3 - Préparation Dynamique PFD TEC

Préparation aux Concours 2020 Dynamique des solides/Applications MP/PSI/TSI
C.P.G.E. Agadir 1/12 B.Ajnani M. Elhachmi
C.P.G.E. Agadir
Sciences Industrielles pour l’Ingénieur
Préparation Concours 2020- MP/PSI/TSI
DYNAMIQUE (PFD-TEC) / A PPLICATIONS
E XERCICE 1 : P ENDULE G YROSCOPIQUE
On considère le pendule gyroscopique dont le schéma cinématique est donné ci-dessous. Ce
mécanisme est constitué :
− d'un bâti S
0
.
− d'une armature externe S
1
en liaison pivot avec le bâti S
0
et de moment d’inertie J
1
par rapport
à l’axe
01
( , )
O x
et de centre d’inertie O.
− d'une armature interne S
2
en liaison pivot avec S
1
et de masse m
2
et de centre d’inertie G
2
.
S
2
possède deux plans de symétrie
2 2 2
( , , )
G y z
et
2 2 2
( , , )
G z x
.
− d'un « gyro » S
3
en liaison pivot avec S
2
et de masse m
3
et de centre d’inertie G
3
. S
3
est un solide
de révolution d'axe
3 3
( , )
G y
.
− A chaque solide S
i
(pour i = 0,1,2) est lié un repère noté
( , , , )
i i i i
R O x y z
et au solide S
3
est lié le
repère noté
3 3 3 3 3
( , , , )
R G x y z
tel que
0
z
soit vertical ascendant (voir schéma) :
−
01
( , )
O x
: axe de la liaison pivot S
1
/ S
0
.
−
12
( , )
O z
: axe de la liaison pivot S
2
/ S
1
.
−
2 23
( , )
G y
: axe de la liaison pivot S
3
/ S
2
.
01
x
ψ
1
y
0
y
0
z
1
z
2
x
2
y
1
y
1
x
12
z
θ
3
x
ϕ
23
y
2
z
3
z
2
x
O
A
1
A
2
O
2
01
x
O
23
y
O
0
z
O
12
z
O
12
z
O
2
x
O
0
y
O
G
2
G
3
S
3
S
2
S
1
S
0

Préparation aux Concours 2020 Dynamique des solides/Applications MP/PSI/TSI
C.P.G.E. Agadir 2/12 B.Ajnani M. Elhachmi
Hypothèses :
− Le repère R
0
lié au bâti 0 est supposé galiléen.
− Toutes les liaisons du mécanisme sont avec frottement visqueux de même coefficient η.
− Un moteur de masse négligeable, dont le stator est lié à S
2
et le rotor est lié à S
3
, entraîne S
3
en
rotation. Il exerce sur celui-ci le couple supposé connu.
− Un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur libre (ℓ
0
= b−a), est monté entre
S
1
et S
2
. Ses extrémités sont articulées en A
1
et A
2
.
− Un amortisseur, non représenté sur le schéma et de masse négligeable, de coefficient
d’amortissement µ, est aussi monté entre S
1
et S
2
aux mêmes extrémités A
1
et A
2
.
− L’accélération de la pesanteur est notée .
On paramètre le système de la façon suivante (voir schéma) :
− mouvement de S
1
/ S
0
.: .
− mouvement de S
2
/ S
1
: .
− mouvement de S
3
/ S
2
: .
Données : , , (b > a), , et .
On note la matrice d’inertie du solide Si en Gi (pour i = 2 ,3):
Q.1. Dresser le schéma d’analyse.
Q.2. Sans développer les termes cinétiques, déterminer les équations de mouvement. Précisez
quel(s) est(sont) le(s) système(s) isolé(s), quel(s) est(sont) le(s) théorème(s) utilisés. Justifiez
clairement vos choix.
Q.3. Sans développer les termes cinétiques, déterminer
23 23
(2 3).
Y R y
= →
. Précisez quel(s)
est(sont) le(s) système(s) isolé(s), quel(s) est(sont) le(s) théorème(s) utilisés. Justifiez clairement
vos choix.
E XERCICE 2 : M ACHINE D ’A SSEMBLAGE DES B ARRETTES
La figure 1 suivante représente une machine d’assemblage des barrettes sur des coffrets.
Le positionnement longitudinal du portique (5) est obtenu par l’intermédiaire d’une chaîne
cinématique comportant un moteur à courant continu, un réducteur épicycloïdal de rapport k et un
système vis- écrou (à droite) de pas «
20
p mm
=
».
La figure (2) représente le modèle simplifié du système de commande en translation du portique
(5).
On donne
1 4
/
k
ω ω
=
tel que :
1
(1 / 0) .
x
ω
Ω =
et
4
(4 / 0) .
x
ω
Ω =
.
La vitesse de translation du portique (5) par rapport au bâti est
( 5/0)
V A
∈
= V.
x
.
2,3
.
M
C y
0
.
g g z
= −
0 1 0 1
( , ) ( , )
y y z z
ψ
= =
1 2 1 2
( , ) ( , )
x x y y
θ
= =
2 3 2 3
( , ) ( , )
z z x x
ϕ
= =
2 1
O A b
=
2 2
O A a
=
2
OO h
=
2
OG L
=
3 2
G G
≡
( , , )
( , )
i i i
i i i
i i i i i
i i i
x y z
A F E
I G S F B D
E D C
− −
= − −
− −

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C.P.G.E. Agadir 3/12 B.Ajnani M. Elhachmi
P REDETERMINATION DU M OTEUR
On considère le schéma du modèle du système de commande en translation du portique donné à la
figure 2 avec :
Figure 2
B
: Vérin de transfert des coffrets.
L : Lecteur de code à barres.
M : Moteur électrique à courant
continu.
R : Réducteur.
S : Vérin de serrage des barrettes.
T : Table support des coffrets.
V
1
, V
2
: Unités de vissage.
Y
1
, Y
2
: Vérins de déplacement
suivant
y
des unités de vissage.
x
y
z
V
1
V
2
Y
1
Y
2
S
M
R
B
T
L
Portique (5)
L’arbre
moteur (1)
La vis (4)
L’écrou à bille
Etiquette à code à
barres
Barrettes
Coffret
Bâti (0)
Figure 1
: Schéma simplifié d
e la machine d’assemblage des barrettes
Réducteur
Moteur
électrique
Arbre (1)
Bâti
(0)
Vis (4)
Portique (5)
A
O
0
0 0
( , , , )
R O x y z
repère fixe lié à (0)
x
z
y

Préparation aux Concours 2020 Dynamique des solides/Applications MP/PSI/TSI
C.P.G.E. Agadir 4/12 B.Ajnani M. Elhachmi
- le repère R
0
lié au bâti (0) est supposé galiléen.
- Le moment d’inertie du rotor moteur (1) est
m
J
.
- Le moment d’inertie du réducteur (réd) ramené sur l’axe du moteur est
r
J
.
- Le moment d’inertie de la vis (4) est
v
J
.
- La masse embarquée du portique (5) est M.
- Le moteur exerce sur l’arbre (1) un couple :
.
m
C x
.
- La composante suivant
x
des actions s’opposant au déplacement du portique :
.
F x
−
.
- Les dissipations d’énergie dans le système sont modélisées par les rendements suivants :
o η
1
dans le réducteur ;
o η
2
dans le système vis-écrou.
- Toutes les autres liaisons sont supposées parfaites.
Q.1. Exprimer V en fonction de
1
ω
, p et k.
Q.2. Déterminer l’énergie cinétique du système (E=1+réd+4+5) dans son mouvement par rapport à
R
0
. En déduire le moment d’inertie équivalent de E ramené sur l’arbre moteur
em
J
en fonction de
, , , , et
m r v
J J J M p k
.
Q.3. Déterminer les puissances des actions mécaniques extérieures exercées sur E par rapport à R
0
.
Q.4. Déterminer la puissance dissipée dans le système en fonction de la puissance motrice P
m
et du
rendement global η à déterminer.
Q.5. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système (E=1+réd+4+5) de commande de la
figure 2, montrer que son comportement dynamique est modélisable par l’équation :
1
.
em m re
d
J C C
dt
ω
η= −
et donner l’expression de
re
C
.
E TUDE D YNAMIQUE DU C HARIOT DE STOCKAGE
Le stockage des coffrets est réalisé à l’aide d’un chariot automatisé dont le schéma est représenté
sur la figure (3) suivante :
Figure 3
Support (1)
Coulisseau (2)
Bras (3)
Bras (4)
O
O 1
O 2
O 3
O
4
x
y
z
θ
z
y
3
y
J
K
d

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C.P.G.E. Agadir 5/12 B.Ajnani M. Elhachmi
Le chariot se déplace sur des rails par rapport au bâti, la prise et la dépose du coffret se font par une
pince montée sur le bras (4). Le chariot est constitué des éléments suivants :
- Bâti (0), Repère lié
( , , , )
R O x y z
supposé galiléen et
z
vertical ascendant.
- Support (1) en translation suivant
x
par rapport au bâti (0). Repère lié à (1) :
1 1
( , , , )
R O x y z
tel
que :
1
.
OO x x
=
avec
x
=
ɺ
constante.
- Le coulisseau (2) de masse m
2
de centre d’inertie G
2
(
22
/ 2.
O G y
=
ℓ
), en translation suivant
z
par rapport à (1). Repère lié à (2) :
2 2
( , , , )
R O x y z
tel que
12
.
O O z z
=
.
- Le bras (3) supposé homogène de masse m
3
de centre d’inertie G
3
, en liaison pivot d’axe
3
( , )
O z
avec (2). Repère lié à (3) :
3 3 3 3
( , , , )
R O x y z
tel que
23
.
O O l y
=
et =
3 3 3
3
.
O G L y
.
matrice d'inertie: =
3 3
3
3 3
3
( , , )
0 0
( ,3) 0 0
0 0
x y z
A
I O B
C
.
- Le bras (4) de masse m
4
de centre d’inertie G
4
, en liaison glissière de direction
3
y
avec (3).
Repère lié à (4) :
4 4 3 3
( , , , )
R O x y z
tel que
3 3
4
.
O O y y
=
et
4 4 3
4
.
O G L y
=
.
matrice d'inertie: =
3 3
4
4 4
4
( , , )
0 0
( ,4) 0 0
0 0
x y z
A
I O B
C
.
- Les actionneurs V
01
, V
12
, M
23
et V
34
de masses négligeables sont placés respectivement au
niveau des liaisons L
01
, L
12
, L
23
et L
34
(V
01
, V
12
et V
34
: vérins et M
23
: moteur).
Le vérin V
01
exerce sur (1) au point O
1
un glisseur de résultante :
01
.
F x
.
Le vérin V
12
exerce sur (2) au point O
2
un glisseur de résultante :
12
.
F z
.
Le moteur M
23
exerce sur (3) un couple :
23
.
C z
.
Le vérin V
34
exerce sur (4) au point O
4
un glisseur de résultante :
34 3
.
F y
.
Le cahier des charges impose les lois de mouvements et on désire choisir les différents
actionneurs capables de réaliser ces lois.
On suppose que toutes les liaisons sont parfaites et que l’accélération de la pesanteur est :
.
g g z
=−
.
Q.6. Le repère R
1
est-il galiléen? Justifier.
Q.7. Tracer le schéma d’analyse du système.
Q.8. Indiquer les systèmes à isoler, les théorèmes à utiliser, puis écrire les équations permettant de
déterminer F
01
, F
12
, C
23
et F
34
sans développer les termes dynamiques (Sans développer les
termes cinétiques, seuls les termes des actions mécaniques seront développés).