Développement limité

COURS
Analyse I
Première année
TEK-UP 2023

CONTENTS
1 Développement limité 1
1.1 Développement limité d’une fonction au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Somme, produit et quotient : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Dérivation et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4 Développement limité des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Applications des développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Etude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
CONTENTS iii

iv

1 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ
Un développement limité d’une fonction en un point est une approximation polynomiale de
cette fonction au voisinage de ce point. En d’autres termes, c’est l’écriture de cette fonction sous
la forme de la somme d’un polynôme et d’un terme reste. À l’issue de ce chapitre, on va former
le développement limité d’une fonction au voisinage d’un point donné à un ordre quelconque.
De plus, on va Appliquer des développements limités dans : calcul de limites, position relative
d’une courbe par rapport à sa tangente en un point, et position d’une courbe par rapport une
asymptote à l’aide de la notion de dévelopement asymptotique.
1.1 Développement limité d’une fonction au voisinage
d’un point
Définition 1.1. Soient I un intervalle ouvert, x0un point de I, et f :I→Rune fonction. On
dit que f admet un développement limité au voisinage du point x0à l’ordre n ∈N, noté en abrégé
DL(x0), s’il existe Pn(x)de degré inférieur ou égal à n:
Pn(x) = a0+a1(x−x0) + a2(x−x0)2+... +an(x−x0)n
tel que
f(x) = a0+a1(x−x0) + a2(x−x0)2+.. . +an(x−x0)n+ (x−x0)nϵ(x)
Avec ϵ(x)→0lorsque x →x0.
Pn(x)est appelé partie entière ou régulière du DL de f (x).
(x−x0)nϵ(x)est appelé reste du DL de f .
Exemple 1.1. Soit n ∈N. Pour tout x ∈R\{1}, on a:
1
1−x=1+x+x2+.. . +xn+xn+1 1−x
De plus, lim
x→0
xn+1
1−x=0, ce qui implique que la fonction 1 1−xadmet un DLn(0)dont:
DÉVELOPPEMENT LIMITÉ 1