Arithmétique partie-2 avec-correction

ISTAMA – R´edig´e pour le CIP – Universit´e Paris–Saclay
Arithm´etique (Corrig´e)
Table des mati`eres
I Notions de base et motivations 2
II Divisibilit´e 4
II.APointsdecours ....................................... 4
II.BExercices........................................... 4
III Division euclidienne 7
III.APointsdecours ....................................... 7
III.BExercices........................................... 8
IV Congruence 9
IV.APointsdecours ....................................... 9
IV.BExercices........................................... 10
V Nombres premiers 14
V.APointsdecours ....................................... 14
V.BExercices........................................... 15
VI PGCD 18
VI.APointsdecours ....................................... 18
VI.BExercices........................................... 19
Semestre 2 / 2023-2024 1 G.Moreau

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I Notions de base et motivations
Historiquement, l’arithm´etique trouve son origine en Ph´enicie 1(∼ −1000 avant J.-C.) puis se
d´eveloppe dans l’´ecole pythagoricienne (∼ −500 avant J.-C.).
L’arithm´etique est la branche des Math´ematiques consacr´ee aux nombres entiers naturels (en-
semble N), entiers relatifs (Z)2, nombres rationnels (Q)3, nombres alg´ebriques (A) et nombres r´eels 4
(R), ainsi qu’`a leurs propri´et´es – en lien avec les op´erations ´el´ementaires. Tous ces ensembles de
nombres, ´ecrits `a partir des chiffres (0,1,2,...,9), se classent de mani`ere inclusive : voir Figure 1.
Figure 1 – Cat´egories des nombres r´eels (nombres alg´ebriques r´eels repr´esent´es).
•Commen¸cons par les nombres entiers. Les entiers naturels (comme 1,3,12,104,...) permettent
le comptage d’´el´ements consid´er´es alors comme des unit´es ´equivalentes. On note par exemple N∗
l’ensemble des entiers naturels n’incluant pas 0.
•Les entiers relatifs sont obtenus en affectant un signe, + ou −, aux entiers naturels. L’oppos´e
−xdu nombre xest d´efini par la propri´et´e que leur somme s’annule. L’introduction des signes a
plusieurs motivations comme la r´esolution d’´equations (ex : a+ 4 = 0 de solution a=−4) ou encore
le rep´erage sur un axe gradu´e (voir Figure 2). Comme exemples d’application, le signe n´egatif peut
ˆetre utilis´e pour une temp´erature (voir Figure 3) ou une date, telle que −1000 avant J.-C. Noter les
r`egles de multiplication :
+×+≡+
+× − ≡ −
− × − ≡ +
1. Actuel Liban.
2. De l’allemand ‘Zahlen’, signifiant “nombres”.
3. De l’italien ‘Quoziente’, signifiant “quotient”.
4. N’incluant pas les nombres imaginaires dont le carr´e peut ˆetre n´egatif.
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Figure 2 – Axe gradu´e orient´e.
Figure 3 – Thermom`etre.
Par exemple, 2×(−3) = −6. Les nombres entiers n´egatifs (positifs) sont : −1,−2,−3, ... (+1,+2,+3, ...)
Le nombre 0 est, lui seul, simultan´ement n´egatif et positif. Les nombres n´egatifs apparaissent en Inde
vers 500 et sont associ´es `a des dettes (les positifs `a des recettes).
•Les nombres rationnels peuvent s’exprimer comme une fraction p/q impliquant deux entiers
relatifs pet q. Le d´eveloppement d´ecimal d’un nombre rationnel est fini, tel 1/4=0,25 , ou bien
p´eriodique, comme par exemple,
18
11 = 1,63
|{z} 63 |{z} 63 |{z} 63 |{z} 63 |{z}. . .
Noter la terminologie dans l’exemple suivant,
8
5= 1,6 = 1
|{z}
partie enti`ere
,6
|{z}
partie fractionnaire
Les nombres rationnels ayant un nombre fini de chiffres apr`es la virgule d´efinissent l’ensemble des
nombres d´ecimaux, not´e D, qui inclut les nombres entiers relatifs :
Z⊂D⊂Q
Par exemple, 3 = 3,0 = 3/1, est un nombre entier, d´ecimal et ´egalement rationnel. Les nombres
rationnels servent par exemple aux mesures pr´ecises de vitesses, de temps, de masse, etc ou encore
`a des tarifications. Remarquons que le d´eveloppement d´ecimal infini ne constitue pas toujours la
repr´esentation appropri´ee pour un nombre ; par exemple la simple ´equation
10 x= 9 + x
dont la solution doit ˆetre unique, est en fait v´erifi´ee par x= 1,000... (valeur r´esultant de la r´esolution
directe) mais aussi par x= 0,999... ! Cette subtilit´e – li´ee `a la pr´esence d’un infini – peut ˆetre trait´ee
en ayant recours `a une limite.
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•Les nombres alg´ebriques sont solutions d’une ´equation polynomiale aux coefficients rationnels.
Par exemple,
1
|{z}
rationnel ×y3−5
|{z}
rationnel
= 0
a pour solution le nombre alg´ebrique y= 51/3=3
√5.
•Les nombres r´eels peuvent tout aussi bien ne pas ˆetre racine d’un polynˆome `a coefficients
rationnels : il s’agira alors de nombres dits ‘transcendants’. Nom donn´e par G.W.Leibniz qui croyait
en leur existence, d´emontr´ee au milieu du XIX`eme si`ecle par J.Liouville.Des exemples de nombres
transcendants sont : π= 3,14159... ;e= 2,71828... [d´efini par ln(e) = 1] ou encore,
sin(1[radian]) '0,841470.
Cryptographie : Actuellement, l’arithm´etique connaˆıt un essor important dˆu notamment au domaine
de la cryptographie (typiquement l’´etude de la protection d’informations par codes secrets), et en
particulier `a son utilisation algorithmique en informatique. Nous y reviendrons.
II Divisibilit´e
II.A Points de cours
D´efinition de la divisibilit´e : Soient xet ysont deux entiers relatifs non nuls. ydivise xsi et
seulement si (´equivalence) il existe un entier relatif a tel que x=a y (ou x/y =a).
Terminologie : yest un diviseur de x, et, xest un multiple de y.
x
|{z}
multiple
=y
|{z}
diviseur
×a
Notation : ydivise xse note parfois y|x.
Propri´et´e n’1 (transitivit´e) : Soient n,met ptrois entiers relatifs non nuls. Si ndivise met
mdivise p, alors ndivise p.
Propri´et´e n’2 : Soient n,met ptrois entiers relatifs non nuls. Si ndivise met ndivise p, alors
ndivise a m +b p, pour tout couple a, b d’entiers relatifs.
II.B Exercices
1. Donner tous les diviseurs de l’entier 36.
Solution : Il s’agit de l’ensemble suivant,
{1,2,3,4,6,9,12,18,36,−1,−2,−3,−4,−6,−9,−12,−18,−36}.
2. Un nombre parfait est un entier naturel ´egal `a la somme de ses diviseurs positifs, autres que
lui-mˆeme. Montrer que 6 en est un, contrairement `a 9.
Solution : 1 + 2 + 3 = 6 mais 1 + 3 = 4 6= 9.
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3. Existe-t-il un nombre multiple de 15 et en mˆeme temps diviseur de 100 ?
Solution : A= 15 K(avec K∈Z) et 100 = A P (P∈Z) conduisent `a 100/P = 15 K, soit
100/15 = K P ce qui est faut car 100/15 /∈Z, donc c’est impossible ce qui signifie qu’un tel
nombre An’existe pas.
4. D´emontrer la Propri´et´e n’1.
Solution : p
n=m n×p m≡entier relatif.
5. D´emontrer la Propri´et´e n’2.
Solution :
a m +b p
n=am n+bp n≡entier relatif, pour tout couple a, b d’entiers relatifs.
6. Le produit de deux entiers naturels cons´ecutifs est-il toujours divisible par 2 ?
Solution : Soit le premier entier est pair (ici n∈N) :
2n(2n+ 1) = 2(2n2+n),
soit il est impair :
(2n+ 1)(2n+ 2) = 2(2n+ 1)(n+ 1) ,
mais dans les deux cas le produit est explicitement divisible par 2.
7. Soit un polynˆome Pnde degr´e n≥1 dont les coefficients cksont des entiers relatifs (non tous
nuls).
(a) Soit R∈Z∗une racine de Pn. Montrer que Rdivise le coefficient constant (pris non nul)
de Pnnomm´e c0.
(b) En d´eduire une solution de l’´equation suivante, x3−2x2−4x+ 3 = 0.
Solution :
(a) Pns’´ecrit donc Pn(x) = Pn
k=0 ckxko`u ck∈Zet c06= 0. R´etant racine, Pn(R) = 0, soit,
n
X
k=0
ckRk= 0 ⇔
n
X
k=1
ckRk=−c0⇔ −R n
X
k=1
ckRk−1!=c0,
soit c0=Q×Ravec Q∈Z∗:Rdivise c0.
(b) S’il existe une racine enti`ere du polynˆome P3(x) = x3−2x2−4x+ 3, alors elle divise 3. Il
pourrait donc s’agir de 3,1,−1,−3. Or
P3(3) = 0 , P3(1) = −2, P3(−1) = 4 , P3(−3) = 30 .
Donc x0= 3 est bien une solution de l’´equation consid´er´ee (la seule solution enti`ere).
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