phy-mat-examen-02 (1)

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UNIVERSITE IBN ZOHR 2014-2015
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
AGADIR
ÉPREUVE DE PHYSIQUE DES MATERIAUX
–SMP5–Durée : 1 heure 30minutes
I- La structure diamant est composée d'atomes identiques placés aux nœuds de deux réseaux cubiques à
faces centrées (CFC) décalés de (a/4; a/4; a/4), a est le paramètre de la maille cubique.
La structure zinc-blende (ZnS) est comme le diamant, sauf que les atomes des deux réseaux CFC
décales de (a/4; a/4; a/4) ne sont pas les mêmes.
1- Construire sur une figure cubique de la structure diamant les vecteurs de bases de la maille primitive
',',' cba 
(tels que
''' cba 
) et donner leurs expressions dans la base
),,( kji 
de la maille
cubique.
Re :
L’expression des vecteurs de bases de la maille primitive
',',' cba 
:
)(
2
';)(
2
';)(
2
'ik
a
ckj
a
bji
a
a
2- Pour chacune des structures cristallines proposées ci-dessus, donner : le réseau de Bravais et le volume
de la maille primitive en fonction de a.
Re : Le réseau de Bravais est le réseau cubique à faces centrées (CFC) pour les
deux structures "diamant" et "zincblende". Le volume de la maille primitive : a3/4.
3- Calculer le facteur de structure et trouver les règles d’extinction pour la structure diamant et la
structure zinc-blende (On choisira la maille conventionnelle cubique pour calculer le facteur de structure).
Comparer avec les règles d’extinction pour le réseau de Bravais de la structure diamant.

2
Re : le facteur de structure et les règles d’extinction pour la structure diamant :
 )
2
(
1
)()()(
1
lkh
i
e
hli
e
lki
e
khi
ef
hkl
F
0
hkl
F
Lorsque h, k et l ne sont pas de même parité (extinctions dues au réseau)
ou
24  nlkh
(extinctions dues au motif).
- Le facteur de structure et les règles d’extinction pour la structure
zincblende :
 )
2
(
)()()(
1
lkh
i
eff
hli
e
lki
e
khi
e
hkl
FSZn
0
hkl
F
Lorsque h, k et l ne sont pas de même parité (extinctions dues au
réseau).le motif n’introduit pas d’extinction supplémentaires.
Le réseau de bravais de la structure cubique diamant est cfc donc
0
hkl
F
Lorsque
h, k et l ne sont pas de même parité, identique aux extinctions de la structure
zincblende.
II- On considère une chaîne de longueur L formée de N atomes identiques de masse m, séparés d’une
distance a (avec L>>a). Les vibrations longitudinal des atomes de cette chaîne seront supposées pouvoir
être décrites dans le cadre de l’approximation harmonique et en ne tenant compte que des interactions
entre premiers voisins, avec une constante de rappel unique
1. a- Écrire l’équation du mouvement d’un atome au voisinage de sa position d’équilibre et en
déduire la loi de dispersion (k). On supposera que le déplacement un du nième atome s’écrit sous la
forme :
)( tnaki
nAeu
Re : -L’équation du mouvement :
)2(
..
11 nnn
nuuuum  
On cherche des solutions de la forme
)( tknai
nAeu
)2(
2AAeAeAm ikaika  
.
-La loi de dispersion :
2
sin
422 ka
m
2
sin
4ka
m

3
b- Tracer les courbes de dispersion (k), on précisera les valeurs de (k) au centre et aux bords de
la 1ère zone de Brillouin .Pourquoi peut-on se contenter de tracer ces courbes de dispersion à l’intérieur de
la 1ère zone de Brillouin pour avoir toutes les valeurs possibles de (k) ?
Re :
)
2
()( a nkk
De façon générale on peut toujours se ramener à la 1ere
zone de Brillouin en translatant le vecteur d'onde k d'un vecteur du réseau
réciproque, sans modifier la pulsation.
- Pour k << /a : Lorsque k est faible par rapport /a est linéaire en k :
ka
m
. C'est le même comportement que pour une onde élastique se
propageant dans un milieu continu (continuum). La vitesse de phase et la vitesse de
groupe sont égales à vs.
a
m
vkv ss
 avec
.
- Pour k =
/a on a :
m
α
ω2
.
Courbe de dispersion pour une chaine linéaire en tenant compte uniquement d'interactions entre les
plus proches voisins. La ligne en trait interrompus correspondrait à un milieu continu
kvs
.
c- En utilisant les conditions aux limites cycliques de Born et Von Karman, montrer que les
vecteurs d’ondes k ne peuvent prendre que des valeurs discrètes qu’on précisera.
Re : les conditions aux limites cycliques de Born et Von Karman :
Nnn uu 
Zpavec
L
pkeikNa 
2
1
, le nombre de valeurs possibles de k est N
(N modes propres).

4
2- On se place dans le cadre de l’approximation de Debye.
a- Définir de manière précise l’approximation de Debye en général.
Re : Dans le cadre de l’approximation de Debye :
-On remplace la branche du spectre de vibration par une droite correspondant à un
milieu continu
kvs
.
-On remplace la 1ere zone de Brillouin par une zone de rayon kD, choisi de telle sorte
qu’elle contient le même nombre N de vecteurs d'onde possibles que la 1ere zone de
Brillouin.
b- Exprimer la densité de modes, g( ), et vérifier que, dans ce cas de problème unidimensionnel,
cette densité de modes est, en fait, indépendante de .
Re : densité de modes :
;
L
π
dk
g(k)dk 2
dg(ωg(k)dk )2 
Le chiffre 2 dans cette expression est pour tenir compte de k et
-k qui ont le même .
kv
v
Na
v
L
d
dk
kgg s
ss
;)(2)(
(On peut prendre directement g(k)=L/ avec k > 0 dans ce cas
dg(ωg(k)dk )
).
3- En déduire les expressions de (i) le vecteur d’onde de Debye, kD, (ii) la pulsation de Debye
D, et (iii)
la température de Debye,
D.
Re : (i) le vecteur d’onde de Debye :
a
kD
(ii) la pulsation de Debye :
a
vkv sDsD
,
(iii) la température de Debye :
akv
k
kB
s
B
D
DDBD
 ;
.
4- Écrire l’expression de l’énergie interne, U, du gaz de phonons.
Re :
1exp
1
avec)
2
1
()(
0
Tk
ndngU
B
D
n
représente le nombre d'occupation moyen des phonons dans le mode normal k,
pour un système en équilibre à la température T. On l’appelle la fonction de
distribution de Bose-Einstein.

5
5- Exprimer la chaleur spécifique, Cv, de cette chaîne d’atomes (on posera ħ la constante réduite de
Planck, kB est la constante de Boltzmann et T désigne la température). On exprimera Cv en particulier
dans les deux cas: basse température (T
0) et haute température.
On donne :.
0
2
6
1
x
e
xdx
Re : A haute température et dans l’approximation de Debye
 T
TkTk BB losque1exp
L’énergie interne U est donnée par :
000
01exp
1UTkNUTk
v
Na
Ud
Tk
v
Na
UBDB
s
D
B
s
B
V
VNk
dT
dU
C
. Cv ne dépend pas de la température, Même résultat que celui
obtenu par la loi de Dulong et Petit.
Aux basses températures (T
0) et dans l’approximation de Debye On pose
 xT
Tk
xB0lorsque
0
2
2
0
2
0
2
2
0
0
2
6
)(
6
)(
6
)(
1
)( U
Tk
N
U
Tk
v
Na
U
Tk
v
Na
U
e
xdx
Tk
v
Na
UB
D
B
s
B
s
x
B
s
D
BB
D
B
s
V
VT
NkTk
N
T
k
v
Na
dT
dU
C
)
3
(
36
222
2
2
III- On considère un échantillon d’un matériau métallique de volume V, ayant une structure cubique
simple, ce matériau est monovalent (un électron de valence par atome).
1 a- Donner les expressions, en fonction du paramètre de maille a, des quantités suivantes : ne (le
nombre d’électrons par unité de volume),
Re : le nombre d’électrons par unité de volume : 1 e par maille cubique
3
1
a
V
N
ne
N : nombre total d’électrons dans le solide. V : volume du matériau.
b- kF (le nombre d’onde de Fermi), EF (l’énergie de Fermi), vF (la vitesse de Fermi) et TF (la
température de Fermi).