Analyse-demande

1
1.2 Maximisation de l’utilité et fonctions de demande
Pb : Max
!
"
#
$
%%%&'%%%%(#)*
#+
L’objectif du Cteur est de s’éloigner le plus loin possible
c
#,
Ø Le Lagrangien
Supposer que le Cteur a une fonction d’utilité
!
"
#
$
)!
"
#,-.-#/
$ et une contrainte budgétaire
(#)*
ou
()"(,-.-(/$
Pb : Max
!
"
#
$
%%%&'%%%%(#)*
Mathématiquement, on peut trouver une solution à ce problème. Soit 0 le lagrangien
0)!
"
#
$
12%"*3(#$
Conditions de Premier Ordre (CPO) : Dérivation et interprétation
40
45)6
40
47)6
40
458)!,32(,)6
40
459)!+32(+)6
avec
!:)4;
4<=
40
45>)!?32(?)6
40
45@)!/32(/)6

2
40
47)*3(#)6
Des CPO :
!?32(?)6
Þ
2);>
<>
A)BC
DC)BECFCEGH%IJ KLMH%IJ )BECFCEG KLM )
L’utilité marginale rapportée par un CFA
Si on considère un espace à deux biens
#?
et
#:
!?32(?)6
Þ
;>
;=)<> <=
(Taux de substitution économique)
N:32(:)6
A l’optimum le rapport de prix est égal au rapport des utilités marginales.
Conditions de Second Ordre (CS)O : Différentier totalement les CPO par rapport à
#,
…
#/
et
2
4;8
458O#,14;8 459O#+1P14;8 45@O#/3(,47 47O2)6
4;@
458O#,14;@ 45@O#/1P14;@ 45@O#/3(/47 47O2)6
3(,458
458O#,3(+459 459O#+3P34<@ 45@O#/)6
En posant
!?:)4;>
45=)49; 45>45=
!,,O#,1!,+O#+1P1!,/O#/3(,O2)6
!/,O#,1!/+O#+1P1!//O#/3(/O2)6
3(,O#,1(+O#+3P3(/O#/36)6
Sous forme matricielle on a :

3
Q
R
R
R
S
!,, !,+ !,/ 3(,
T
!/, !/+ !// 3(/
3(,3(+3(/6
U
V
V
V
W
Q
R
R
R
S
O#,
O#/
O2
U
V
V
V
W
)
Q
R
R
R
S
6
6
6
U
V
V
V
W
X
Y Hessiene bordé
La condition d’existence d’un maximum (si les CPO sont satisfaites) est que
X
Y soit définie
négative.
Ceci est vrai si les mineurs principaux de
X
Y alternent en signe, le premier étant positif. On
appelle mineur principal de
X
Y d’ordre n, un déterminant de
X
Y préservant la bordure.
e.g Z
X
Y
+
Z
)
[
!,, !,+ 3(,
!+, !++ 3(+
3(,3(+6
\ ]
!,, !,+ !,^ 3(,
!+, !++ !+^ 3(+
!^, !^+ !^^ 3(^
3(,3(+3(^6
_
ordre 2 ordre 3
Note : signe de `Z
X
Za
)"3b$/
Ø Fonctions de demande
Si les CPO et les CSO sont satisfaites, il existe un n-uplet
#,c..#/
c%
tel que
#,c)d,"(,e.e(/e*$
#,c)d,"(e*$
#/
c)d/"(,e.e(/e*$
#/
c)d/"(e*$
d,e.ed/
sont les fonctions de demande marshallienne ( ou demande classique ou ordinaire).
Il existe aussi
2c
tel que
2c)2"(,e.e(/e*$
Interprétation de
2c
2
est l’utilité marginale du revenu à l’optimum
2)4;c
4f
ou
!c)%!"#c
"
(e*
$
$

4
Preuve : considérer deux biens
!c)%!g"#,
"
(,e(+e*
$
e#+
"
(,e(+e*
$
h
4;c
4f )4; 458458 4f 14; 459459 4f
!,458
4f 1!+459 4f
(1)
Considérer la contrainte budgétaire
Diji1Dkjk)l
A l’optimum on a:
(,#,"(e*$1(+#+"(e*$)*
Différentier totalement y on a:
(,458
4fO*1(+459 4fO*)O*
(,458
4f1(+459 4f )b
(2)
CPO
40
H45>)!?32(?%
Þ
!?)2(?
En remplaçant
!?
par sa valeur sans (1)
2(,458
4f12(+459 4f )4;c 4f
"(,m#,
m*1(+m#+ m*$%n)m!c m*

5
2"
1) Þ
%n)4;c
4f
1.3 Propriétés des fonctions de demande marshalliennes
Deux propriétés
- Homogénéité de degré 0 dans les prix et le revenu
- Agrégation d’Engel (exhaustivité)
• Homogénéité de degré 0 dans les prix et le revenu
Soit
o
"
p
$
)o"p,e.ep/$
o
"
p
$ est homogène de degré k si
o
"
qp,e.eqp/
$
)qro
"
p
$
eqs6
Proposition : les fonctions de demande marshallienne sont homogènes de degré 0 en p et y
i.e
d
"
q(,e.eq(/eq*
$
)d
"
(,e.e(/e*
$
Pb : Max
!
sc
(#)*
Pb : Max
!
sc
q(#)q*
Si
qt6
, on se ramène à la contrainte initiale
Implication empirique de l’homogénéité
Si
o
"
p
$ est homogène de degré k.
Le théorème d’EULER Þ
4u
4p8p,1P14u 4p@p)vo"p$
Appliquons Euler à
d?
4w>
4<8(,1P14w> 4<@(/14w> 4f*)6%%%%%%%%%%%%"v)6$
x
4w>
4<=(:)34w> 4f*
Posons
d?)#?