Analyse I : Cours pour SMPC I à l'Université Moulay Ismail

Universit´e Moulay Ismail Facult´e des Sciences, Mekn`es
Module Analyse I Fili`ere SMPC I
Analyse I
Pr. Mohamed RHOUDAF
Fili`ere : SMPC I.
Ann´ee universitaire 2015/2016.

Table des mati`eres
1 L’Ensemble des Nombres R´eels 1
1.1 Rappels sur les ensembles ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Relations d’´equivalence et d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Quelques ´el´ements de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Implication [A⇒B] ........................ 2
1.2.2 Equivalence [A⇔B]........................ 3
1.2.3 Raisonnement par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 L’ensemble des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Introduction............................. 4
1.4 Op´eration sur les nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Ordre sur R................................. 6
1.5.1 Borne sup´erieure-Borne inf´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Suites Num´eriques 11
2.1 Suitesnum´eriques.............................. 11
2.1.1 Suite major´ee, minor´ee, born´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Op´eration ´el´ementaires sur les suites convergentes . . . . . . . . 14
2.2 Propri´et´es d’ordre des suites r´eelles convergentes . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Suiter´ecurrente............................... 19
2.3.1 Suites extraites ou sous-suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Les suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Suites arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Suites g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Fonctions R´eelles d’une Variable R´eelle 27
3.1 Notionsdefonction............................. 27
3.1.1 Fonctions major´ees, minor´ees, born´ees . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.2 Parit´e et p´eriodicit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Op´eration sur les fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.1 Somme et produit de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.2 Produit d’une fonction par un nombre r´eel . . . . . . . . . . . . 30
3.2.3 Composition de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Limites.................................... 31
3.4 Propri´et´es des limites et op´eration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iii

Table des mati`eres
3.5 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.1 continuit´e en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5.2 Prolongement par continuit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.3 Suites et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Fonctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7.1 Rappels : injection, surjection, bijection . . . . . . . . . . . . . . 46
3.8 Propri´et´es des fonctions monotones sur un intervalle . . . . . . . . . . . 49
3.8.1 Exemples des foctions r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4 D´erivabilit´e des fonctions d’une variable r´eelle. 53
4.1 D´eriv´ee d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Interpr´etation g´eom´etrique ..................... 54
4.1.2 Op´erations sur les fonctions d´erivables ................ 56
4.1.3 D´eriv´ee d’une fonction compos´ee ................... 57
4.1.4 D´eriv´ee d’une fonction r´eciproque .................. 58
4.2 D´eriv´ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Fonction de classe Cp............................ 62
4.4 Extremums ................................. 63
4.4.1 M´ethode de la d´eriv´ee seconde .................... 64
4.4.2 Interpr´etation g´eom´etrique ...................... 66
4.5 R`egles de de l’ Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.6.1 Interpr´etation g´eom´etrique ...................... 70
4.7 Plan d’´etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Fonctions Usuelles 73
5.1 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Fonction logarithme n´ep´erien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3 Fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4 Fonction logarithme de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.5 Fonctions exponentielles de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.7 Fonctions hyperboliques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.7.1 Argument cosinus hyperbolique .................... 84
5.7.2 Argument sinus hyperbolique ..................... 85
5.7.3 Argument tangente hyperbolique ................... 85
5.7.4 Argument cotangente hyperbolique .................. 85
5.8 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.9 Etude des fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.9.1 Fonction cosinus ........................... 89
5.9.2 Fonction sinus ............................ 89
5.9.3 Fonction tangente .......................... 90
5.9.4 Fonction cotangente ......................... 91
5.10 Fonctions circulaires r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.10.1 Fonction Arc cosinus ......................... 92
iv

Table des mati`eres
5.10.2 Fonction Arc sinus .......................... 92
5.10.3 Fonction Arc tangente. ........................ 93
5.10.4 Fonction Arc cotangente ....................... 94
6 Formules de Taylor et D´eveloppements Limit´es 95
6.1 Fonctions ´equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 FormulesdeTaylor ............................. 98
6.3 Applications de la formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3.1 Calcul approch´e des valeurs d’une fonction . . . . . . . . . . . . 101
6.3.2 D´emonstration d’in´egalit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.3.3 Ordre de multiplicit´e des racines d’une ´equation . . . . . . . . . 102
6.4 D´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.5 D´eveloppements limit´es usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.6 Op´erations sur les d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.6.1 D´eveloppement limit´e d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.6.2 D´eveloppement limit´e d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.6.3 D´eveloppement limit´e d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.6.4 D´eveloppement limit´e d’une compos´ee . . . . . . . . . . . . . . 108
6.6.5 Int´egration d’un d´eveloppement limit´e : . . . . . . . . . . . . . 109
6.6.6 D´erivation d’un d´eveloppement limit´e . . . . . . . . . . . . . . 110
6.6.7 D´eveloppements limit´es au voisinage de l’infini . . . . . . . . . . 112
6.7 D´eveloppements limit´es g´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.8 Applications des d´eveloppements limit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.8.1 Calculs des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.8.2 Calcul des d´eriv´ees niemes en un point : . . . . . . . . . . . . . . 118
6.8.3 Calcul des coefficients d’une d´ecomposition en ´el´ements simples
d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7 Courbes Param´etr´ees 123
7.1 D´efinition .................................. 123
7.2 Plan d’´etude d’une courbe param´etr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1 Domaine de d´efinition et d´erivabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.2 R´eduction du domaine d’´etude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.3 ´ Etude des variations de x et y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.4 ´ Etude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.5 ´ Etude des points particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.2.6 ´ Etude de la convexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2.7 Tra¸cage de la courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.3 Exemple................................... 128
7.3.1 Une ´etude compl`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.2 Une courbe de Lissajous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3.3 Le folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8 S´eries et Examens 137
Bibliographie 151
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