ANNUITES

Annuités
I – Définition :
On appelle annuités des sommes payables à intervalles de temps déterminés et fixes.
Les annuités peuvent servir à :
- constituer un capital ( annuités de placement )
- rembourser une dette ( annuités d’amortissement )
II – Capitalisation : ( Valeur acquise par une suite d’annuités constantes )
1° - Formule :
Vn = a
t
tn1)1(
−
+
a : versement périodique
n : nombre de versements
t : taux par période
Vn : valeur acquise au moment du dernier versement
2° - Exercices d’application :
1 – Pour améliorer sa pension de retraite, Mr Jean se constitue un capital en versant chaque année 5 000 F
et cela pendant 15 ans. Les sommes sont bloquées et rémunérées au taux annuel de 6,5%. De quelle
somme disposera-t-il au moment du dernier versement ?
2 – On verse 900 F par mois pendant 5 ans ( taux mensuel 0,75 % ). La capitalisation des intérêts est
mensuelle. Calculer la valeur acquise au moment du dernier versement et le montant total des intérêts
perçus.

III – Remboursement d’une dette : ( Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes )
1° - Formule :
V0 = a
t
tn−
+
−
)1(1
a : versement constant
n : nombre de versements
t : taux par période
V0 : valeur actuelle une période avant le premier versement
2° - Exercices d’application :
1 – Pour acheter une voiture, on paie une partie comptant et une partie à crédit.
On rembourse 1 460,23 F par mois pendant 18 mois, le premier versement intervenant 1 mois après
l’achat. Calculez la valeur actuelle de ces 18 mensualités si le taux mensuel est de 0,975%.
2 – Pour rembourser une dette, on propose des remboursements mensuels de 1 315,95 F au TEG de 9,6%
pendant 1 an. Calculez le montant de la dette .

IV – Rentabilité d’un investissement :
Pour vérifier si un investissement est rentable, un emprunteur doit comparer les rentrées et les
dépenses d’investissement et cela après actualisation.
VAN ( Valeur Actualisée Nette ) = Somme des rentrées nettes – Somme des capitaux
( ces sommes étant actualisées à la même date )
ðSi VAN
〉
0 : l’investissement est rentable au taux fixé par l’entreprise.
ðSi VAN
〈
0 : l’investissement n’est pas rentable au taux fixé par l’entreprise.
ðSi VAN = 0 : le taux d’actualisation s’appelle taux de rentabilité interne ( TRI ).
Remarques : u La détermination des rentrés nettes dépend de plusieurs éléments :
- des résultats d’exploitation
- du mode de financement
- de l’impôt sur les sociétés
uOn appelle capacité d’autofinancement ( ou CAF ) les rentrés nettes prenant en compte
tous les éléments .
Exemple : Une société envisage un investissement de 119 000 F pour l’achat de matériel. Ce matériel
sera utilisé pendant 7 ans et permettra d’obtenir chaque année une CAF de 30 340 F. La valeur résiduelle
net du bien à la fin de la 7ème année est de 10 000 F.
1° - Analysez la rentabilité du projet au taux de 15 %.
2° - Vérifiez que le taux de rentabilité interne est voisin de 18%.

Emprunts et tableaux d’amortissement
I – Approche : ( annuité constante )
On a vu précédemment que le calcul de la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes
( remboursement d’une dette ) était donnée par la relation :
V0 = a
t
tn−
+
−
)1(1 alors : a = n
t
tV
−
+−
×
)1(10
II – Applications :
ð On emprunte 250 000 F sur 20 ans au TEG de 11,52%, les remboursements sont mensuels. Calculez le
montant d’une mensualité
ðUn prêt est accordé au taux annuel de 6,32% ( TEG ) ; les remboursements sont trimestriels, la somme
empruntée est de 120 000 F ; la durée du prêt est de 15 ans. Calculez le montant d’une trimestrialité.
III – Tableau d’amortissement :
1° - Règles financières :
Un emprunt individis est un emprunt proposé par un seul organisme prêteur : banques, organismes
de crédit ) . Un tableau d’amortissement d’emprunt se présente de la façon suivante :
Echéance Capital restant dû
( D ) Amortissement ( M ) Intérêt ( I ) Annuité ( a ) ( elle est constante )
1 D1= M1= I1=
2 D2= M2= I2=
3 D3= M3= I3=
- pour chaque ligne du tableau :
ðamortissement + intérêt = annuité M + I = a
ð l’intérêt se calcule par rapport au capital restant dû : I = D
×
t
taux périodique
ð le capital restant dû se calcule à partir de la ligne précédente. ( Pour la dernière
annuité, le capital restant dû est égal au montant de l’amortissement.
Dn = Mn
L’intérêt versé est : In = Dn
×
t ou …………………..
Et l’annuité a = ………………………….
Soit : a = ………………………….

2° - Exemple :
On emprunte 60 000 F ( TEG : 8% ) . Les remboursements sont annuels et constants pendant 4 ans.
ð Calculez le montant de l’annuité :
ð Calculez l’intérêt I1 :
ð Calculez l’amortissement M1 :
ð Construisez le tableau d’amortissement :
Echéance Capital restant dû
( D ) Amortissement ( M ) Intérêt ( I ) Annuité ( a ) ( elle est constante )
1 D1= M1= I1=
2 D2= M2= I2=
3 D3= M3= I3=
4 D4= M4= I4=
3° - Exercices :
1 – On emprunte 400 000 F ( TEG : 6,5% ), les remboursements sont mensuels.
a – le dernier amortissement est 2 966,23 F. Calculez le montant d’une mensualité.
b – Calculez le premier amortissement.
c – Calculez la durée de l’emprunt.
d – Calculez le capital restant dû après le versement de la 200ème annuité.
e – Calculez le nombre de mensualités nécessaires pour amortir au moins ¾ du capital emprunté.
2 – On emprunte 400 000 F au TEG de 12 %. Les remboursements sont mensuels.
a – le dernier amortissement est 4 360,752 F. Calculez le montant d’une mensualité.
b – Calculez le premier amortissement.
c – Calculez la durée de l’emprunt.