Cours Stat & Proba rectifié

Universit´e Sultan Moulay Slimane
Facult´e des Sciences et Techniques
B´eni-Mellal
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Statistiques et Probabilit´es
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Fili`ere : GE-GM
Par : Farah BALAADICH
F´evrier, 2022-2023

Table des mati`eres
1 Statistique `a une variable 3
1.1 Notions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Individu, population et ´echantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Variable statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Typedevariables ........................................ 4
1.2 Repr´esentation des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Caract`eres de position et de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Caract`eres de position(ou tendance centrale ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Caract`eres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Repr´esentations graphiques des donn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.1 Repr´esentation graphique d’une variable continue : Histogramme et polygone de fr´equence 16
1.4.2 Repr´esentation graphique d’une variable qualitative ou quantitative discr`ete . . . . . . . 20
1.5 Diagramme en boˆıte (Box PLot). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Statistique `a deux variables 24
2.1 S´erie statistique bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Deux variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 Repr´esentation graphique de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Analyse des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 Covariance ............................................ 25
2.2.4 Corr´elation ............................................ 26
2.2.5 Droite de r´egression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Deux variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Donn´ees observ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.2 Tableau de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Tableau des fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.4 Le coefficient de corr´elation de rang de SPEARMAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.5 Effectifs th´eoriques et khi-carr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Analyse combinatoire et notion de probabilit´es 31
3.1 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Ensembles finis et notation factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.2 Arrangement avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.3 Arrangement sans r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.4 Permutation sans r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.5 Permutation avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.6 Combinaison sans r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.7 Combinaison avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Probabilit´es................................................ 34
3.2.1 Vocabulaire ........................................... 34
3.2.2 D´efinition d’une probabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Probabilit´e conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.1 FormuledeBayes......................................... 37
3.3.2 Formule des probabilit´es compos´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.3 Ev´enements ind´ependants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1

4 Variables al´eatoires et Loi de probabilit´e 41
4.0.1 D´efinitions ............................................ 41
4.0.2 D´efinition d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.0.3 Diff´erents types de variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.0.4 Loi et caract´eristiques variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1 Propri´et´es de l’esp´erance math´ematique et de la variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.1 Propri´et´es de l’esp´erance math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.1 Propri´et´es de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2.2 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3 Distribution d’une fonction d’une variable al´eatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Loisdiscr`etes............................................... 46
4.3.1 Loi uniforme discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 LoideBernoulli ......................................... 47
4.3.3 Loibinomiale........................................... 48
4.3.4 LoidePoisson .......................................... 48
4.4 Loiscontinues .............................................. 49
4.4.1 Loi continue uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.2 Loiexponentielle......................................... 49
4.4.3 Loinormale............................................ 50
4.4.4 Loi normale centr´ee r´eduite N(0,1) .............................. 51
4.4.5 LoideCauchy .......................................... 52
4.5 Fonction g´en´eratrice des moments et fonction caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5.1 Fonction g´en´eratrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5.2 Fonction caract´eristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2

Chapitre 1
Statistique `a une variable
La statistique est une m´ethode scientifique dont l’objet est de recueillir, d’organiser, de r´esumer et d’analyser
les donn´ees d’une enquˆete, d’une ´etude ou d’une exp´erience, aussi bien que de tirer les conclusions logiques et de
prendre les d´ecisions qui s’imposent `a partir des analyses effectu´ees.
1.1 Notions fondamentales
On pr´ecise ici un certain nombre de termes statistiques tr`es courants qui seront r´eguli`erement utilis´es par la
suite et qu’il convient de bien connaˆıtre.
1.1.1 Individu, population et ´echantillon
Individu
l’unit´e statistique faisant l’objet d’une observation (exemples : les banques, les pays . . .) ; cette unit´e statistique
est l’entit´e abstraite qui repr´esente un consommateur, un logement ou un produit.
Population
l’ensemble des individus ou des unit´es statistiques qui font l’objet d’une ´etude (exemples : ensemble des
habitants d’un pays, l’ensemble des navires d’une flotte navale) ; dans la plupart des ´etudes l’observation de tout
les individus de la population pourrait ˆetre difficile et trop couteuse, dans ce cas on peut s´electionner un sous
ensemble repr´esentatif de cette population appel´e : ´echantillon
´
Echantillon :
un sous-ensemble tir´e de la population m`ere dont les individus sont
concern´es par une ´etude. Le choix de l’´echantillon se fait en respectant certaines r`egles
qui permettent d’assurer la repr´esentativit´e de l’´echantillon par rapport `a la population m`ere.
Taille :on appelle taille d’un ´echantillon le nombre d’individus dans cet ´echantillon. On le note par n.
3

1.1.2 Variable statistique
Une variable statistique :(ou caract`ere) c’est une caract´eristique (ˆage, salaire, sexe. . .), d´efinie sur la popu-
lation et observ´ee sur l’´echantillon.
Les modalit´es : Les modalit´es d’une variable statistique sont les diff´erentes valeurs que peut prendre celle-ci.
Exemple 1.1
- Variable est ” situation familiale ”
Modalit´es sont ” c´elibataire, mari´e, divorc´e ”
- Variable est ” cat´egories socio-professionnelles ”
Modalit´es sont ” Employ´es, ouvriers, retrait´es,... ”
– Variable est” statut d’interrupteur ” Modalit´es sont ” 0et 1”.
Les donn´ees(statistiques) : le terme de donn´ees est tr`es utilis´e en statistique. Il d´esigne l’ensemble
des individus observ´es (ceux de l’´echantillon), l’ensemble des variables consid´er´ees et les observations de ces
variables sur ces individus. On va r´eserver les derni`eres lettres de l’alphabet pour noter les variables :X, Y, Z, U...
S´erie statistique : On appelle s´erie statistique la suite des valeurs prises par une variable Xsur les unit´es
d’observation.
Le nombre d’unit´es d’observation est not´e n.
Les valeurs de la variable Xsont not´ees
x1, x2, ..., xi, ..., xn.
1.1.3 Type de variables
A]-Variable quantitative :
Une variable est de type quantitatif si elle peut ˆetre mesur´ee ou quantifi´ee, comme le poids, la hauteur, le
revenu, le nombre d’enfants, le nombre de pannes.
Les variables quantitatives sont constitu´ees de deux sous-classes :
⋄Variables quantitatives discr`etes : les modalit´es d’un caract`ere quantitatif discret son mesurables et peuvent
ˆetres ordonn´ees. Les modalit´es sont finies et d´enombrables et elles sont en g´en´eral des entiers naturels.
Exemple : le nombre des pi`eces d’un logement.
⋄Variables quantitatives continues : l’ensemble des modalit´es est un intervalle.
Exemple : la dur´ee de vie d’un instrument ´electronique, la taille d’un individu, le poids.
B]-Variable qualitative :
Une variable est dite qualitative si elle ne peut ˆetre mesur´ee ou quantifi´ee, mais peut ˆetre class´ee en cat´egories
comme le sexe, la race, l’esp`ece, le niveau scolaire,...
Les variables qualitatives sont elles aussi subdivis´ees en deux sous-classes :
—Variable qualitative Ordinale : si ses modalit´es peuvent ˆetre ordonn´ees ( Appr´eciation : Mauvais,
Passable, Bien).
—Variable qualitative Nominale : si ses modalit´es ne peuvent ˆetre naturellement ordonn´ees( couleurs
des yeux : marrons, bleus, verts).
Exemple 1.2
1)Un questionnaire de satisfaction demande aux consomateurs d’´evaluer une prestation en cochant l’une des six
cat´egories suivantes :
a) nulle, b) m´ediocre, c)moyenne, d) assez bonne, e) tr`es bonne, f) excellente.
Il s’agit de modalit´es ordinales puisqu’elle peuvent ˆetre hi´erarchis´ees.
2) On demande `a un ´echantillon de personnes ce qu’´evoque pour elles un parfum.Plus pr´ecis´ement, elles doivent
cocher une des cases suivantes :
a) aventure, b) sensualit´e, c) confort, d) nostalgie.
Il s’agit de modalit´es nominales.
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