Document de cours

De la m´ecanique ondulatoire
`a la m´ecanique quantique
Jean-Marc Debierre
Aix-Marseille Universit´e
Janvier 2023
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Sommaire
1 Introduction 4
1.1 G´en´eralit´es ............................ 4
1.2 Le domaine quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Les ´echelles du quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Quelques exp´eriences qui ont inspir´e la th´eorie quantique 7
2.1 Effet photo´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Spectres d’´emission des atomes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Le quanton ou la dualit´e onde-particule 10
3.1 Relation de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 L’exp´erience des fentes d’Young appliqu´ee aux ´electrons . . . 11
3.3 Interpr´etation probabiliste de l’exp´erience . . . . . . . . . . . 12
3.4 In´egalit´e de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4´ Equation de Schr˝odinger 13
4.1 G´en´eralit´es ............................ 13
4.2 Solutions stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Propri´et´es de la fonction d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.4 ´ Etats li´es et quantification de l’´energie. . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Exemple du puits de potentiel infini. . . . . . . . . . . . . . . 15
4.6 ´ Etatslibres ............................ 16
4.7 Paquetd’ondes .......................... 17
4.8 Choix des variables xet p.................... 18
5 Espace des fonctions d’onde et espace des ´etats 19
5.1 Espace des fonctions d’onde pour une particule . . . . . . . . 19
5.2 Op´erateur lin´eaire diff´erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.3 Bases de l’espace des fonctions d’onde F............ 20
5.3.1 Base discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.3.2 Base continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4 Espacedes´etats ......................... 24
5.5 Op´erateur lin´eaire de l’espace des ´etats . . . . . . . . . . . . . 24
5.6 Op´erateur de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7 Op´erateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.8 Expression adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.9 Valeurs propres et kets propres d’un op´erateur . . . . . . . . 26
5.10 Op´erateur hermitique, observable . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2

5.11 Repr´esentation matricielle dans une base discr`ete (d´enombrable)
de l’espace des ´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6 Les repr´esentations {|x>}et {|p>}30
6.1 Bases continues de Ex...................... 30
6.2 Notation habituelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.3 Op´erateurs ˆ Xet ˆ Px....................... 31
7 Les principes de la m´ecanique quantique 34
7.1 Enonc´e des principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.2 Valeur moyenne d’une observable . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8 Produit tensoriel d’espaces d’´etats 38
9 Oscillateur harmonique `a une dimension 40
9.1 Oscillateur harmonique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.2 Oscillateur quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3

1 Introduction
1.1 G´en´eralit´es
La m´ecanique quantique traite de petits objets (voir paragraphe suivant)
pour lesquels la trajectoire ne peut plus ˆetre d´efinie au sens classique. On
d´efinit alors des probabilit´es, comme la probabilit´e de trouver l’objet au
point ~r2`a l’instant t2, sachant qu’il se trouve au point ~r1`a l’instant t1.
De plus, l’´energie d’un objet quantique li´e varie g´en´eralement par valeurs
discr`etes, contrairement `a celle d’un objet classique qui varie continˆument.
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Figure 1: Deux points de l’espace-temps. En m´ecanique quantique, on ne peut
pas repr´esenter la trajectoire conduisant de l’un `a l’autre.
Cette th´eorie a ´et´e d´evelopp´ee au d´ebut du 20`eme si`ecle (1900-1930) afin
de comprendre la structure et les propri´et´es de la mati`ere que la physique
classique ´etait incapable de d´ecrire.
Par exemple, dans l’image classique de l’atome d’hydrog`ene, l’´electron tourne
autour du noyau (proton) sur une orbite circulaire. Il subit une acc´el´eration
(centrip`ete) et devrait donc ´emettre un rayonnement (comme le rayon-
nement synchrotron). Par perte progressive d’´energie, cela devrait conduire
`a la fusion des deux particules. Or l’atome d’hydrog`ene est stable !
1.2 Le domaine quantique
En 1900, Planck introduit l’hypoth`ese des quanta d’´energie (un rayonnement
de fr´equence νpi´eg´e dans une cavit´e ne peut ´echanger que des quantit´es
d’´energie nhν avec les parois). Cinq ann´ees plus tard, Einstein postule
4

p+
e—
R
!
Figure 2: Mod`ele classique de l’atome d’hydrog`ene.
qu’un rayonnement ´electromagn´etique de fr´equence νpeut ˆetre vu comme un
ensemble de quanta de lumi`ere (qu’on appellera plus tard photons, particules
´el´ementaires de masse nulle) d’´energie
E=hν, (1)
La constante hest appel´ee constante de Planck. Ses dimensions sont
[h] = [´ Energie] ×[Temps] = [Quantit´e de mouvement] ×[Longueur].(2)
Une grandeur ayant ces dimensions est appel´ee action; elle est souvent not´ee
A. La valeur de la constante de Planck,
h= 6.626 ×10−34 J.s,(3)
est tr`es faible devant les actions habituellement mises en jeu dans les syst`emes
classiques. Par contre, on voit qu’elle est la mesure naturelle de l’action d’un
objet quantique, comme le photon. On en d´eduit donc la r`egle suivante, en
g´en´eralisant cette observation:
R`egle: Pour d´eterminer si un objet est de nature classique ou de nature
quantique, il faut former un produit Aqui a les dimensions d’une action
et le comparer `a la constante de Planck h. Si A/h '1 (est de l’ordre de
l’unit´e), l’objet est de nature quantique (certains auteurs l’appelle quanton).
Si, au contraire, A/h 1, l’objet est de nature classique.
Exemple d’un oscillateur: Soit une masse m0qui oscille avec une amplitude
x0et une pulsation ω. La quantit´e de mouvement p=m0va pour amplitude
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