Vecteurs et repérage

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VECTEURS ET REPÉRAGE
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gak
Partie 1 : Repère du plan
Trois points du plan non alignés O, I et J forment un repère, que
l’on peut noter (O, I, J).
L’origine O et les unités OI et OJ permettent de graduer les axes
(OI) et (OJ).
Si on pose
!
" =
#$
%
%
%
%
"
et
&
" =
#'
%
%
%
%
"
, alors ce repère se note également (O,
!
" ,
&
").
Définitions :
- On appelle repère du plan tout triplet (O,
!
",
&
") où O est un point et
!
" et
&
" sont deux vecteurs non
colinéaires.
- Un repère est dit orthogonal si
!
" et
&
" ont des directions perpendiculaires.
- Un repère est dit orthonormé s’il est orthogonal et si
!
" et
&
" sont de norme 1.
TP info : Lectures de coordonnées :
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Lecture_coord.pdf
Partie 2 : Coordonnées d’un vecteur
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
Pour aller de A vers B, on parcourt un chemin :
3 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.
Ainsi
()
%
%
%
%
%
"
*+!
"
,-&
".
Les coordonnées de
()
%
%
%
%
%
"
se notent .
+
-
/ ou
0+12-3
. On préfèrera la première notation.
&"
O
!"
Repère
orthogonal
&"
O
!"
Repère
orthonormé
&"
O
!"
Repère
quelconque
!"
&"
I
J
O

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Méthode : Déterminer les coordonnées d’un vecteur par lecture graphique
Vidéo https://youtu.be/8PyiMHtp1fE
a) Dans le repère (O,
!
",
&
"), placer les points
4
.
56
5-
/
78
.
5-
+
/
79
.
6
5:
/
7;
.
:
5-
/
<
b) Déterminer les coordonnées des vecteurs
48
%
%
%
%
%
"
1
et
9;
%
%
%
%
%
"
par lecture graphique.
Correction
On a :
48
%
%
%
%
%
"
*5!
"
,=&
" donc
48
%
%
%
%
%
"
a pour coordonnées .
56
=
/
<
9;
%
%
%
%
%
"
*+!
"
,-&
" donc
9;
%
%
%
%
%
"
a pour coordonnées .
+
-
/.
Propriété :
Soit deux points
(
.
>!
?!
/ et
)
.
>"
?"
/.
Le vecteur
()
%
%
%
%
%
"
a pour coordonnées .
>"5>!
?"5?!
/.
Méthode : Déterminer les coordonnées d’un vecteur par calcul
Vidéo https://youtu.be/wnNzmod2tMM
Calculer les coordonnées des vecteurs
()
%
%
%
%
%
"
,
48
%
%
%
%
%
"
1
et
9;
%
%
%
%
%
"
, tels que :
(
.
-
6
/,
)
.
=
+
/,
4
.
56
5-
/,
8
.
5-
+
/,
9
.
6
5:
/ et
;
.
:
5-
/.
Correction
()
%
%
%
%
%
"
.
=5-
+56
/ = .
+
-
/
48
%
%
%
%
%
"
@
5-5
0
56
3
+5
0
5-
3A = .
56
=
/
9;
%
%
%
%
%
"
@
:56
5-5
0
5:
3A = .
+
-
/

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Propriétés :
Soit deux vecteurs
B
%
"
.
>?
/ et
C
"@
>D
?D
A, et un réel
E
.
On a :
●
B
%
"
,C
" @
>,>D
?,?D
A ●
EB
%
"
@
E>
E?
A
111111111
●
5B
%
"
.
5>
5?
/
●
1B
%
"
et
C
" sont égaux lorsque
>*>D
et
?*?D
.
Méthode : Appliquer les formules sur les coordonnées de vecteurs
Vidéo https://youtu.be/rC3xJNCuzkw
En prenant les données de la méthode précédente, calculer les coordonnées des vecteurs
+()
%
%
%
%
%
"
,
:48
%
%
%
%
%
"
et
+()
%
%
%
%
%
"
5:48
%
%
%
%
%
"
.
Correction
On a :
()
%
%
%
%
%
"
.
+
-
/ et
48
%
%
%
%
%
"
.
56
=
/.
+()
%
%
%
%
%
"
.
+F+
+F-
/
*
.
G
H
/,
:48
%
%
%
%
%
"
.
:F
0
56
3
:F=
/
*
.
5:
-I
/
+()
%
%
%
%
%
"
5:48
%
%
%
%
%
"
.
G5
0
5:
3
H5-I
/
*
.
6+
56:
/
Méthode : Calculer les coordonnées d’un point défini par une égalité vectorielle
Vidéo https://youtu.be/eQsMZTcniuY
Soit les points
(
.
6
-
/,
)
.
5:
+
/,
4
.
6
5-
/.
Déterminer les coordonnées du point
8
tel que
()48
soit un parallélogramme.
Correction
()48
est un parallélogramme si et seulement si
()
%
%
%
%
%
"
*84
%
%
%
%
%
"
.
On pose .
>#
?#
/ les coordonnées du point
8
.
On a alors :
()
%
%
%
%
%
"
.
5:56
+5-
/
*
.
5=
6
/ et
84
%
%
%
%
%
"
@
65>#
5-5?#
A
Donc :
65>#*5=
et
5-5?#*6
111111111111115>#*5=56
et
5?#*6,-
>#*H
et
111111111?#*5+
.
Les coordonnées du point
8
sont donc .
H
5+
/
<

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Partie 3 : Colinéarité de deux vecteurs
1. Critère de colinéarité
Propriété : Soit deux vecteurs
B
%
"
.
>?
/ et
C
" @
>D
?D
A.
Dire que
B
%
"
et
C
" sont colinéaires revient à dire que :
>?J5?>J*I
.
Remarque : Dire que
B
%
"
et
C
" sont colinéaires revient à dire que les coordonnées des deux
vecteurs sont proportionnelles soit :
>?J*?>J
.
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/VKMrzaiPtw4
• Si l’un des vecteurs est nul alors l’équivalence est évidente.
• Supposons maintenant que les vecteurs
B
%
"
et
C
" soient non nuls.
Dire que les vecteurs
B
%
"
.
>?
/ et
C
"@
>D
?D
A sont colinéaires équivaut à dire qu’il existe un nombre réel
E
tel que
B
%
"
*EC
".
Les coordonnées des vecteurs
B
%
"
et
C
" sont donc proportionnelles et le tableau ci-dessous est un
tableau de proportionnalité :
Donc :
>?J*?>J
soit encore
>?J5?>J*I
.
Réciproquement, si
>?J5?>J*I
.
Le vecteur
C
" étant non nul, l’une de ses coordonnées est non nulle. Supposons que
>JKI
. Posons alors
E*
!
!!
. L’égalité
>?J5?>J*I
s’écrit :
?>J*>?J
.
Soit :
?
*𝑥𝑦′
𝑥′
*
E?D
.
Comme on a déjà
>
*
E>D
, on en déduit que
B
%
"
*EC
".
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires
Vidéo https://youtu.be/eX-_639Pfw8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs
B
%
"
et
C
" sont colinéaires.
a)
B
%
"
.
:
5L
/ et
C
".
56-
-6
/ b)
B
%
"
.
=
5-
/ et
C
".
6=
5L
/
Correction
a)
>?J5?>J*:F-65
0
5L
3
F
0
56-
3
*M:5M:*I
.
Le critère de colinéarité est vérifié donc les vecteurs
B
%
"
et
C
" sont donc colinéaires.
On peut également observer directement que
C
"
*5+B
%
"
.

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b)
>?J5?>J*=F
0
5L
3
5
0
5-
3
F
0
6=
3
*5+=,+I*5=KI
.
Le critère de colinéarité n’est pas vérifié donc les vecteurs
B
%
"
et
C
" ne sont donc pas colinéaires.
2. Déterminant de deux vecteurs
Définition : Soit deux vecteurs
B
%
"
.
>?
/ et
C
" @
>D
?D
A.
Le nombre
>?J5?>J
est appelé déterminant des vecteurs
B
%
"
et
C
".
On note :
NOP
0
B
%
"
121C
"3
*
Q
> >D
? ?D
Q
*>?$5?>D
.
Propriété : Dire que
B
%
"
et
C
" sont colinéaires revient à dire que
NOP
0
B
%
"
121C
"3
*I
.
Méthode : Vérifier si deux vecteurs sont colinéaires à l’aide du déterminant
Vidéo https://youtu.be/MeHOuwy81-8
Dans chaque cas, vérifier si les vecteurs
B
%
"
et
C
" sont colinéaires.
a)
B
%
"
.
5H
6I
/ et
C
".
G
56=
/ b)
B
%
"
.
:
G
/ et
C
".
66
-+
/
Correction
a)
NOP
0
B
%
"
121C
"3
*
R
5H G
6I 56=
R
*
0
5H
3
F
0
56=
3
56IFG*GI5GI*I
Les vecteurs
B
%
"
et
C
" sont donc colinéaires.
b)
NOP
0
B
%
"
121C
"3
*
R
:66
G-+
R
*:F-+5GF66*G-5GG*5LKI
Les vecteurs
B
%
"
et
C
" ne sont donc pas colinéaires.
3. Applications
Propriétés :
1) Dire que les droites
0()3
et
0483
sont parallèles revient à dire que les vecteurs
()
%
%
%
%
%
"
et
48
%
%
%
%
%
"
sont colinéaires.
2) Dire que les points
(
,
)
et
4
sont alignés revient à dire que les vecteurs
()
%
%
%
%
%
"
et
(4
%
%
%
%
%
"
sont
colinéaires.
Méthode : Appliquer la colinéarité
Vidéo https://youtu.be/hp8v6YAQQRI
Vidéo https://youtu.be/dZ81uKVDGpE