuitearithmé-
tique ?
Correction
On calcule les trois premiers termes, par exemple :
u0=0u1=u0+2×0=0u2=u1+2×1=2
Puis on calcule les différences :
u1−u0=0etu2−u1=2doncu1−u0$=u2−u1.
La suite (un)n’est pas arithmétique.
THÉORÈME : Forme explicite d’une suite arithmétique
Si (un)est une suite arithmétique de raison r,alorspourtoutentiernatureln,ona:
un=u0+nr.
Si (un)est une suite arithmétique de raison r,alorspourtouslesentiersnaturelsnet k,
on a :
un=uk+(n−k)r.
Chapitre A5. Notion de suite 113