Nombres Relatifs : Fiche de Mathématiques pour le Collège

Fiche de mathématique / les nombres relatifs
1. Vocabulaire
a) Nombres relatifs, nombres positifs et nombres négatifs
Un nombre relatif est formé de deux éléments : un signe (+ ou -) et un nombre
appelé distance à zéro.
Exemples
+5+5 est un nombre relatif. Son signe est ++ et sa distance à zéro est 55.
−6−6 est un nombre relatif. Son signe est −− et sa distance à zéro est 66.
Un nombre relatif avec un signe ++ est appelé un nombre positif. Un nombre relatif avec un
signe −− est appelé un nombre négatif. Les nombres positifs s'écrivent souvent sans le
signe ++.
Exemples
+5+5 est un nombre positif et −6−6 est un nombre négatif. +5+5 peut également
s'écrire 55 et c'est toujours un nombre positif.
Le nombre 00 est le seul nombre relatif qui soit à la fois positif et négatif.
b) Nombres opposés
Deux nombres relatifs qui ont la même distance à zéro mais des signes contraires sont appelés
des nombres opposés.
Exemple
−9−9 et +9+9 sont des nombres opposés. On peut aussi dire que +9+9 est l'opposé
de −9−9 (ou que −9−9 est l'opposé de +9+9).
2. Repérage et comparaison
a) Droite graduée, repérage et comparaison
Un point sur une droite peut être repéré par un nombre relatif. Ce nombre est appelé
l'abscisse de ce point.
Exemple
L'abscisse de A est (+4). On peut noter A(+4).
L'abscisse de C est (-2). On peut noter C(-2).

En utilisant la droite graduée, on peut comparer facilement deux nombres relatifs (dire lequel
est le plus grand). En effet, plus un nombre est à droite de la droite, plus il est grand.
Inversement, plus un nombre est à gauche de la droite, plus il est petit. On pourra également
utiliser la règle suivante.
Pour comparer deux nombres relatifs, on distingue trois cas :
 Si les deux nombres sont positifs, alors le plus grand est celui qui a la plus grande distance
à zéro.
 Si l'un des nombres est positif et l'autre est négatif, alors le plus grand nombre est le
nombre positif
 Si les deux nombres sont négatifs, alors le plus grand est celui qui a la plus petite distance à
zéro
Exemples
(+3)<(+9)(+3)<(+9) en utilisant le premier point de la règle.
(+5)>(−2)(+5)>(−2) en utilisant le deuxième point de la règle.
(−19)<(−5)(−19)<(−5) en utilisant le troisième point de la règle.
b) Repère orthogonal
Un repère orthogonal du plan est formé de deux droites graduées perpendiculaires dont
l'intersection est appelée l'origine. La droite horizontale s'appelle l'axe des abscisses et la
droite verticale est appelé l'axe des ordonnées.
Dans le repère orthogonal ci-dessus, le point AA a pour abscisse (+3)(+3) et pour
ordonnée (−1)(−1). On note A(+3;−1)A(+3;−1). De la même façon, le point BB a pour
abscisse (−2)(−2) et pour ordonnée (+4)(+4). On note B(−2;+4)B(−2;+4).
3. Calculer avec des nombres relatifs
On peut effectuer différents types de calculs avec les nombres relatifs : addition, soustraction,
multiplication, division. Les priorités opératoires sont également valables avec les nombres
relatifs. En cinquième, on apprendra à additionner et soustraire des nombres relatifs.

a) Additionner des nombres relatifs
Si deux nombres relatifs sont de même signe, alors leur somme est le nombre relatif de même
signe dont la distance à zéro est la somme des distances à zéro de ces deux nombres.
Exemples
(+5)+(+8)=(+13)(+5)+(+8)=(+13)
(−2)+(−7)=(−9)(−2)+(−7)=(−9)
La somme de deux nombres relatifs de signes contraires est le nombre relatif qui a :
 le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
 pour distance à zéro la différence des distances à zéro des deux nombres.
Exemples
(−3)+(+9)=(+6)(−3)+(+9)=(+6) car 9>39>3 donc la somme a pour signe ++ et 9−3=69−3=6
(+4)+(−11)=(−7)(+4)+(−11)=(−7) car 11>411>4 donc la somme a pour
signe −− et 11−4=711−4=7
Nous pouvons faire deux remarques concernant l'addition des nombres relatifs. Tout d'abord,
elle est commutative. Par exemple, (+2)+(−5)=(−5)+(+2)=−3(+2)+(−5)=(−5)+(+2)=−3.
D'autre part, des règles de simplification d'écriture sont souvent utilisées : on peut supprimer
les signes d’addition et les parenthèses autour des nombres et on peut supprimer le
signe ++ devant un nombre s’il se trouve en début de ligne.
Exemples
A=(+5)+(−8)+(+3)A=(+5)+(−8)+(+3)
A=+5−8+3A=+5−8+3
A=5−8+3A=5−8+3
b) Soustraire des nombres relatifs
Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
Exemples
A=(+7)−(+3)=(+7)+(−3)=+4A=(+7)−(+3)=(+7)+(−3)=+4 au lieu de soustraire (+3)(+3), on a
ajouté (−3)(−3)
B=(+4)−(−6)=(+4)+(+6)=+10B=(+4)−(−6)=(+4)+(+6)=+10 au lieu de soustraire (−6)(−6), on
a ajouté (+6)(+6)
c) Enchaînement d'additions et de soustractions
Pour calculer un enchaînement de ces deux opérations, on transforme les soustractions en
additions puis on effectue le calcul.
Exemples

A=(+7)−(−5)+(−8)−(+2)A=(+7)−(−5)+(−8)−(+2)
A=(+7)+(+5)+(−8)+(−2)A=(+7)+(+5)+(−8)+(−2) on a transformé les soustractions en
additions en faisant attention à changer les signes
A=(+12)+(−10)=−2A=(+12)+(−10)=−2 puis on a effectué le calcul
Distance de 2 points sur la droite gradué
La droite (d) est munie d’une graduation d’origine O et de point unité I.
On a placé sur la droite les points A (-5), B (3) et C (-2).
Définition : La distance de deux points sur une droite graduée est égale à la différence de leurs
abscisses, en enlevant toujours la plus petite à la plus grande.
● La distance IB est : IB = 3 – 1 = 2
● La distance AB est : AB = 3 – (– 5) = 3 + 5 = 8
● La distance AC est : AC = (– 2) – (– 5) = (– 2) + 5 = 3
1. ÉQUATION REDUITE D'UNE DROITE
PROPRIETE
Une droite du plan peut être caractérisée une équation de la forme :
 x=cx=c si cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées (« verticale »)
 y=mx+py=mx+p si cette droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées.
Dans le second cas, mm est appelé coefficient directeur et pp ordonnée à l'origine.
EXEMPLES

REMARQUES
 L'équation d'une droite peut s'écrire sous plusieurs formes. Par
exemple y=2x−1y=2x−1 est équivalente
à y−2x+1=0y−2x+1=0 ou 2y−4x+2=02y−4x+2=0, etc.
Les formes x=c et y=mx+p sont appelées équation réduite de la droite.
 Cette propriété indique que toute droite qui n'est pas parallèle à l'axe des
ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.(Voir
chapitre Fonctions linéaires et affines)
 Une droite parallèle à l'axe des abscisses a un coefficient direct mm égal à zéro.
Son équation est donc de la forme y=py=p. C'est la représentation graphique
d'une fonction constante.
PROPRIETE
Soient AA et BB deux points du plan tels que xA≠xB.
Le coefficient directeur de la droite (AB)(AB) est :
m= yB−yA
xB−xAm
REMARQUE
Une fois que le coefficient directeur de la droite (AB)(AB) est connu, on peut trouver
l'ordonnée à l'origine en sachant que la droite (AB)(AB) passe par le point AA donc que
les coordonnées de AA vérifient l'équation de la droite.
EXEMPLE