Cours Chapitre V MMC

L.M ANAGUE TABEJIEU, PhD MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Page 1 of 7
Chapitre V : Thermodynamique des milieux continus
Au regard de toutes les notions abordées précédemment, il est possible de déterminer la loi de comportement
(relation contrainte-déformation) traduisant l’élasticité linéaire sans faire appel aux notions de thermodynamique.
Toutefois, afin de rester encore un peu général et d’avoir les bagages mathématiques qui par la suite permettront
d’établir d’autres lois de comportement (comme la plasticité), nous allons maintenant regarder les deux principes
de la thermodynamique. De plus il ne faut pas oublier que de nombreux problèmes technologiques impliquent un
couplage entre les effets mécaniques et les phénomènes thermiques.
V-1- Bilan d’énergie : Premier Principe de la thermodynamique
V-1-1- Enoncé
Pour un domaine D inclus dans un système
, la dérivée particulaire de l’énergie associée à D est égale, à
chaque instant, à la somme de la puissance des efforts extérieurs s’exerçant sur D et du taux de chaleur
reçue ou échangée par D.
Cet énoncé nécessite l’introduction de plusieurs définitions :
L’énergie associée à D est la somme de son énergie cinétique K et d’une énergie, dite interne, notée E. On
postule que E est définie, à chaque instant, à l’aide d’une densité e, appelée énergie interne massique (ou
spécifique).
Si on note Q le taux de chaleur reçue ou échangée, le premier principe de la thermodynamique peut s’écrire :
( )
e
DE K P Q
Dt + = +
(5.1)
NB : Nous ne tenons en compte que des actions mécaniques ou thermiques, à l’exclusion par exemple des actions
électromagnétiques ou chimiques.
En description eulérienne, rappelons les expressions de l’énergie cinétique associé à D à l’instant t et de la
puissance des efforts extérieurs s’exerçant sur D au même instant :
2
1et . .
2
t t t
e
D S D
K V dv P T V dA f V dv = = +
(5.2)
L’équation (5.1) présente également deux nouveaux termes. L’énergie interne E, qui est une grandeur extensive
(additive), définit en fonction de sa densité massique e par :
t
D
E edv =
(5.3)
En se basant sur l’expérience, on postule que l’expression de Q a la même forme que celle de
e
P
c’est-à-dire
qu’elle comporte un terme dû à des actions de contact à travers la frontière S de D (diffusion de la chaleur ou
conduction) et un terme dû à des actions à distance. Pour un domaine D strictement inclus dans
, Q s’écrit :
.
tt
SD
Q q ndA rdv= − +
(5.4)

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Le vecteur
q
est le vecteur densité (surfacique) de flux de chaleur ou vecteur courant de chaleur eulérien ; il
modélise les échanges de chaleur qui s’effectuent par diffusion moléculaire au voisinage de la frontière S de D
(conduction), Le terme r représente la densité volumique eulérienne de taux de chaleur reçue par D de la part des
systèmes extérieurs à S (rayonnement par exemple).
V-1-2- Forme intégrale du premier principe
Par application du premier principe (5.1), on a :
2
1. . .
2
t t t t t
D S S D D
De V dv T V dA q ndA f V dv rdv
Dt
+ = − + +
(5.5)
Ou encore :
22
11
. . . .
22
t t t t t
D S S D D
e V V grad e V dv T V dA q ndA f V dv r dv
t
+ + + = − + +
(5.6)
V-1-3- Energie potentielle
En général ni
e
P
, ni Q ne peuvent se mettre sous la forme de la dérivée particulaire d’une quantité associée à D.
Il existe toutefois des cas où une telle faveur est accordée à la puissance des efforts à distance ; c’est-à-dire qu’il
existe alors une fonction
p
E
appelée énergie potentielle associée à D, telle que
.
t
p
D
DE
f V dv Dt
=−
(5.7)
Il suffit pour cela que la densité massique des efforts à distance
f
dérive d’un potentiel indépendant du temps
c’est-à-dire qu’il existe une fonction
U
telle que :
f gradU=−
. Il vient alors en effet :
..
t t t t
p
D D D D
DE
DU D
f V dv gradU V dv dv U dv
Dt Dt Dt
= − = − = − = −
(5.8)
Ainsi donc :
t
pD
E U dv
=
(5.9)
Si nous faisons l’hypothèse que l’évolution de D est adiabatique (Q = 0) et que la puissance des efforts de contact
sur S est négligeable, on obtient, à partir de la relation (5.1) :
( )
0
p
DE K E
Dt + + =
(5.10)
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Dans l’évolution adiabatique d’un domaine matériel D, l’énergie totale se conserve si on néglige la
puissance des efforts de contact exercés sur la frontière S de D.
V-1-4- Forme locale du premier principe
Par application du théorème de la divergence à l’équation (5.5), la forme locale du premier principe s’écrit :

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( )
2
1.
2
De V div V q f V r
Dt
+ = − + +
(5.11)
Lorsqu’il existe une énergie potentielle, la forme locale du bilan d’énergie totale est donnée par :
( )
2
1.
2
De V U div V q f V r
Dt
+ + = − + +
(5.12)
V-2- Bilan d’énergie interne
V-2- 1- Formes intégrales en description Eulérienne
Rappelons l’expression du bilan d’énergie pour un domaine D et celui du théorème de l’énergie cinétique.
( )
et
e e i
D DK
E K P Q P P
Dt Dt
+ = + = +
(5.13)
De ces relations, on peut tirer l’expression de l’énergie interne E comme suit :
i
DE PQ
Dt =− +
(5.14)
On remarque les rôles opposés que joue la puissance des efforts intérieurs dans les variations de l’énergie
cinétique et de l’énergie interne. Une puissance des efforts intérieurs positive contribue à augmenter l’énergie
cinétique et à diminuer l’énergie interne. La relation (5.14) peut s’écrire :
:.
t t t t
D D S D
Dedv Ddv q ndA r dv
Dt
= − +
(5.15)
V-2- 2- Formes locales en description Eulérienne
Par application du théorème de la divergence, la forme locale de la relation (5.15) s’écrit :
:
De D divq r
Dt
= − +
(5.16)
Ou encore
.:
ev grad e D divq r
t
+ = − +
(5.17)
Attardons-nous quelques instants sur la relation (5.17) :
Instantionarié Convection Efforts internes Conduction Apport de chaleur à distance (rayonnement)
.:
ev grad e D divq r
t
+ = − +
(5.18)
On y voit apparaître différents effets physiques et notamment les trois modes classiques de propagation de la
chaleur : convection, conduction et rayonnement.
V-2- 2- Déduction des Formes intégrales et locales en description Lagrangienne
Afin d’obtenir l’expression du bilan d’énergie interne en description lagrangienne, il suffit de revoir les chapitres
précédents. On obtient donc :

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- Pour la forme intégrale :
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
:.
D D S D
De DE
dv S dv q n dA r dv
Dt Dt
= − +
(5.19)
- Pour la forme locale :
0 0 0
:
De DE
S Divq r
Dt Dt
= − +
(5.20)
Où
0
q
appelé vecteur courant de chaleur lagrangien est donné par :
0
q JGq=
. On a aussi :
0
0
r r rJ
==
V-3- Energie de déformation
Nous avons vu comment exprimer la puissance des actions à distance comme la dérivée particulaire de l’opposée
de l’énergie potentielle (5.7), pourrait-on appliquer le même traitement à la puissance des efforts internes ? En
effet, il existe dans un domaine D et à chaque instant une fonction
d
E
telle que l’on ait :
d
iDE
PDt
=−
(5.21)
Avec, rappelons-le :
:
t
iD
P Ddv
=−
.
De même que pour l’énergie interne, on définit une énergie de déformation massique
d
e
telle que :
0
00
t
d d d
DD
E e dv e dv
==
(5.22)
V-4- Bilan d’entropie : Second Principe de la thermodynamique
V-4-1- Enoncé
Nous considérons à nouveau des systèmes matériels qui ne sont soumis qu’à des actions mécaniques et
thermiques.
Second principe de la thermodynamique.
Pour tout domaine matériel D inclus dans un système matériel E, la dérivée particulaire de l’entropie
associée à D est, à chaque instant, supérieure ou égale à son taux d’apport extérieur.
Notons S l’entropie et
e
le taux d’apport extérieur d’entropie associés à D à l’instant t. Le second principe s’écrit
alors :
e
DS
Dt 
(5.23)
On suppose tout d’abord que l’entropie S peut être définie à chaque instant, par une densité massique s appelée
entropie massique :
t
D
S sdv =
. Quant au taux d’apport extérieur d’entropie
e
, on l’écrit pour un domaine D
strictement inclus dans
:

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.
tt
eSD
q n r
dA dv
TT
 = − +
(5.24)
Le symbole T représente la deuxième grandeur, après l’entropie, dont le second principe postule l’existence. C’est
une fonction positive, appelée température absolue, définie à chaque instant en tout point de
t
D
.
Le second principe de la thermodynamique s’écrit donc, si D est strictement inclus dans
:
.
t t t
D S D
D q n r
sdv dA dv
Dt T T
 − +
(5.25)
Cette inégalité est souvent appelée inégalité fondamentale.
Lorsque le taux de variation d’entropie
DS
Dt
est strictement supérieur au taux d’apport extérieur
e
, on peut dire
qu’il y a production interne d’entropie. Il est donc naturel de définir le taux de production interne d’entropie
par :
e
DS
Dt
 = − 
Le second principe affirme alors que, dans toute évolution de toute partie D d’un système matériel
, le taux de
production interne d’entropie est positif ou nul. On peut alors écrire :
( )
.0
t t t
eD S D
DS D q n r
sdv dA dv
Dt Dt T T
=  +   = − + +   
(5.26)
La dimension de Γ est
2 3 1
L MT
−−
, l’unité SI correspondante est le watt par kelvin
( )
1
WK−
.
Pour un domaine matériel en évolution adiabatique, le taux d’apport extérieur d’entropie
e
est nul. Le second
principe affirme que, malgré cet isolement thermique, on a
0
DS
Dt 
donc que l’entropie d’un tel domaine ne peut
spontanément décroître.
V-4-2- Formes locales du second principe
Par application du théorème de la divergence, la forme locale de la relation (5.25) s’écrit :
Ds q r
div
Dt T T
 − +
(5.27)
Sachant que :
2
1 1 1 1
..
q
div divq q grad divq q gradT
T T T T T
= − = −
(5.27) peut se récrire sous la forme :
1.
Ds
T r divq q gradT
Dt T
 − +
(5.28)
Le terme
r divq−
est la densité volumique (eulérienne) du taux de chaleur reçue par D. Ce terme intervient dans
la forme locale du bilan d’énergie interne. Ainsi donc la relation (5.28) peut se réécrire une fois de plus sous la
forme :
1
: . 0
De Ds
D T q gradT
Dt Dt T
− − − 
(5.29)