Maths GBM-2017 OK

Université Polytechnique de Bobo-Dioulasso BTS d’ETAT session de 2017
- - - - - - - - - Option : GBM
Présidence Épreuve de mathématiques
- - - - - - - - - - - - - - - Durée : 03 heures
Coordination des examens du BTS d’Etat Coeff : 03
Exercice 1 : calcul matriciel et applications (10 points =(1×8+2) points)
1) On considère les matrices Aet Pdéfinies par A=0,95 0,01
0,05 0,99et P=−1 1 1 5.
1.1) Montrer que Pest inversible puis déterminer son inverse noté P−1.
1.2) Calculer la matrice D=P−1AP et dite pourquoi Aest diagonalisable.
1.3) En déduire Anen fonction de npour tout entier naturel non nul n.
Dans la suite, on suppose que pour tout entier naturel non nul n,
An=1
61+5×0,94n1−0,94n
5(1 −0,94n) 5 + 0,94n
2) En janvier 2015 les 2 000 clients d’une banque se répartissent en deux catégories distinctes.
•Catégorie A : les clients d’agence,
•Catégorie I : les clients Internet.
En janvier 2015, 92% des clients de la banque sont des clients d’agence et 8% des clients sont des
clients Internet. On admet que, chaque mois, 5% des clients d’agence deviennent clients Internet
et inversement 1% des clients Internet deviennent clients d’agence. On suppose que le nombre
de clients de la banque reste constant au cours du temps et qu’un client ne peut faire partie des
deux catégories.
On note a1le nombre de clients d’agence en janvier 2015 et i1le nombre de clients Internet en
janvier 2015. Le mois de janvier 2015 est de rang 1, le mois de février 2015 de rang 2, le mois de
mars 2015 de rang 3, etc. On note alors anle nombre de clients d’agence le mois de rang net in
le nombre de clients Internet le mois de rang n.
2.1) Déterminer a1et i1.
2.2) Exprimer an+1 et in+1 en fonction de anet inpour tout entier naturel non nul n.
2.3) En déduire que an+1
in+1 =Aan inpour tout entier naturel non nul n.
2.4) En déduire anet inen fonction de n, pour tout entier naturel n.
2.5) Calculer le nombre de clients d’agence et le nombre de clients Internet de cette banque
en fin décembre 2017.
2.6) Calculer les limites des suites (an)et (in)puis commenter les résultats.
Exercice 2 : extremum d’une fonction de deux variables (6 points=(2+2+2) points)
La société d’Adèle produit deux types d’ampoules : E17 et E24. Indiquons par xle nombre de
milliers d’ampoules de type E17 produites et supposons que la demande pour ce type de lampes
est donnée par p1= 50 −x, où p1est le prix de vente en euros. De même, indiquons par y
le nombre de milliers d’ampoules de type E24 produites et supposons que la demande pour ce
type est donnée par p2= 60 −2y, où p2est aussi le prix de vente en euros. Le coût commun de
production de ces ampoules est C(x, y) = 2xy (en milliers d’euros). Par conséquent, le bénéfice
de la société d’Adèle (en milliers d’euros) est une fonction de deux variables xet y. On se prose
de déterminer le profit maximal d’Adèle.
1) Exprimer en fonction de xet yla fonction profit en milliers d’euros que l’on notera p(on
1/2

rappelle que le profit égal au montant des ventes moins le coût commun de production).
2) Déterminer les points stationnaires de pet étudier leur nature.
3) En déduire le profit maximum d’Adèle ainsi que la production permettant de le réalisé.
Exercice 3 : série entière (5 points= (1+1+2+1) points)
Soit la fonction fdéfinie par f(x) =
+∞
X
n=2
(−1)n
n(n−1)xn.
1) Déterminer le rayon de convergence et l’intervalle de convergence de cette série.
2) À l’aide d’une intégration par partie, déterminer Rx
0ln(1 + t)dt pour tout x∈]−1; 1[.
3) Exprimer la fonction fà l’aide de fonctions usuelles sur ]−1; 1[. On pourra dérivée fsur cet
intervalle et utiliser la question 2).
4) Calculer f(1) et f(−1).
2/2