Admissibilité des représentations p

Admissibilité des représentations p-adiques et
lemme de Nakayama
Marie-France Vignéras
Institut de Mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7-Denis Diderot
January 28, 2007
A Serge Lang,
un mathématicien exceptionnel.
1. Introduction
Soit G un groupe analytique p-adique, ou ce qui est équivalent: G
contient un pro-p-sous-groupe ouvert U isomorphe à un sous-groupe
fermé de GLd (Zp ) for some d ≥ 1 [4] 8.33 page 201 et Interlude A
(o),(n) page 97.
Soit L un corps commutatif localement compact de caractéristique
0, d’anneau des entiers OL , d’uniformisante pL , de corps résiduel kL
de caractéristique p. Posons A := L, OL ou kL .
Une A-représentation V de G est un A-module topologique sur
lequel G opère continûment. Les kL -représentations de G s’identifient
aux OL -représentations de G annulées par pL . Selon que A = L, OL , kL ,
on dit que V est p-adique, p-adique entière, modulo p.
Pour toute partie H de G, on note V H le A-sous-module des v ∈ V
fixes par chaque élément de H. Lorsque V = ∪H V H où H parcourt
les sous-groupes ouverts compacts de G, on dit que V est lisse.
Une A-représentation lisse V telle que V H est un A-module de
type fini pour tout sous-groupe ouvert compact H de G, est appelée
admissible.
Si V est un OL -module discret de torsion, l’action continue de G
sur V est lisse; on dit que V est une représentation p-adique de torsion
lisse de G.
Soit
0 → V1 → V2 → V3 → 0
2
Marie-France Vignéras
une suite exacte de A-représentations lisses de G. Si V2 est admissible
alors V1 est admissible, et si V1 et V3 sont admissibles alors V2 est
admissible, car l’anneau A est noetherien.
Si A = L, l’existence d’une mesure de Haar sur G à valeurs
dans L implique l’exactitude du foncteur V → V H , et la stabilité de
l’admissibilité par quotient. Pour A = OL , kL , le foncteur V → V H
n’est pas exact à droite et l’on se demande si la stabilité par quotient
de l’admissibilité reste vraie.
La motivation de cet article est de montrer que la réponse est
oui si V est une représentation lisse p-adique entière annulée par une
puissance de p, en particulier si V est une représentation lisse modulo
p.
La dualité de Pontryagin semble être un outil fondamental pour
étudier les représentations p-adiques de torsion lisses de G.
La dualité de Pontryagin est une équivalence de catégorie contravariante entre les OL -modules discrets de torsion V et les OL modules profinis M . Le dual de Pontryagin d’un OL -module E, discret de torsion, ou profini, est le OL -module
E ∨ := HomOL (E, L/OL )
muni de la topologie de la convergence faible. Les OL -morphismes
sont bien entendu supposés continus lorsque E = M est profini. On
a E = (E ∨ )∨ . Si E est muni d’une action continue de G, le dual de
Pontryagin E ∨ est muni de l’action contragrédiente.
Soit U un pro-p-sous-groupe ouvert de G. La OL -algèbre d’Iwasawa
OL [[U ]] de U est un anneau compact, local, et noetherien [7]§2, 2.7.
Le lemme de Nakayama topologique [1] est la clef des propriétés de
l’admissibilité.
Soit V une représentation p-adique entière lisse de G telle que
pk V = 0 pour un entier k ≥ 1.
Le dual de Pontryagin V ∨ est annulé par pk , c’est un OL [[U ]]module profini par restriction à U . La dualité de Pontryagin échange
les U -invariants V U et les U -coinvariants (V ∨ )U et respecte la propriété d’être fini. En appliquant le lemme de Nakayama topologique,
et en remarquant qu’un OL -module de torsion est de type fini si et
seulement s’il est fini, on obtient les deux théorèmes suivants qui se
déduisent du théorème 3 énoncé à la fin de cet article.
Théorème 1. V est admissible si et seulement si V U est fini.
On comparera avec le résultat de Paskunas [6] : toute représentation lisse V sur un corps k de caractérisque p d’un groupe topologique
G contenant un pro-p-sous-groupe ouvert U telle que dimk V U < ∞
est admissible. La démonstration basée sur les enveloppes injectives,
n’utilise ni la dualité de Pontryagin ni le lemme de Nakayama.
Admissibilité des représentations p-adiques et lemme de Nakayama
3
Théorème 2. Si V est admissible, tout quotient de V est admissible.
Un groupe réductif p-adique est le groupe des points rationnels
d’un groupe réductif connexe sur une extension finie de Qp ; c’est
un groupe analytique p-adique. Le groupe des points rationnels d’un
groupe réductif connexe sur corps local de caractéristique p n’est pas
un groupe analytique p-adique.
Corollaire 1. Supposons que G soit un sous-groupe de Levi d’un
sous-groupe parabolique P d’un groupe réductif p-adique H.
Si V est admissible, tout sous-quotient de l’induite parabolique
indH
P V est admissible.
En effet [8] I.V.6, l’induction parabolique respecte l’admissibilité
puisque H/P est compact par la décomposition d’Iwasawa, la propriété d’être entière, lisse, annulée par pk .
2. Dualité de Pontryagin
On note Modtor la catégorie abélienne des OL -modules discrets de torsion et des applications OL -linéaires, et Modprof la catégorie abélienne
des OL -modules profinis et des applications OL -linéaires continues.
Soit V ∈ Modtor et soit M ∈ Modprof . Alors,
V = limW W
est la limite inductive de ses OL -sous-modules finis W , muni de la
topologie de la limite inductive [2] AII.93; les applications de transition étant les inclusions. Et
M = lim
←− M/N
N
est la limite projective de ses quotients par les OL -sous-modules ouverts N , muni de la topologie de la limite projective; les applications
de transition sont les surjections.
Une application linéaire continue dans Modprof est fermée car un
OL -module profini est compact et séparé [3] I.63.
La dualité de Pontryagin
E ∨ := HomOL (E, L/OL )
pour E = V ou M échange limites inductives et projectives (topologies comprises) et vérifie (E ∨ )∨ = E. Elle échange L/OL et OL . Elle
induit une équivalence contravariante entre Modtor et Modprof .
On considère les sous-catégories abéliennes Modtor (G) ⊂ Modtor
et Modprof (G) ⊂ Modprof des OL -modules discrets de torsion ou
4
Marie-France Vignéras
profinis munis d’une application continue de G. Le groupe G agit
continuement sur E = V ou M si l’application
(g, x) → gx : G × E → E
est continue comme fonction des deux variables. Alors V ∈ Modtor (G)
est la limite inductive de ses OL -sous-modules finis W stables par G,
et M ∈ Modprof (G) est la limite projective de ses quotients par les
OL -sous-modules ouverts N stables par G. L’action contragrédiente
du groupe G sur le dual de Pontryagin E ∨ est définie par
(gx∗ , gx) = (x∗ , x) (g ∈ G, x ∈ E, x∗ ∈ E ∗ ).
La dualité de Pontryagin induit une équivalence contravariante entre
Modtor (G) et Modprof (G).
Soit H un groupe profini topologiquement de type fini (par exemple un sous-groupe fermé de G [4] prop. 3.11, page 51). Soit E = V ∈
Modtor (H) ou M ∈ Modprof (H).
Le submodule E H ⊂ E des H-invariants de E est formé des
vecteurs de E fixes par tout élément h ∈ H. L’action de H étant
continue, E H est fermé dans E.
Le quotient EH des H-coinvariants de E est E/E(H) où E(H) est
le OL -sous-module de E engendré par
gx − x
(g ∈ H, x ∈ E).
Proposition 1. 1) E(H) est fermé dans E.
2) La dualité de Pontryagin échange invariants et coinvariants
(E H )∨ = (E ∨ )H ,
(E/E H )∨ = E ∨ (H).
Preuve. 1) Tout sous-module de V est fermé.
Le OL -sous-module M ′ de M engendré par (h − 1)M pour h dans
un ensemble fini XH engendrant un sous-groupe dense H ′ de H est
fermé car M est compact. On a M (H ′ ) = M ′ car l’égalité
h1 . . . hr m − m = h1 h2 . . . hr m − h2 . . . hr m + h2 . . . hr m − m
pour h1 , . . . , hr ∈ XH et m ∈ M , montre par induction sur r
h1 . . . hr m − m ∈ M ′ . La continuité de l’action de H implique
M (H ′ ) = M (H). Donc M (H) = M ′ est fermé dans M .
2) f ∈ E ∨ étant continue s’annule sur E(H) si et seulement
est invariant par H,
(E ∨ )H = (EH )∨ .
Remplacons E par E ∨ , puis prenons le dual de Pontryagin et
obtient (E H )∨ = (E ∨ )H . Ceci implique (E/E H )∨ = E ∨ (H) car
a la suite exacte
1 → (E/E H )∨ → E ∨ → (E H )∨ → 0.
que
que
si f
l’on
l’on
Admissibilité des représentations p-adiques et lemme de Nakayama
5
Par la proposition 1, les H-invariants ou H-coinvariants définissent
des foncteurs
Modtor (H) → Modtor ,
Modprof (H) ⊂ Modprof
échangés par la dualité de Pontryagin.
3. Le lemme de Nakayama
Module signifiera module à gauche. Si A est un anneau et N un Amodule, on note dA (N ) ∈ N ∪ ∞ le nombre minimal de générateurs
du A-module N .
Proposition 2. [1] §3 (Lemme de Nakayama)
Soient A un anneau topologique compact, N un A-module profini
et I un idéal bilatère topologiquement nilpotent de A. Alors
dA (N ) = dA/I (N/I).
Soit U un pro-p-sous-groupe de rang fini (par exemple un prop-sous-groupe fermé de G). Un OL -module profini muni d’une action continue de U s’identifie à un module profini sur la OL -algèbre
d’Iwasawa
′
Λ := OL [[U ]] = lim
←− OL [U/U ]
U′
où U ′ parcourt les sous-groupes distingués d’indice fini de U . Comme
U est de rang fini, un sous-groupe est ouvert si et seulement s’il est
d’indice fini, l’anneau compact Λ est local, sa topologie est celle donnée par les puissances de son radical, et Λ est noetherien à gauche et
à droite [7] §2. Tout idéal propre de Λ est topologiquement nilpotent.
Le noyau IU de l’homomorphisme d’augmentation Λ → OL est l’idéal
à gauche engendré par
u − 1 (u ∈ XU )
où XU est un sous-ensemble fini de U engendrant topologiquement
U . Le radical de Λ est l’idéal engendré par IU et pL [5] 2.1.8.
Proposition 3. Soit N ∈ Modprof (U ). Pour tout sous-groupe distingué d’indice fini U ′ ⊂ U , on a
dΛ (N ) = dOL [U/U ′ ] (NU ′ ).
En particulier dΛ (N ) = dOL (NU ).
6
Marie-France Vignéras
Preuve. Soit IU ′ le noyau du morphisme canonique surjectif Λ →
OL [U/U ′ ]. Comme idéal à gauche, IU ′ est engendré par u − 1 pour
u dans un sous-ensemble XU ′ fini de U ′ engendrant topologiquement
U ′ . L’espace des U ′ -coinvariants de N est
NU ′ = N/IU ′ N.
On applique le lemme de Nakayama à (Λ, N, IU ′ ).
Corollaire 2. Les propriétés suivantes sont équivalentes:
i. N est un Λ-module de type fini,
ii. NH est un OL -module de type fini pour un sous-groupe d’indice
fini H de U .
iii. NH est un OL -module de type fini pour tout sous-groupe d’indice
fini H de U .
Preuve. Un sous-groupe d’indice fini H de U contient un sous-groupe
distingué U ′ d’indice fini de U . Comme U/U ′ est fini, la proposition
implique que N est un Λ-module de type fini si et seulement si NU ′
est un OL -module de type fini. Il reste à montrer que NH est un OL module de type fini si et seulement si NU ′ est un OL -module de type
fini. La OL -algèbre d’Iwasawa de H est un module libre de type fini sur
celle de U ′ , engendrée par les images d’un système de représentants
de H/U ′ . Donc
dOL [[H] (N ) ≤ dOL [[U ′ ]] (N ) ≤ [H : U ′ ]dOL [[H]] (N ).
On applique le cas particulier de la proposition à U ′ et à H et le
corollaire est démontré.
Corollaire 3. Soient U ′ ⊂ H ⊂ U des sous-groupes avec U ′ distingué
dans H. Alors
dOL (NH ) ≤ dOL (NU ′ ) ≤ [U : U ′ ]dOL (NH ).
4. Application à l’admissibilité
Soit V une OL -représentation lisse de G annulée par pk pour un entier
k ≥ 1.
Théorème 3. 1) Les propriétés suivantes sont équivalentes:
i. V est admissible.
ii. Le dual de Pontryagin V ∨ restreint à H est un OL [[H]]-module
de type fini, pour tout sous-groupe ouvert compact H de G.
iii. Le dual de Pontryagin V ∨ restreint à U est un OL [[U ]]-module
de type fini, pour un pro-p-groupe ouvert U de G.
iv. V U est fini pour pour un pro-p-groupe ouvert U de G.
2) Si U est un pro-p-groupe ouvert de G et si U ′ est un sous-groupe
d’indice fini distingué dans U , alors
′
dOL (V U ) ≤ dOL (V U ) ≤ [U : U ′ ]dOL (V U ).
Admissibilité des représentations p-adiques et lemme de Nakayama
7
Preuve. La dualité de Pontryagin respecte la propriété d’être fini (et
non d’être un OL -module de type fini), d’être annulé par pk (et non
d’être de torsion), et échange U -invariants et U -coinvariants (proposition 1). Un OL -module de torsion est de type fini si et seulement s’il
est fini. On en déduit que V est admissible si et seulement si (V ∨ )H
est un OL -module de type fini, pour tout sous-groupe ouvert compact
H de G. On applique alors les corollaires 2, 3.
Un quotient W de V est annulé par pk . La dualité de Pontryagin
est contravariante donc W ∨ est un sous-module de V ∨ . L’anneau
OL [[U ]] est noetherien pour tout sous-pro-p-groupe ouvert U de G,
donc si V ∨ est un OL [[U ]]-module de type fini, il en est de même du
OL [[U ]]-sous-module W ∨ . Si V est admissible, W l’est aussi par le
théorème 3. Le théorème 2 est démontré.
Bibliographie
1. Balister P.N. and Howson S. Note on Nakayama’s lemma for compact Λmodules. Asian Journal of Mathematics 1 (1997) 224-229.
2. Bourbaki Nicolas. Algèbre Ch. 1 à 3. Hermann (1970).
3. Bourbaki Nicolas. Topologie générale Ch. 1 à 4. Hermann (1971).
4. Dixon J.D. Du Sautoy M.P.F. Mann A. and Segal D. Analytic pro-p-groups.
Cambridge studies in advanced mathematics 61. Second edition 2003.
5. Lazard Michel. Groupes anlytiques p-adiques. IHES (26) (1965) 5-219.
Grundlheren der mathematischen Wissenschaften 323. Springer 2000.
6. Paskunas Vytautas. Coefficient systems and supersingular representations of
GL2 (F ). Mémoires de la S.M.F. 99 (204).
7. Venjakob Otmar. Characteristic Elements in Noncommutative Iwasawa Theory. J. reine angew. Math. 583 (2005).
8. Vignéras Marie-France. Représentations ℓ-modulaires d’un groupe réductif padique avec ℓ=p.
/ Progress in Math. 137. Birkhäuser 1996.