Cours-TS2-Mr-Babacar-DJITTE

Cours Terminale S2
1
REPUBLIQUE DU SENEGAL
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Un Peuple - Un But - Une Foi
∗∗∗∗∗∗∗∗∗
MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITÉ CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR
FACULTÉ DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE L’ÉDUCATION
ET DE LA FORMATION
Cours de Mathématiques
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Classe : Terminale S2
Présenté par :
Babacar DJITTE
Année Universitaire 2014-2015
11 mai 2017
M.Djitté, site web : https://site.google.com/sites/babacardjittemaths

Cours Terminale S2
Table des matières
I ANALYSE 8
1 Fonction numérique d’une variable réelle 9
1.1 Limites.................................... 9
1.2 Continuité.................................. 9
1.3 Dérivation.................................. 9
1.4 Etudedefonction.............................. 9
1.5 Primitive................................... 12
2 Primitives 13
2.1 Généralités ................................. 13
2.1.1 Définition .............................. 13
2.1.2 Ensemble des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3 Primitive prenant une valeur y0en un point x0donné (F(x0) = y0) 14
2.2 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Fonction Logarithme Népérien 17
3.1 Généralités ................................. 17
3.2 Etude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Limites aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.3 Branchesinfinies .......................... 20
3.2.4 Dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.5 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.6 Signedelnx ............................ 20
3.2.7 Equation de la tangente à Cfen1 ................ 21
3.2.8 Tableau des valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.9 Courbe représentative de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.10 Autre limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Fonctions Composées avec ln : f(x) = ln(U(x)) ............. 22
3.3.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.2 Limites aux bornes : lim
x→alnU(x) =? ................ 22
3.3.3 Dérivée ............................... 22
3.4 Fonction logarithme de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Fonction exponentielle 30
4.1 Généralités ................................. 30
4.2 Etude de la fonction exp .......................... 31
4.2.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2

Cours Terminale S2
TABLE DES MATIÈRES 3
4.2.2 Limites aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.3 Branchesinfinies .......................... 31
4.2.4 Dérivée et sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.5 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.6 Equation de la tangente en 0 et en 1 . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.7 Tableau des valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.8 Courbe représentative de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.9 Autres limites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Fonctions composées avec exp : f(x) = eU(x)............... 33
4.3.1 Domaine de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.2 limites lim
x→aeU(x).......................... 33
4.3.3 Dérivées............................... 33
4.3.4 Primitives.............................. 33
4.4 Fonctions puissances (fonction exponentielle de base a) . . . . . . . . . 34
4.4.1 Dérivée et sens de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Suites Numériques 40
5.1 Généralités ................................. 40
5.1.1 Suite définie par une forme explicite . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1.2 Suite définie par une forme formule de recurrence . . . . . . . . 41
5.2 Monotonied’unesuite ........................... 42
5.2.1 Suite croissante-Suite décroissante . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2.2 Suitepériodique........................... 43
5.2.3 Suite majorée-suite minorée-minorée bornée . . . . . . . . . . . 43
5.3 Principe du raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.5 Suite du type Un+1 =f(Un)........................ 45
5.5.1 Représentation des premiers termes . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.2 Limites éventuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.5.3 Suitesadjacentes .......................... 46
5.6 Suitesusuelles................................ 46
5.6.1 Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.6.2 Expression de Unen fonction de n................. 46
5.6.3 Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique . . . . . 47
5.6.4 Suitegéométrique.......................... 48
5.6.5 Expression de Unen fonction de n................. 49
5.6.6 Somme de termes consécutifs d’une suite géométrique . . . . . . 49
5.6.7 Convergence d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Calcul Intégral 53
6.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Valeur moyenne d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2.1 Inégalités de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Techniquesdecalcul ............................ 54
6.3.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4 Calcul d’aires et de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4.1 Signe d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4.2 Calculd’aires ............................ 55
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TABLE DES MATIÈRES 4
6.4.3 Calculdevolumes.......................... 56
7 Équations différentielles Linéaires 57
7.1 Equation différentielle du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.1.1 Equation différentielle du premier ordre sans second membre ou
équationhomogène......................... 57
7.1.2 Equation différentielle du premier ordre avec second membre . . 58
7.2 Equation différentielle du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.2.1 Equation différentielle du second ordre sans second membre ou
équationhomogène......................... 59
7.2.2 Equation différentielle du second ordre avec second membre . . 60
II ORGANISATION DE DONNÉES 64
8 Statistique à deux variables 65
8.1 Vocabulaire ................................. 65
8.2 Série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2.1 Nuagedespoints .......................... 66
8.2.2 Moyenne .............................. 66
8.2.3 Variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2.4 Covariance ............................. 67
8.3 Ajustementlinéaire............................. 68
8.3.1 Détermination de la droite de régression . . . . . . . . . . . . . 68
8.4 Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4.1 Interprétation suivant les valeurs de r............... 69
8.5 Organisation de données groupées : Série non injective . . . . . . . . . 70
8.5.1 Définition et notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.5.2 Sériesmarginales .......................... 71
8.5.3 Série conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Dénombrement 77
9.1 Ensemble .................................. 77
9.1.1 Sousensembles ........................... 77
9.1.2 Ensemblesfinis ........................... 77
9.1.3 Réunion, Intersection, Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . 77
9.1.4 Ensembles disjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.1.5 Complémentaire de Adans E................... 78
9.1.6 Partition............................... 79
9.1.7 Cardinaux.............................. 79
9.2 Outils de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.2.1 P-listes................................ 80
9.2.2 P-arrangement ........................... 81
9.2.3 Permutation............................. 83
9.2.4 P-combinaison............................ 83
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TABLE DES MATIÈRES 5
10 Probabilité 87
10.1 Vocabulaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1.1 Expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.1.2 Evènement.............................. 87
10.1.3 Evènements particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
10.2 Probabilité d’un évènement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.2.1 Cas où les évènements élémentaires sont équirobables . . . . . . 88
10.2.2 Probabilité Conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.3Variablesaléatoires............................. 92
10.3.1 Définitions d’évènements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.3.2 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.3.3 Espérance matématique, variance et écart type de X...... 92
10.3.4 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10.4 Schèma de Bernoulli : Loi Binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.4.1 Epreuve de de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.4.2 Schèma de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
10.4.3 LoiBinomiale ........................... 94
III ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE 102
11 Les nombres Complexes 103
11.1 Forme algébrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.1.1 Définition .............................. 104
11.1.2 Vocabulaire et notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11.1.3 Nombre complexe nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.1.4 Egalité de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.1.5 Représentation géométrique des nombres complexes . . . . . . . 105
11.1.6 Affixe d’un vecteur, du milieu d’un segment et d’un barycentre . 106
11.1.7 Calcul dans C............................ 106
11.1.8 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2 Forme trigonométrique-Forme exponentielle d’un nombre complexe . . 109
11.2.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.2.2 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . 113
11.2.4 Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . 113
11.2.5 Formule de Moivre et Formules d’Euler . . . . . . . . . . . . . . 114
11.3 Equation du second degré dans C..................... 114
11.3.1 Racine carrée d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 114
11.3.2 Equation du second degré dans C................. 115
11.3.3 Exemples de factorisation de polynôme dans C.......... 116
11.4 Racine n-ième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.5 Racine n-ième del’unité .......................... 116
11.6 Racine n-ième d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
11.6.1 Détermination des racines racines n-ième de Zconnaissant une
racine z0............................... 118
11.7 Complément : Nature d’un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
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