MQ1 24-05-2016[1]

1
Universite Chouaib Doukkali
Faculte des Sciences
El Jadida
Groupe de Physique Théorique
Laboratoire de Physique de la Matière Condensée
Filière
Sciences de la Matière Physique
–SMP4–
Ahmed Jellal1
Cours
Mecanique Quantique 1
Quantum Mechanics: A fundamental theory of matter and energy that explains facts, which
previous physical theories were unable to account for. In particular the fact that energy is absorbed
and released in small, discrete quantities (quanta), and that all matter displays both wavelike and
particlelike properties, especially when viewed at atomic and subatomic scales. Quantum mechanics
suggests that the behavior of matter and energy is inherently probabilistic and that the effect of the
observer on the physical system being observed must be understood as a part of that system. Also
called quantum physics, quantum theory.
1
[email protected]
2
Contents
1 Principes De La Mechanique Classique
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Particule Ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Mecanique Lagrangienne . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Principe de la moindre ation . . . . . . . . .
1.3.2 Moment généralisé . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Mécanique de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Introduction et définitions . . . . . . . . . . .
1.4.2 Equation de mouvement de Hamilton . . . .
1.4.3 Temps d’evolution d’une grandeur physique .
1.4.4 Crochet de Poisson . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Particule chargée dans un champ électromagnétique
1.6.1 Champ électromagnétique . . . . . . . . . . .
1.6.2 Lagrangien d’une particule classique chargée
1.6.3 Hamiltonien d’une particule classique chargée
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2 Echec et Quantification Semi-classique
2.1 Echec de la Mécanique Classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Quantification semi-classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Principes de la Mecanique Quantique
3.1 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Principe de Superposition Linéaire . . . . . . . . . . . .
3.3 Paquet d’Onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Moyenne et Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Opérateurs et Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Equations aux valeurs propres . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Opérateurs hermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.7 Opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.8 Représentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.9 Notation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.10 Valeurs et vecteurs propres des opérateurs hermitiens
3.5.11 Opérateurs hermitiens et mesures physiques . . . . . .
3.5.12 Opérateur projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
CONTENTS
3.6
3.7
3.8
3.9
Opérateur parité . . . . . . . . . . . . . . .
Quantification . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Principe de correspondance . . . . .
3.7.2 Espace H des fonctions d’onde d’une
3.7.3 Opérateurs position et impulsion . .
Observables . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Définition et exemples . . . . . . . .
3.8.2 Observables commutantes . . . . . .
3.8.3 Principe d’incertitude de Heseinberg
Operateur Evolution . . . . . . . . . .
3.9.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . .
3.9.2 Représentation de Heisenberg . . . .
4 Application de Mecanique Quantique
4.1 Rayonnement du Corps Noir . . .
4.1.1 Expérience . . . . . . . . . . .
4.1.2 Description classique . . . . . .
4.1.3 Description quantique . . . . .
4.2 Marche de Potentiel . . . . . . .
4.2.1 Cas 1: E > V0 . . . . . . . . .
4.2.2 Cas 2: E < V0 . . . . . . . . .
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particule
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Chapitre 1
Principes De La Mechanique
Classique
1.1
Introduction
Les lois de Newton peuvent être reformulées de façons différentes. Ces reformulations fournissent des méthodes plus puissantes et élégantes pour résoudre les problèmes qui possèdent de
nombreuses variables différentes. Dans les systèmes de coordonnées non-cartésiennes (exemple
coordonnées sphériques), les formulations des vecteurs sont compliquées par le fait que les directions orthogonales associées aux variables dépendent des valeurs de coordonnées généralisées.
L’avantage de ces reformulations alternatives des lois de Newton est basée sur le fait qu’elles
contiennent des quantités scalaires plutôt que des grandeurs vectorielles. Par conséquent, elles
ne nécessitent pas de transformer les équations du mouvement entre les coordonnées cartésiennes
et les non-cartésiennes
Il est utile de rappeller certaines notions de la mécanique classique. Pour cela, on considére
trois théories, il s’agit de la mécanique de
• Newton
• Lagrange
• Hamilton
Pour une particule ponctuelle on va introduire les notions suivantes:
• Position
• Vitesse
• Trajectoire
• Quantité de mouvement
• Energie
Pour une onde, on va voir
• Forme
• Longeur d’onde
• Pulsation
1
CHAPITRE 1. PRINCIPES DE LA MECHANIQUE CLASSIQUE
• Fréquence
• Période
• Intensité
1.2
Particule Ponctuelle
En physique classique, une particule ponctuelle qui se déplace dans R3 est caractérisée à chaque
instant t par deux vecteurs: sa position ~r et sa vitesse ~v . Dans le Système International de
mesure (SI), la position se mesure en mètres m et la vitesse en mètres par seconde m/s. Si l’on
considère ~r(t) comme une fonction continue et dérivable du temps, la relation mathématique qui
relie ~r et ~v est
d~r(t)
= ~v (t)
(1.1)
dt
L’ensemble des points ~r(t) dans l’espace, qui forme une courbe paramétrisé par le temps, s’appelle
la trajectoire du point considérée. Si l’on connaı̂t la position et la vitesse de la particule à l’instant
t = 0 ainsi que la force F~ à laquelle la particule est soumise et sa masse m, on peut calculer
la trajectoire de la particule en résolvant l’équation de Newton. (Principe fondamental de la
dynamique)
d2~r(t)
m~γ = m
= F~ (t)
(1.2)
dt2
où γ est l’accélération. La masse m se mesure en kilogrammes kg, et la force F~ | en Newton,
avec 1N = 1kgms−2 . Remarquez que la solution ~r(t) de l’équation de Newton donne accès aux
positions de la particule à tout temps ainsi que à ses vitesses ~v (t) à tout temps. A lieu de la
vitesse ~v , on utilise souvent la quantité de mouvement p~ de la particule, qui est donnée par
p~ = m~v
(1.3)
où m est la masse de la particule.
En physique classique on peut attribuer à chaque instant une position ~r(t) et une vitesse
~v (t) à la particule. Pour une particule donnée soumise à une force, les conditions initiales ~r(0)
et ~v (0) déterminent complètement l’évolution du système aux instants successifs. On dit que en
physique classique il y a “déterminisme”.
1.3
Mecanique Lagrangienne
L’approche de Lagrange pour la mécanique classique est basée sur une quantité scalaire, dite
le Lagrangien L, qui dépend des coordonnées généralisées et ses vitesses. Pour un système de
coordonnées cartésiennes, les coordonnées sont la position du particules x, y et z. Les vitesses
généralisées sont les dérivées temporelles des coordonnées, qui sont représentées par ẋ, ẏ et ż.
Pour un système de coordonnées non-cartésiennes, telles que les coordonnées sphériques, les
coordonnées généralisées pour une particule sont r, θ, et ϕ. Les vitesses généralisées sont les
dérivées temporelles des coordonnées ṙ, θ̇ et ϕ̇.
Par définition le Lagrangien est donné par la différence entre l’énergie cinétique T et l’énergie
potentielle V
L=T −V
(1.4)
En coordonnées cartésiennes, nous avons
L=
2
m 2 m 2 m 2
ẋ + ẏ + ż − V (x, y, z)
2
2
2
(1.5)
qui peut s’érire en coordonnées sphériques comme
m
m
m
L = ṙ2 + r2 θ̇2 + r2 sin2 θϕ̇2 − V (r, θ, ϕ)
(1.6)
2
2
2
Pour un problème de N particules, on note les coordonnées généralisées par qi , où i =
1, 2, · · · 3N correspondant aux 3 coordonnées pour chacune de N particules et ses vitesses
généralisées par q̇i . Le Lagrangien est une foncction de l’ensenble qi et q̇i , noté par L(qi , q̇i ).
Le Lagrangien correspondant est la somme de l’énergie cinétique des particules moins l’énergie
potentielle totale, qui est la somme des potentiels externes agissant sur chacune de ces particules
ainsi que la somme de toute potentiels d’interaction agissant entre les paires de particules.
1.3.1
Principe de la moindre ation
Les équations du mouvement proviennent d’un principe extremum, souvent appelé le principe
de moindre action. La quantité centrale dans ce principe est donné par la l’action S qui est un
nombre dépendant de la fonction spécifique qui est la trajectoire qi (t0 ). Ces trajectoires passent
par la position initiale à qi (0) jusqu’a la position finale qi (t). Ces deux ensembles de valeurs
sont supposés connus, et ils remplacent les deux ensembles de conditions initiales, qi (0) et q̇i (0),
utilisés dans la solution des lois de Newton. Il existe une infinité de trajectoires arbitraires qui
courent entre la position initiale et la position finale. L’action de l’une de ces trajectoires, qi (t0 )
est donnée par un nombre ayant la valeur de l’intégration
Z t
S=
dt0 L qi (t0 ), q̇i (t0 )
(1.7)
0
La valeur de S dépend du choix particulier de la trajectoire qi (t0 ). Le principe d’extremum
affirme que la valeur de S est un extremum, i.e. un maximum, minimum ou point de selle, pour
la trajectoire qui satisfait les lois de Newton.
Pour élucider le sens du principe extrémum, nous allons considérer une trajectoire arbitraire
q(t0 ) qui passe entre la position initiale et finale dans un intervalle du temps de durée t. Etant
donné que cette trajectoire est arbitraire, donc on peut definir une variation petite δq(t0 ) de la
trajectoire
δq(t0 ) = q 0 (t0 ) − q(t0 )
(1.8)
Il est important de noter que cet écart ou variation tend vers zéro aux points d’extrémité t0 = 0
et t0 = t puisque les trajectoires sont définiées aux positions initiale q(0) et finale q(t) à l’instant
t0 = 0 et t0 = t. Donc on peut écrire une variation d’action δS = S 0 − S telle que
Z t
Z t
0
0 0
0 0
δS =
dt L q (t ), q̇ (t ) −
dt0 L q(t0 ), q̇(t0 )
(1.9)
0
Z t
0
= δ
dt0 L q(t0 ), q̇(t0 )
(1.10)
0
Z t
=
dt0 δL q(t0 ), q̇(t0 )
(1.11)
0
= 0
(1.12)
car δq(t) est petite, donc cette action est minimale et par suite δS = 0. Puisque L est une
fonction de q(t0 ) et q̇(t0 ) donc sa variation est
δL =
=
∂L
δq +
∂q
∂L
δq +
∂q
∂L
δ q̇
∂ q̇
∂L d
δq
∂ q̇ dt0
(1.13)
(1.14)
3
CHAPITRE 1. PRINCIPES DE LA MECHANIQUE CLASSIQUE
où on a utilisé la relation δ q̇ =
d
dt0 δq.
Or on a
∂L d
d ∂L
d ∂L
δq
δq = 0
δq −
∂ q̇ dt0
dt ∂ q̇
dt0 ∂ q̇
(1.15)
Donc on remplace dans (1.14) pour avoir
δL =
∂L
d ∂L
d ∂L
δq
δq + 0
δq −
∂q
dt ∂ q̇
dt0 ∂ q̇
et par suite Eq. (1.11) devient
Z t
d ∂L
d ∂L
0 ∂L
dt
δq = 0
δq + 0
δq −
∂q
dt ∂ q̇
dt0 ∂ q̇
0
qui peut s’écrire encore comme
Z t
Z t
∂L
∂L
d ∂L
0 d
0
dt 0
dt δq
+
−
δq = 0
∂q
dt0 ∂ q̇
dt ∂ q̇
0
0
(1.16)
(1.17)
(1.18)
ce qui implique
Z
t
0
dt δq
0
∂L
−
∂q
d ∂L
dt0 ∂ q̇
∂L
+
δq
∂ q̇
t
=0
(1.19)
0
Mais d’après les hypothèses δq(0) = δq(t) = 0, donc le deuxième terme dans Eq. (1.19) est nulle
et par conséquent on se trouve avec
Z t
∂L
d ∂L
0
dt δq
−
=0
(1.20)
∂q
dt0 ∂ q̇
0
ce qui conduit à l’équation du mouvement suivante
d ∂L
∂L
− 0
=0
∂q
dt ∂ q̇
(1.21)
dite aussi équation de Euler-Lagrange. Elle peut se généraliser à un système de N objets comme
∂L
d ∂L
− 0
= 0,
∂qi dt ∂ q̇i
1.3.2
i = 1, 2, · · · 3N
(1.22)
Moment généralisé
Par définition, le moment conjugué généralisé de coordonnée generalisée qi est la quantité donnée
par la relation
∂L
pi =
(1.23)
∂ q̇i
Exemple: Comme exemple on peut considérer le Lagrangien en coordonnées cartésiennes Eq.
(1.5) pour déterminer les moments suivants
∂L
= mẋ
∂ ẋ
∂L
py =
= mẏ
∂ ẏ
∂L
pz =
= mż
∂ ż
Avec Eq. (1.23) on peut écrire Eq. (1.22) comme
px =
∂L dpi
− 0 =0
∂qi
dt
4
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
1.4
Mécanique de Hamilton
1.4.1
Introduction et définitions
La mécanique de Hamilton est basée sur la notion des coordonnées generalisées et les moments
generalisés. Les lois de Newton donnent des équations differentielles de seconde ordre et éxigent
la nécissité des conditions initiales. Donc pour résoudre ces équations il faut les intégrer deux
fois. Par exemple on considère l’équation differentielle suivante
mẍ = Fx = −
dV (x)
dx
(1.28)
Multiplions cette équation par ẋ pour avoir
mẋẍ = −ẋ
dV (x)
dx
(1.29)
Apres intégration, on trouve
m 2
ẋ = −V (x) + cst
(1.30)
2
Donc cette constante ce n’est rien que l’énergie mécanique
m
(1.31)
Em ≡ cst = ẋ2 + V (x)
2
Il est claire que pour trouver la solution de cette dernière équation il faut encore intéger une
autre fois. Dans ce cadre Hamilton a introduit une quantité basée sur l’équation différentielle
de première ordre.
Définition: Le Hamiltonien H(qi , pi , t) est une fonction des coordonnées généralisées qi et
moments generalisés pi . Il s’agit de la quantité suivante
H(qi , pi , t) = q̇i pi − L(qi , q̇i , t)
1.4.2
(1.32)
Equation de mouvement de Hamilton
Pour obtenir l’équation de mouvement d’apres l’approche de Hamilton il faut calculer en premier
lieu la dérivée totale de la fonction H(qi , pi , t). En Effet,
∂H
∂H
∂H
dqi +
dpi +
dt
∂qi
∂pi
∂t
∂L
∂L
∂L
= q̇i dpi + pi dq̇i −
dq̇i +
dqi +
dt
∂ q̇i
∂qi
∂t
∂L
∂L
∂L
= q̇i dpi + pi −
dqi −
dt
dq̇i −
∂ q̇i
∂qi
∂t
|
{z
}
dH =
(1.33)
(1.34)
(1.35)
=0
∂L
∂L
= q̇i dpi −
dqi −
dt
∂qi
∂t
(1.36)
En comparont Eqs. (1.33) et (1.36), on trouve les équations différentielles de première ordre
suivantes
∂H
q̇i =
(1.37)
∂pi
∂H
∂L
dpi
=−
=−
= −ṗi
(1.38)
∂qi
∂qi
dt
∂H
∂L
=−
(1.39)
∂t
∂t
5
CHAPITRE 1. PRINCIPES DE LA MECHANIQUE CLASSIQUE
dites équations de mouvement de Hamilton.
Exemple 1: Considérons le Lagrangien à une dimension
L=
m 2
ẋ − V (x)
2
(1.40)
∂L
= mẋ
∂ ẋ
(1.41)
Le moment est
px =
Le Hamiltonien correspondant s’écrit comme
H = px ẋ − L
m
= px ẋ − ẋ2 + V (x)
2
On remplace px pour avoir
H=
m 2
ẋ + V (x)
2
(1.42)
(1.43)
(1.44)
qui juste l’énergie de la particule.
Exemple 2: Particule en mouvement dans un potentiel central dont le Hamiltonienen en
coordonnées sphériques est
H=
1 2
1
1
pϕ + V (r)
p +
p2 +
2m r 2mr2 θ 2mr2 sin2 θ
(1.45)
qui représente l’énergie de la particule en coordonnées sphériques.
1.4.3
Temps d’evolution d’une grandeur physique
Etant donné une grandeur physique quelconque A, qui peut être représentée par une fonction
des coordonnées positions et moments, notée A(qi , pi , t). Le taux de variation de A par rapport
au temps est donnée par la dérivée totale
dA X ∂A
∂A
∂A
=
(1.46)
q̇i +
ṗi +
dt
∂qi
∂pi
∂t
i
On remplace les dérivée des positions et moments par les équations de mouvement de Hamilton
pour avoir
dA X ∂A ∂H
∂A ∂H
∂A
=
−
(1.47)
+
dt
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
∂t
i
1.4.4
Crochet de Poisson
Le crochet de Poisson de deux quantités A et B est donnée par l’expression
X ∂A ∂B
∂A ∂B
[A, B]CP =
−
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
(1.48)
i
L’équation du mouvement de A peut être écrite en terme du crochet de Poisson, à savoir
dA
∂A
= [A, H]CP +
dt
∂t
(1.49)
A partir de la définition en haut, on peut conclure que le crochet de Poisson est antisymétrique
[A, B]CP = −[B, A]CP
(1.50)
6
It est claire que
[A, A]CP = 0
(1.51)
Pour le Hamiltonien, on a
dH
∂H
= [H, H]CP +
dt
∂t
=⇒
dH
∂H
=
dt
∂t
(1.52)
Si le Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, donc il est constant. Autrement dit,
l’énergie est une quantité conservée.
On peut établir une relation importante entre les coordonnées positions et moments canoniquement conjugués à travers le crochet de Poisson. Elle est donnée par
X ∂pj ∂qk
∂pj ∂qk
[pj , qk ]CP =
−
(1.53)
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
X
= 0−
δij δik
(1.54)
i
= −δjk
(1.55)
On a également les relations suivantes
[pj , pk ]CP = [qj , qk ]CP = 0
(1.56)
Ces crochets de Poisson vont jouer un rôle important dans la mécanique quantique. Ils sont
reliés aux relations de commutation entre les positions et les moments.
1.5
Ondes
Une onde est une variation locale d’un paramètre physique qui se propage dans l’espace. Elle
transporte de l’énergie sans transporter nécessairement de la matière. Une onde progressive se
propageant dans la direction x, est décrite par une fonction de (x − ct) où x est la position, t le
temps et c est la célérité ou vitesse de propagation de l’onde. Par exemple une onde sinusoı̈dale
dans un espace à une dimension s’écrit
A(x, t) = A0 cos(kx − ωt + ϕ) =
A0 i(kx−ωt+ϕ)
e
+ e−i(kx−ωt+ϕ)
2
(1.57)
où les quantités suivantes sont
1. A0 est l’amplitude de l’onde
2. kx − ωt + ϕ est la phase
3. ϕ est la phase à l’origine
4. k =
2π
λ
est le vecteur d’onde
5. λ est la longueur d’onde
6. ω = 2πν =
2π
T
est la pulsation
7. ν est la fréquence
8. T est la période
7
CHAPITRE 1. PRINCIPES DE LA MECHANIQUE CLASSIQUE
9. c =
ω
k
=
T
λ
est la célérité.
Pour une onde représentée par une fonction A(t) en un point donnée de l’espace, on introduit
l’intensité de moyenne I de l’onde
Z
1 T 2
A (t)dt
(1.58)
I=
T o
1.6
Particule chargée dans un champ électromagnétique
Dans l’approximation classique, une particule de charge q dans un champ électromagnétique
→
− −
→
− −
représentée par E (→
r , t) et B (→
r , t) est soumis à une force de Lorentz
→
−
→
− →
→
− →
1→
−
−̇
−
F = q E ( r , t) + r ∧ B ( r , t)
(1.59)
c
→
− −
−
~ →
La force de Lorentz agit comme une action des champs électrique E(
r , t) et magnétique B (→
r , t).
En mécanique classique, les champs sont des observables par les forces qu’elles s’exercent sur
une particule chargée.
1.6.1
Champ électromagnétique
Le champ électromagnétique vérifie les équations de Maxwell
→
− →
− −
∇ · B (→
r , t) = 0
→
− →
− −
− →
1∂→
∇ ∧ E (→
r , t) +
B (−
r , t) = 0
c ∂t
→
− →
− −
−
∇ · E (→
r , t) = ρ(→
r , t)
→
− →
− →
− →
1
∂→
1→
− −
∇ ∧ B (−
r , t) +
E (−
r , t) = j (→
r , t)
c ∂t
c
(1.60)
(1.61)
(1.62)
(1.63)
→
− −
−
où ρ(→
r , t) et j (→
r , t) sont les densités de charge et de courant. Les deux dernières équations
décrivent la relation entre les champs et les sources. Les deux premières équations sont les sources
−
libres équations et sont automatiquement satisfaites si l’on introduit un potentiel scalaire φ(→
r , t)
→
− →
−
et un potentiel vecteur A ( r , t) tels que
→
− →
→
− →
− −
B (−
r , t) = ∇ ∧ A (→
r , t)
(1.64)
→
− →
→
− −
− →
1∂→
E (−
r , t) = − ∇φ(→
r , t) +
A (−
r , t)
(1.65)
c ∂t
→
− −
→
− −
En mécanique classique, les champs électrique E (→
r , t) et magnétique B (→
r , t) sont considérés
−
comme des champs physiques mesurables, par contre les potentiels scalaire φ(→
r , t) et vecteur
→
− →
−
A ( r , t) ne sont pas physiquement des quantités mesurables. Ces potentiels sont arbitraires et
ils sont définis comme êtant des solutions d’équations différentielles qui ont reliés a des quantités
→
− −
→
− −
physiques mesurables E (→
r , t) et B (→
r , t). Puisque Ces potentiels sont arbitraires donc il y a
une transformation de jauge, qui signifie que les potentiels ne sont pas uniques. Si on remplace
les potentiels par de nouvelles quantités
1∂ →
−
−
Λ(−
r , t)
φ(→
r , t) −→ φ(→
r , t) −
c ∂t
→
− →
→
− −
− −
1→
A (−
r , t) −→ A (→
r , t) + ∇Λ(→
r , t)
c
8
(1.66)
(1.67)
→
− −
−
avec Λ(→
r , t) est une fonction scalaire arbitraire quelconque, les champs physiques, E (→
r , t) et
→
− →
−
B ( r , t), restent les mêmes. Cette transformation est dite transformation de jauge. Bien que les
→
− −
−
lois de la physique sont formuleés en termes de champs de jauge φ(→
r , t) et A (→
r , t), les résultats
physiques sont invariants de jauge.
1.6.2
Lagrangien d’une particule classique chargée
Le Lagrangien d’une particule classique dans un champ électromagnétique est exprimé comme
suit
− −
m
q→
−̇
−
L = ṙ2 − qφ(→
r , t) · →
r
(1.68)
r , t) + A (→
2
c
Le moment canonique est
− −
q→
→
−
−̇
p = m→
r + A (→
r , t)
(1.69)
c
Les équations de mouvement pour la particule classique sont
− − →
− −
− →
− −
d →
q→
q→
−
m−̇
r + A (→
r , t) = −q ∇φ(→
r , t) − ∇ A (→
r , t) · →
r
dt
c
c
(1.70)
où la dérivée est une dérivée du temps totale. La dérivée totale du vecteur potentiel est
− →
− →
→
−→
− −
∂→
d→
−̇
A (−
r , t) =
A (−
r , t) + →
r · ∇ A (→
r , t)
dt
∂t
(1.71)
qui décrit le changement au cours du temps du potentiel vecteur agissant sur la particule en
mouvement. Le changement de potentiel vecteur peut se produire en raison d’une dépendance
→
− −
temporelle explicite A (→
r , t) à une position fixe ou peut se produire en raison de la particule se
→
− −
déplaçant à une nouvelle position dans un champ non-uniforme A (→
r , t).
1.6.3
Hamiltonien d’une particule classique chargée
Le Hamiltonien d’une particule chargée est obtenue à travers le Lagrangien
−
−̇
H=→
p ·→
r −L
(1.72)
En utilisant Eqs. (1.68) and (1.69) pour avoir
H=
− − 2
1 →
q→
−
−
p − A (→
r , t) + qφ(→
r , t)
2m
c
(1.73)
La présence du champ électromagnétique a introduit les changements suivants
− −
q→
→
−
−
r , t)
p −→ →
p − A (→
c
−
H −→ H − qφ(→
r , t)
(1.74)
(1.75)
qui constitue le Hamiltonien de base utilisé dans l’équation de Schrödinger en mécanique quantique.
En developpant le terme quadratique de l’énergie cinétique, on trouve le Hamiltonien comme
étant la somme du terme non-perturbé et le terme d’interaction
1 →
−
→
−
2
H=
p + qφ( r , t) + Hint
(1.76)
2m
9
CHAPITRE 1. PRINCIPES DE LA MECHANIQUE CLASSIQUE
avec Hint décrit le couplage de la particle au potentiel vecteur
Hint = −
→
− −
→
− −
−2 →
q →
q2 →
−
−
p · A (→
r , t) + A (→
r , t) · →
p +
A (−
r , t)
2
2mc
2mc
(1.77)
où le premier terme linéaire en A est le couplage paramagnétique et le dernier terme du second
degré de A est connu que comme l’interaction diamagnétique. Pour un champ magnétique
→
− −
→
−
uniforme B (→
r , t) = B , le potentiel vecteur prend la forme
−
→
− →
1− →
r ∧B
A (−
r)=− →
2
(1.78)
Donc Hint devient
→
− 2
→
− −
q →
q 2 →
−
−
r
∧
B
(1.79)
r ∧ B ·→
p +
2mc
8mc2
Le premier terme peut s’écrire comme le terme d’interaction de Zeeman entre le moment
magnétique orbital et le champ magnétique
Hint =
Hint = −
avec le moment orbital
− →
−
→
− 2
q →
q 2 →
−
B·L +
r
∧
B
2mc
8mc2
→
−
−
−
L =→
r ∧→
p
(1.80)
(1.81)
où le moment orbital magnétique M est reliée au moment angulaire orbital par
−
→
M=
Donc le terme de Zeeman devient
−
q →
L
2mc
−
→ →
−
HZ = −M · B
(1.82)
(1.83)
qui tend à aligner le moment magnétique parallèle au champ magnétique.
Fig 1.1: Une particule de charge q et de moment cinétique L moment magnétique M .
10
Chapitre 2
Echec et Quantification
Semi-classique
2.1
Echec de la Mécanique Classique
La mécanique classique n’arrive pas à décrire correctement certains phénomènes physiques, ce
c’est apparu premièrementt au niveau atomique. Historiquement, l’échec de la mécanique classique a été d’abord manifestée après la découverte de Rutherford de la structure l’atome. Classiquement, un électron en mouvement sur un orbite autour d’un noyau chargé devrait continue
à se rayonner de l’énergie selon la théorie électromagnétique de Maxwell. Avec ce rayonnement
l’électron a perdu de l’énergie, et par conséquent réduisant de façon continue le rayon de l’orbite
de l’électron. Ainsi, l’atome devient instable tant que l’électron spirle dans le noyau. Cependant, il est deja connu expérimentalement que les atomes sont stables et que les niveaux de
l’énergie atomique ont des valeurs discrètes. La quantification des niveaux d’énergie est vu
à travers l’expérience de Franck-Hertz, qui inclue des collisions inélastiques entre les atomes.
Autre preuve expérimentale pour la quantification des niveaux d’énergie atomique est donnée
par l’émission et l’absorption du rayonnement électromagnétique. Par exemple, la série de lignes
sombres observées dans le spectre émis lorsque la lumière, avec un spectre continu de longueurs
d’onde, tombe incident sur le gaz d’hydrogène, il est évident que le spectre d’excitation est constitué d’énergies discrètes. Niels Bohr a découvert que l’énergie d’excitation ∆E et la fréquence
angulaire de la lumière ω sont liées par l’intermédiaire
∆E = ~ω
(2.1)
La quantité ~ est dite constante de Planck, qui a pour valeur
~ = 1.0545 10−34 Js
= 0.65829 10
−15
eV s
(2.2)
(2.3)
La série de Balmer, Lyman et Paschen d’absorption électromagnétique par des atomes d’hydrogène
établit que ∆E prend des valeurs discrètes.
Une autre étape dans le développement de la mécanique quantique est apparue lorsque Louis
de Broglie a proposé le postulat de la dualité onde-particule, à savoir que les entités qui ont des
caractéristiques de particules possèdent également les caractéristiques d’ondes. Cette dualité est
formuleé en terme des des relations suivants
E = ~ω
→
−
→
−
p =~k
11
(2.4)
(2.5)
CHAPITRE 2. ECHEC ET QUANTIFICATION SEMI-CLASSIQUE
Les relations de Broglie ont été vérifiées par Davisson et Germer dans leurs expériences, dont
lesquelles un faisceau d’électrons incident est placé sur la surface d’un solide cristallin, et le
faisceau réfléchi a montré un chemin de diffraction indiquant que les électrons ont une longueur
d’onde λ. La condition de diffraction relie l’angle du faisceau diffracté au rapport de la séparation
entre les plans d’atomes et la longueur d’onde λ. En outre, la condition de diffraction tion a
montrée une variation entre les énergies de particules, qui est en conforme avec la relation
moment-Longeur d’onde.
2.2
Quantification semi-classique
La première vesion au phénomène quantique est du à Niels Bohr, qui a propose une conditions
additionelle à la mécanique classique. Cette condition reduit les valeurs continues des énergies
autorisées à un ensemble des énergies discrètes, appellée la quantification semi-classique et qui
peut s’ecrire comme
I
pi dqi = ni h
(2.6)
ou pi et qi sont les moments conjugués et les coordonnées generalisées, ni est un entier naturel
(n ∈ N) et h est une constante universelle. L’intégration est sur une période de l’orbite de la
particule dans l’espace de phase (pi , qi ). Les valeurs discrètes des énergies d’excitation, trouvées
pour l’atome d’hydrogène, sont en bon accord avec les énergies d’excitation disponible pour
l’absorption ou l’émission de lumière à partir de l’hydrogène gazeux.
Exercice: Supposons que les électrons effectuent des mouvements sur des orbites circulaires
dans le potential de Coulomb due au charge positive du noyau (Ze). Trouver les valeurs permises
de l’énergie lorsque la condition de la quantification semi-classique est imposée.
Solution: Le Lagrangien L est donné en terme de l’énergie cinétique T et énergie potentiele
V par L = T − V . En coordonnées sphériques (R, θ, ϕ), on trouve le Lagrangien
L=
m 2 m 2 2 m 2 2 2 Ze2
ṙ + r θ̇ + r sin θϕ̇ +
2
2
2
r
L’équation d’Euler-Lagrange pour le rayon r est donnée par
∂L
d ∂L
Ze2
=
=⇒
mrθ̇2 + mr sin2 θϕ̇2 − 2 = mr̈
∂r
dt ∂ ṙ
r
L’équation d’Euler-Lagrange pour l’angle θ:
∂L
d ∂L
=
=⇒
∂θ
dt ∂ θ̇
L’équation d’Euler-Lagrange pour l’angle ϕ:
∂L
d ∂L
=
=⇒
∂ϕ
dt ∂ ϕ̇
m 2
d 2 r sin 2θϕ̇2 = m
r θ̇
2
dt
0=m
d 2 2 r sin θϕ̇
dt
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Selon l’hypothèse, le mouvement est circulaire, que nous choisissons d’être dans le plan équatorial
(r = a, θ = π2 ). On remplace dans les équations du mouvement pour avoir
Ze2
= maϕ̇2
a2
0 = ma2 ϕ̈
12
(2.11)
(2.12)
Par conséquent, on constate que la vitesse angulaire est une constante ϕ̇ = ω.
Pour imposer la condition de quantification semi-classique il faut déterminer les moments
canoniques. Ils sont
∂L
=0
∂ ṙ
∂L
pθ =
=0
∂ θ̇
∂L
pϕ =
= mr2 sin2 θϕ̇ = ma2 ω
∂ ϕ̇
pr =
La condition de quantification semi-classique devient
I
pϕ dϕ = ma2 ω2π = nϕ h
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
Donc on obtien
ma2 ω = nϕ ~
Ze2
= maω 2
a2
(2.17)
(2.18)
ce qui donne le rayon de Bohr et la fréquence ω
ω=
Z 2 e4
n3ϕ ~3
(2.19)
a=
n2ϕ ~2
Ze2 m
(2.20)
Substituons ces équations dans l’expression de l’énergie E, pour avoir l’expression trouvée pour
la première fois par Bohr
m 2 2 Ze2
a ω −
2
a
Ze2
= −
2a
mZ 2 e4
= − 2 2
2nϕ ~
E =
(2.21)
(2.22)
(2.23)
Celle-ci est en accord avec l’expression non relativiste exacte de la mécanique quantique des
niveaux d’énergie des électrons liés à un ion H.
13
CHAPITRE 2. ECHEC ET QUANTIFICATION SEMI-CLASSIQUE
14
Chapitre 3
Principes de la Mecanique
Quantique
L’approche de Schrödinger pour la mécanique quantique est connue comme étant la mécanique
des ondes. Elle est basée sur des états d’un système donné, qui sont représentés par des fonctions
−
complexes Ψ(→
r ) définies dans l’espace euclidien dites fonctions d’onde, et sur des mesures, qui
sont représentées par des opérateurs différentiels linéaires. Une autre approche a été proposée
par Heisenberg, dont laquelle les états du système sont représentés par des matrices colonnes
et les mesures sont représentées par le carré des matrices. Cette dernière approche est connue
comme étant la formulation matricielle de Heisenberg pour la mécanique quantique. Dirac a
montré que ces deux approches sont équivalentes, qui a lui meme a proposé une autre approche
basée sur les représentation des états et opérateurs.
3.1
Probabilité
Au départ, on considére un système physique dans un temps fixé t, disons t = 0. La fonction
−
d’onde Ψ(→
r ), qui représente l’état d’une seule particule à cet instant, possède une interprétation
probabiliste. En effet, considérons un ensemble de N systèmes identiques sans interaction, dont
chacun contient un appareil de mesure et une seule particule. Chaque appareil de mesure a
−
sa propre référence interne avec son propre origine. Une mesure de la position →
r (référe au
système de coordonnées associé à l’appareil de mesure) doit être effectué sur chaque particule
dans l’ensemble. Juste avant que les mesures sont effectuées, chaque particule est dans un état
−
représenté par Ψ(→
r ). Les mesures des positions de chaque particule dans l’ensemble se traduira
−
par un ensemble de valeurs de →
r qui représente des points dans l’espace. La probabilité pour
→
−
qu’une mesure de la position r d’une particule donnera une valeur dans le volume infinitésimal
−
−
d3 →
r contenant le point →
r , est donnée par
2
−
−
−
−
P (→
r )d3 →
r = |Ψ(→
r )| d3 →
r
(3.1)
−
−
−
• P (→
r )d3 →
r est la probabilité de trouver la particule dans le volume infinitésimal d3 →
r
−
locaslisée au point →
r.
• La probabilité est directement proportionnelle à la dimension du volume.
2
−
−
• P (→
r ) = |Ψ(→
r )| est la densité de probabilité.
• Puisque la particule se trouve quelque part dans l’espace tridimensionnel, donc la probabilité est normalisée
Z
2
−
−
|Ψ(→
r )| d3 →
r =1
(3.2)
15
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
• La condition de normalisation doit être vraie pour tous le temps si le nombre de particules
est conservée.
−
−
On définit le produit interne ou produit scalaire entre deux états Φ(→
r ) et Ψ(→
r ) comme
étant la constante complexe suivante:
Z
−
−
−
Φ∗ (→
r )Ψ(→
r )d3 →
r
(3.3)
où l’intégration est effectuée sur tout le volume de l’espace à trois-dimensions. Il faut noter que
le produit scalaire de deux fonctions d’onde dépend de l’ordre dans lequel les fonctions d’onde
sont placées. Si le produit scalaire est pris dans le sens opposé, on trouve
Z
∗
Z
−
→
−
−
−
→
−
−
∗ →
3→
∗ →
3→
Ψ ( r )Φ( r )d r =
Φ ( r )Ψ( r )d r
(3.4)
qui est le conjugué complexe du produit scalaire d’origine Eq. (3.3).
−
• Il est calaire que la normalisation de la fonction d’onde Ψ(→
r ) se compose du produit
scalaire de la fonction d’onde avec elle-même.
• L’interprétation du module au carré de la fonction d’onde comme étant une densité de
probabilité exige que la normalisation d’un état doit être l’unité.
3.2
Principe de Superposition Linéaire
En mécanique quantique, la mesure d’une grandeur physique d’une seule particule, dans un
état unique, se traduira par une valeur de la quantité mesurée qui est l’une d’un ensemble de
résultats possibles an . La répétition de la mesure sur la particule dans le même état initial
peut donner d’autres valeurs am de la quantité mesurée. Ceci suggère que l’état d’un système
quantique, à tout instant, peut être représenté comme une superposition d’états correspondants
−
aux differents résultats possibles de la mesure. Supposons que Φn (→
r ) est l’état tel qu’une mesure
de la quantité A sur cet ’état va certainement donner le résultat an . La façon la plus simple de
−
faire une superposition d’états est d’ajouter des multiples linéaires de fonctions d’onde Φn (→
r)
correspondantes aux résultats possibles. Donc, le principe de superposition linéaire peut être
écrit sous la forme
X
−
−
Ψ(→
r)=
cn Φn (→
r)
(3.5)
n
où les coefficients cn sont des nombres complexes. Les cn peuvent être déterminés à partir de
−
−
la connaissance de la fonction d’onde Ψ(→
r ) et l’ensemble des fonctions Φn (→
r ) représentantes
les états dans lesquels une mesure de la quantité A donne le résultat an . On va voir que les
−
coefficients cn sont reliés à la probabilité pour que la mesure sur Ψ(→
r ) donne la valeur an .
Le principe de superposition linéaire de la fonction d’onde peut conduire à une interference
−
dans les résultats de mesure. Par exemple, les résultats d’une mesure de la position →
r de la
particule conduit à la probabilité
2
−
−
−
−
P (→
r )d3 →
r = |Ψ(→
r )| d3 →
r
X
−
−
−
=
c∗m cn Φ∗m (→
r )Φn (→
r )d3 →
r
(3.6)
(3.7)
n,m
En separant les termes avec n = m, on trouve des termes dans lesquels les phases de les fonctions
−
d’onde Φn (→
r ) et les phases des nombres complexes cn séparément s’annulent. Les autres termes
16
pour n 6= m représentent les interférences
X
X
2
−
−
−
−
−
−
−
|cn |2 |Φn (→
r )| d3 →
r +
c∗m cn Φ∗m (→
r )Φn (→
r )d3 →
r
P (→
r )d3 →
r =
n
(3.8)
n6=m
−
Le coefficient |cn |2 est la probabilité pour que l’état representé par la fonction d’onde Ψ(→
r ) est
dans l’état n.
Exemple: Considérons un état comme étant la superposition de deux états définies par les
→
−
→
−
−
−
moments →
p = ~ k et →
p = −~ k . Les états de déplacement en avant et en arrière sont
→
− −
−
→ (→
−
→ exp +i k · →
Φ−
r
)
=
c
r
(3.9)
k
k
→
− −
−
→ (→
−
→ exp −i k · →
Φ−−
r
)
=
c
r
(3.10)
k
−k
Ces états ne sont pas normalisés et par conséquent chaque état doit représenter des faisceaux de
particules avec un moment précis dans lequel les particules sont uniformément répartis sur tout
l’espace Les densités de probabilité ou intensités des deux faisceaux indépendants sont données
par
−
−
→ (→
Pk (→
r ) = Φ−
r)
k
2
2
→
= c−
k
−
−
→ (→
P−k (→
r ) = Φ−−
r)
k
2
(3.11)
2
→
= c−−
k
(3.12)
Pour simplifier on suppose que les deux faisceaux ont la même intensité
2
→
c−
k
2
→
= c−−
k
(3.13)
donc on peut avoir deux coefficients complexes:
c± = |c|eiθ±
Maintenant la superposition des deux faisceaux donne la fonction d’onde suivante:
−
−
→ → θ+ −θ− → → θ+ −θ− θ +θ
+i k ·−
r+ 2
−i k ·−
r+ 2
→
−
i +2 −
e
Ψ( r ) = |c|e
+e
(3.14)
(3.15)
−
Donc la densité de probabilité de trouver la particule dans la position →
r est
2
−
−
P (→
r ) = |Ψ(→
r )|
− →
θ+ − θ−
−
2
2 →
= 4|c| cos
k · r +
2
(3.16)
(3.17)
On remarque que les deux faisceaux s’interférent et la superposition donne lieu à des plans
consecutifs d’interférence. Les plans maximaux sont localisés aux points
→
− →
θ+ − θ−
k ·−
r +
= nπ
2
(3.18)
tandis que les minimaux sont aux points
→
− →
θ+ − θ−
π
k ·−
r +
= (2n + 1)
2
2
(3.19)
17
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
3.3
Paquet d’Onde
En combinant les états de moments, on peut obtenir des états dans lesquels la particule est
essentiellement localisée dans un volume fini. Ces états localisés sont définis comme étant des
paquets d’onde. Ce sont les états les plus proches pour avoir l’état classique d’une particule libre,
qui a une position et impulsion (moment) bien définies. En mécanique quantique, un paquet
d’onde traduit la distribution des résultats de mesure de la position et du moment (impulsion)
autour des valeurs classiques, voir Figure 3.1
Fig 3.1: Les parties réelles et imaginaires d’une fonction d’onde Ψ(x) représentantes un paquet
d’onde Gaussien à une dimension.
−
→−
→
Mathematiquement, un paquet d’onde est une superposition linéaire d’ondes planes ei k · r
de la forme
Z
→
→−
→
−
− i−
1
→
−
k ·→
r
Ψ( r ) =
(3.20)
Φ
k
e
d3 k
3/2
(2π)
→
−
qui est le transformé de Fourier inverse de la foncction d’onde Φ k définie dans l’espace des
moments. Puisque le facteur exponentiel représente des états de moments différents, alors cette
relation est un exemple de la façon dont une fonction d’onde peut être developée en fonction
d’états correspondants aux différents résultats possibles
de mesure d’une quantité physique. La
→
−
probabilité des moments ou bien correspondante à Φ k est
Pk
→
→
− 3→
−
− 2 3→
−
k d k = Φ k
d k
→
−
où la fonction Φ k est donnée par le transformé de Fourier
Z
→
−
→−
→
−
1
−
−
Ψ (→
r ) e−i k · r d3 →
r
Φ k =
3/2
(2π)
Injectons Eq. (3.22) dans Eq. (3.20) pour avoir
Z
Z
→ −
i−
→
−
1
→
−
−
→
−
3→
3→
0
0
k ·(→
r −−
r 0)
Ψ( r ) =
d k
d r Ψ r
e
(2π)3
(3.21)
(3.22)
(3.23)
D’aute part, la fonction Delta de Dirac dans un espace de 3-dimensions est donnée par
Z
→ −
→ −
→0
→
− −
1
−
−
d3 k ei k ·( r − r )
δ3 →
r −→
r0 =
(3.24)
3
(2π)
(3.25)
18
Donc on obtient
−
Ψ (→
r)=
1
(2π)3
Z
−
−
−
−
d3 →
r0 Ψ →
r 0 δ3 →
r −→
r0
(3.26)
qu’est une propriété bien connue de la fonction Delta de Dirac. Notons que
−
−
δ3 →
r −→
r 0 = δ x − x0 δ y − y 0 δ z − z 0
(3.27)
Chaque facteur dans les trois fonctions delta peut être remplacé par la représentation de la
fonction delta unidimensionnelle
0, x 6= x0
0
δ(x − x ) =
(3.28)
∞, x = x0
qui peut être vue comme la limite d’une séquence des fonctions Lorentzienes de largeur ε, à
savoir
ε
1
(3.29)
δ x − x0 = lim
ε−→0 π (x − x0 )2 + ε2
Exemple: Pour mieux comprendre la notion de paquet d’ondes, on propose Figure 3.2:
Fig 3.2: Paquet d’onde à une dimenion.
3.4
Moyenne et Variation
En mécanique quantique, on traite souvent des systèmes dans un état bien défini. Cependant, le
résultat d’une mesure particulière est indéterminée et en général le résultat de la mesure ne peut
pas être prédite avec une certitude absolue. Pour cela, nous allons rappeller quelques notions de
la probabilités et de la moyenne. La valeur moyenne ou la moyenne d’une quantité mesurée A,
notée A, est exprimée comme une intégrale (et/ou une somme) sur toutes les valeurs possibles
d’une mesure, pondérée par la probabilité P (A), telle que
Z
A = dA P (A)A
(3.30)
19
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
qui peut etre generalisée pour toute puissance de A comme suit
Z
m
A = dA P (A)Am
(3.31)
La variation de la variable A à partir de sa valeur moyenne est définie par
∆A = A − A
(3.32)
∆A = A − A = 0
(3.33)
La valeur moyenne de ∆A est nulle car
La mesure de la fluctuation de A peut être obtenue à travers la moyenne au carré de la variation,
à savoir
Z
2
2
∆A =
dA P (A) A − A
(3.34)
Z
2
=
dA P (A) A2 − 2AA + A
(3.35)
= A2 − A
2
(3.36)
La variance est définie comme étant la racine carré de la variation
p
∆A =
∆A2
q
2
=
A2 − A
(3.37)
(3.38)
qui mesure la fluctuation de la variable A ou bien l’incertitude.
3.5
3.5.1
Opérateurs et Mesures
Définitions
Dans la mécanique ondulatoire de Schrödinger, une quantité mesurable est représentée par un
opérateur différentiel linéaire Â. Un opérateur Â est défini par son action sur les états représentés
−
−
−
par des fonctions d’onde Ψ(→
r ). L’opérateur Â transforme l’état Ψ(→
r ) en un autre d’état Φ(→
r)
à travers la relation suivante:
−
−
ÂΨ(→
r ) = Φ(→
r)
(3.39)
Une mesure effectuée sur un système en mécanique quantique perturbe généralement le système
en provoquant ainsi un changement dans l’état du système. Puisque la mesure se traduit par
un changement de l’état d’un système, donc cette mesure est représentée par un opérateur.
−
Un opérateur linéaire Â est défini par son action sur un état Ψ(→
r ), qui est une superposition
linéaire
X
−
−
Ψ(→
r)=
cn Φn (→
r)
(3.40)
n
−
Un opérateur Â agissant sur un état Ψ(→
r ) est définie comme un opérateur linéaire si et seulement
s’il vérifie la condition
X
X
−
−
Â
cn Φn (→
r)=
cn ÂΦn (→
r)
(3.41)
n
n
Autrement dit, l’état résultant doit être équivalent à la superposition des états formé par l’action
−
de Â sur les composantes Φn (→
r ).
Exemples:
20
−̂
−
−
• L’opérateur position →
r est donné par le vecteur →
r . Son action sur l’état Ψ(→
r ) est juste
−
la multiplication par →
r:
→
−̂
−
−
−
r Ψ(→
r)=→
r Ψ(→
r)
(3.42)
→
−
→
−
−̂
• L’opérateur moment (impulsion) →
p est donné par −i~ ∇. En coordonnées cartésiennes ∇
s’écrit comme
→
− ∂
→
−
→
− ∂
→
− ∂
∇= i
+ j
+ k
(3.43)
∂x
∂y
∂z
L’action de l’opérateur moment sur un état est
→
− −
→
−̂
−
p Ψ(→
r ) = −i~ ∇Ψ(→
r)
(3.44)
• L’opérateur énergie cinétique est
2
→
−̂
−2
~2 →
p
=−
∇
T̂ =
2m
2m
(3.45)
Son action sur l’état s’ecrit comme
−2 →
~2 →
−
T̂ Ψ(→
r)=−
∇ Ψ(−
r)
2m
(3.46)
où le Laplacien en coordonnées cartésiennes est
→
−2
∂2
∂2
∂2
+
+
∇ =
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(3.47)
Remarque: Les opérateurs ont aucune signification mathématique, sauf quand ils agissent sur
une fonction d’onde.
3.5.2
Opérations
Addition: Étant donné deux opérateurs différentiels Â et B̂, qui agissent sur une fonction
−
d’onde Ψ(→
r ) comme suit
−
−
ÂΨ(→
r ) = ΦA (→
r)
→
−
→
−
B̂Ψ( r ) = Φ ( r )
(3.48)
(3.49)
B
−
où les fonctions d’onde finale ΦX (→
r ), (X = A, B), dépendent du choix particulier de la fonction
→
−
d’onde Ψ( r ). La somme de ces deux opérateurs est définie par
−
−
−
Â + B̂ Ψ(→
r ) = ÂΨ(→
r ) + B̂Ψ(→
r)
(3.50)
→
−
→
−
= Φ (r)+Φ (r)
(3.51)
A
B
Exemples:
• Opérateur différentiel suivant:
∂2
∂
+3
+ x4
2
∂x
∂x
(3.52)
21
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
• L’opérateur énergie cinétique d’une particule en coordonnées cartésiennes:
2
∂
∂2
∂2
~2
+
+
T̂ = −
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(3.53)
Multiplication: Si deux opérateurs différentiels Â et B̂ agissent sur une fonction d’onde
→
−
Ψ( r ):
−
−
ÂΨ(→
r ) = ΦA (→
r)
→
−
−
B̂Φ ( r ) = Φ (→
r)
A
BA
(3.54)
(3.55)
alors le produit de ces deux opérateurs est définie par les actions successives
−
−
B̂ ÂΨ(→
r ) = B̂ΦA (→
r)
→
−
= Φ (r)
BA
(3.56)
(3.57)
Exemples: L’opérateur énergie cinétique à 1-dimension est donné par
T̂
p̂2x
2m
p̂x · p̂x
=
2m
1
∂
∂
=
−i~
−i~
2m
∂x
∂x
2
2
~ ∂
= −
2m ∂x2
=
(3.58)
(3.59)
(3.60)
(3.61)
Pour 3-dimensions, on a
T̂
2
→
−̂
p
=
2m
→
−̂
−̂
p ·→
p
=
2m ~2
∂2
∂2
∂2
= −
+
+
2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(3.62)
(3.63)
(3.64)
Remarques: En général, le produit de deux opérateurs dépend de l’ordre dans lequel ils agissent
sur la fonction d’onde. Si deux opérateurs agissent comme
−
−
B̂Ψ(→
r ) = ΦB (→
r)
→
−
−
ÂΦ ( r ) = Φ (→
r)
(3.65)
−
−
ÂB̂Ψ(→
r ) = ÂΦB (→
r)
→
−
= Φ (r)
(3.67)
−
6
=
ΦBA (→
r)
(3.69)
B
AB
(3.66)
alors on a
AB
22
(3.68)
Exemple: Supposons que Â =
produits différents
∂
∂x
et B̂ = xm avec m entier naturel. Donc on peut avoir deux
∂
(xm Ψ(x))
∂x
ÂB̂Ψ(x) =
= mxm−1 Ψ(x) + xm
B̂ ÂΨ(x) = xm
(3.70)
∂
Ψ(x)
∂x
∂
Ψ(x)
∂x
(3.71)
(3.72)
Commutateur: Le commutateur de deux opérateurs Â et B̂ est défini comme étant la
différence entre le produits de deux opérateurs prises dans des ordres différents
h
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â
(3.73)
Dans cette équation, comme les autres équations de l’opérateur, il faut toujours se rappeler que
les opérateurs sont supposés qu’ils agissent sur une fonction d’onde arbitraire. Notez que le
commutateur est anti-symétrique
h
i
h
i
Â, B̂ = − B̂, Â
(3.74)
Exemples: Pour Â =
∂
∂x
et B̂ = xm , on a
h
i
Â, B̂ Ψ(x) = ÂB̂Ψ(x) − B̂ ÂΨ(x)
∂
∂
(xm Ψ(x)) − xm Ψ(x)
∂x
∂x
m−1
= mx
Ψ(x)
=
(3.75)
(3.76)
(3.77)
∂
En particulier pour x̂ et p̂x = −i~ ∂x
, on trouve
[x̂, p̂x ] Ψ(x) = x̂ (p̂x Ψ(x)) − p̂x (x̂Ψ(x))
∂
∂
(xΨ(x))
= −i~x Ψ(x) + i~x
∂x
∂x
∂
∂x
∂
= −i~x Ψ(x) + i~ Ψ(x) + i~x Ψ(x)
∂x
∂x
∂x
= i~
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
Pour les trois opérateurs , on a
[x̂, p̂x ] = [ŷ, p̂y ] = [ẑ, p̂z ] = i~
(3.82)
et les autres commutateurs sont nuls
[x̂, p̂y ] = [ŷ, p̂x ] = 0
(3.83)
[x̂, p̂z ] = [ẑ, p̂x ] = 0
(3.84)
[ŷ, p̂z ] = [ẑ, p̂y ] = 0
(3.85)
Le commutateur d’un opérateur Â et la somme de deux opérateurs B̂ et Ĉ est donné par
h
i h
i h
i
Â, B̂ + Ĉ = Â, B̂ + Â, Ĉ
(3.86)
23
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
Le commutateur d’un opérateur Â et le produit de deux opérateurs B̂ et Ĉ est
h
i h
i
h
i
Â, B̂ Ĉ = Â, B̂ Ĉ + B̂ Â, Ĉ
h
i
h
i h
i
ÂB̂, Ĉ = Â B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂
(3.87)
(3.88)
−
−
Inverse d’un opérateur: Si ÂΨ(→
r ) = Φ(→
r ), l’opérateur qui fait passer de la fonction
→
−
→
−
d’onde Φ( r ) à la fonction d’onde Ψ( r ) s’appelle l’opérateur inverse de Â et on le note Â−1 .
On a donc
−
−
Ψ(→
r ) = Â−1 Φ(→
r)
−
−1
ÂΨ(→
r)
= Â
−
r)
= Â−1 ÂΨ(→
(3.89)
(3.90)
(3.91)
ce qui implique le produit Â−1 Â est égal à l’opérateur unité ou identité et qu’on notera par le
symbole I:
Â−1 Â = I
(3.92)
−
−
−
−
De même on a Φ(→
r ) = ÂΨ(→
r ) = Â Â−1 Φ(→
r ) = ÂÂ−1 Φ(→
r ), donc
ÂÂ−1 = I
(3.93)
Notons que un opérateur non nul peut ne pas admettre d’inverse.
3.5.3
Equations aux valeurs propres
−
Etant donné un opérateur différentiel Â, on peut trouver ses fonctions propres ϕa (→
r ) et ses
valeurs propres a. Ils peuvent être calculer à travers de l’équation aux valeurs popres
−
−
Âϕa (→
r ) = aϕa (→
r)
(3.94)
Exemple: Onde plane
• à 1-dimension:
p̂x ϕpx (x) = px ϕpx (x)
d
= −i~ ϕpx (x)
dx
(3.95)
(3.96)
ce qui donne
i
ϕpx (x) = Ce ~ px x
(3.97)
avec C constante d’intégration et px ∈]−∞, +∞[. Notons que Eq. (3.97) sont des fonctions
propres de l’opérateur énergie cinétique:
i p2 i T̂x Ce ~ px x = x Ce ~ px x
2m
associées aux valeurs propres
24
p2x
2m .
(3.98)
• à 3-dimesnions: pour les 3 operateurs p̂x , p̂y et p̂z les fonctions propres sont
i
i
i
Ψ(x, y, z) = Ce ~ px x e ~ py y e ~ pz z
(3.99)
asoosciées aux valeurs propres px , py et pz . Les Ψ(x, y, z) sont également des fonctions
2
−̂
→
p2
p
1
associées aux valeurs propres 2m
= 2m
p2x + p2y + p2z .
propres de l’opérateur T̂ = 2m
→
−
D’une manière générale, étant donné une fonction propre
a ( r ) d’un opérateur Â associée
Ψ
à la valeur propre a, alors toute fonction de l’opérateur f Â satisfait l’équation aux valeurs
propres
−
−
r ) = f (a)Ψa (→
r)
(3.100)
f Â Ψa (→
où la valeur propre est f (a).
3.5.4
Produit scalaire
Définition: On appelle produit scalaire sur un espace vectoriel H, une correspondance qui
à tout couple (Ψ, Φ) de deux fonctions d’onde de H associe un nombre complexe
Z
−
−
−
hΨ, Φi = Ψ∗ (→
r )Φ(→
r )d3 →
r
(3.101)
Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes:
• Le complexe conjugué d’un nombre hΨ, Φi est
hΨ, Φi = hΦ, Ψi∗
(3.102)
• Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition vectorielle. En effet, pour tout
−
−
−
fonctions d’onde Ψ(→
r ), Φ(→
r ) et ϕ(→
r ) de H on a
hΨ, Φ + ϕi = hΦ, Ψi + hΦ, ϕi
(3.103)
• Pour un nombre complexe λ, on a :
hΨ, λΦi = λhΨ, Φi
(3.104)
−
• Pour tout Ψ(→
r ) 6= 0 le produit scalaire est dit défini positif
hΨ, Ψi > 0
(3.105)
Propriétés:
−
−
• Deux fonctions d’onde Ψ(→
r ) et Φ(→
r ) sont orthogonales si et seulement si
hΨ, Φi = 0
(3.106)
• Le produit d’une fonction d’onde par un nombre complexe est situé à gauche
hλΨ, Φi = λ∗ hΨ, Φi
(3.107)
• La norme d’une fonction d’onde est définie par
p
−
kΨ(→
r )k = hΨ, Ψi
(3.108)
Remarque: Un espace vectoriel complexe muni d’un produit scalaire défini positif est appelé
un espace préhilbertien ou encore un espace hermitien.
25
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
3.5.5
Opérateur adjoint
Définition: Soient un espace vectoriel hermitien H et un opérateur linéaire Â sur H.
L’opérateur adjoint Â† de de Â est un opérateur linéaire donné par
hΨ, ÂΦi = hÂ† Ψ, Φi
(3.109)
∗
(3.110)
= hÂΦ, Ψi
Propriétés:
†
• L’adjoint de l’operateur Â† est Â† = Â. En effet,
†
hΨ, Â Φi =
Â
†
†
Ψ, Φ
= hÂ† Φ, Ψi∗
(3.111)
(3.112)
∗
= hΦ, ÂΨi
(3.113)
= hÂΨ, Φi
(3.114)
†
• L’djoint de l’opérateur λÂ est λÂ = λ∗ Â† . En effet,
hΨ, λÂΦi = λhΨ, ÂΦi
(3.115)
†
= λhÂ Ψ, Φi
(3.116)
∗
(3.117)
†
= hλ Â Ψ, Φi
†
=
λÂ Ψ, Φ
• L’adjoint de l’opérateur somme est
Â + B̂
(3.118)
†
= Â† + B̂ †
(3.119)
†
= B̂ † Â†
(3.120)
• L’adjoint de l’opérateur produit est
3.5.6
ÂB̂
Opérateurs hermitiens
Définition:
• Un opérateur linéaire Â est dit hermitien ou auto-adjoint s’il coı̈ncide avec son adjoint,
c’est-à-dire Â vérifie la condition
Â = Â†
(3.121)
En terme de produit scalaire, on a
hΨ, ÂΦi = hÂΨ, Φi
= hÂΦ, Ψi
(3.122)
∗
(3.123)
• On appelle opérateur antihermitien un opérateur tel que :
Â† = −Â
26
(3.124)
Propriétés:
• La somme de deux opérateurs hermitiens est également un opérateur hermitien, de même
que le produit d’un opérateur hermitien par un nombre réel.
• Le produit de deux opérateurs hermitiens Â et B̂ n’est pas un opérateur hermitien:
ÂB̂
†
= B̂ † Â† = B̂ Â
(3.125)
sauf s’ils commutent, c’est-à-dire ÂB̂ = B̂ Â.
• Si Â est un opérateur hermitien inversible, alors son inverse Â−1 est aussi un opérateur
hermitien.
• Si on multiplie par le nombre imaginaire i un opérateur antihermitien, on obtient un
opérateur hermitien:
†
(3.126)
iÂ = −iÂ† = −i −Â = iÂ
3.5.7
Opérateurs unitaires
Définition:
• Un opérateur Â est unitaire s’il vérifie les relations suivantes:
ÂÂ† = Â† Â = I
(3.127)
hÂΨ, ÂΦi = hΨ, Â† ÂΦi = hΨ, Φi
(3.128)
ou bien
Propriétés:
• Le produit de deux opérateurs unitaires Â et B̂ est un opérateur unitaire. En effet, soit
l’opérateur Ĉ = ÂB̂, on
(3.129)
Ĉ † Ĉ = B̂ † Â† ÂB̂ = IB̂ † B̂ = I
• Un opérateur unitaire peut toujours s’écrire comme la somme:
Â = B̂ + iĈ
(3.130)
avec B̂ et Ĉ sont deux opérateurs hermitiens qui commutent, tels que
B̂ =
3.5.8
1
Â + Â† ,
2
Ĉ =
1 Â − Â†
2i
(3.131)
Représentation matricielle
−
Soit un opérateur linéaire Â agissant sur des fonctions d’onde Ψ(→
r ) d’un espace vectoriel H de
→
−
dimension finie. On note par ϕi ( r ) les fonctions d’onde formant une base orthonormée de H,
−
donc quelque soit Ψ(→
r ) on a
X
−
−
Ψ(→
r)=
ci ϕi (→
r)
(3.132)
i
27
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
−
−
où les coefficient ci sont les composantes de Ψ(→
r ) sur la base ϕi (→
r ). L’action de Â donne une
→
−
nouvelle fonction d’onde Φ( r ):
−
−
ÂΨ(→
r ) = Φ(→
r)
X
−
r)
=
ci Âϕi (→
(3.133)
(3.134)
i
On peut définir l’action de Â sur la base comme
X
−
−
Âϕi (→
r)=
aji ϕj (→
r)
(3.135)
j
−
où les nombres aji forment les éléments de la matrice de l’opérateur Â définie sur la base ϕi (→
r ).
Ils peuvent être déterminer à travers le produit scalaire
*
+
D
E
X
ϕj , Âϕi
=
ϕj ,
aki ϕk
(3.136)
j
=
X
aki hϕj , ϕk i
(3.137)
aki δjk
(3.138)
j
=
X
j
= aji
(3.139)
car la base est orthonormée hϕj , ϕk i = δjk . Donc pour un espace vectoriel H de dimension n, la
matrice de l’opérateur Â est


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 

(Â) = 
(3.140)
 ··· ··· ··· ··· 
an1 an2 · · · ann
3.5.9
Notation de Dirac
−
Etat quantique: Rappellons qu’une fonction d’onde Ψ(→
r ) dans un espace H, associée à une
particule, représente une certaine réalité physique qui est l’état quantique dans lequel se trouve
cette particule. Cette fonction d’onde peut être représentée sous diverses formes mathématiques
mais ces dernières ne font évidemment que décrire une seule réalité physique. Sans se référer à
une réalisation particulière, Dirac a representé l’état quantique d’une particule par le symbole
| i : vecteur ket ou ket
(3.141)
−
dit le vecteur d’état de la particule. Par exemple, si Ψn (→
r ) est une fonction d’onde d’une
particule, son vecteur d’état correspondant est
|Ψn i ≡ |ni
(3.142)
Les combinaisons linéaires de kets sont aussi des kets, par exemple:
|Ψ3 i = α1 |Ψ1 i + α2 |Ψ2 i
(3.143)
L’espace dual de H est un espace noté H∗ dans lequel, le symbole qui représentant l’état quantique de la particule est
h | : vecteur bra ou bra
(3.144)
28
Le bra et ket est défini par
h | i : braket
(3.145)
Produit scalaire: On utilise la notation h | i pour désigner le nombre complexe égal au
produit scalaire
hΨ|Φi = hΨ, Φi
(3.146)
On peut écrite toutes les propriétés du produit scalaire comme
hΨ|Φi = hΦ|Ψi∗
(3.147)
hΨ|Φ + ϕi = hΨ|Φi + hΨ|ϕi
(3.148)
hΨ|λΦi = λ hΨ|Φi
(3.149)
hΨ|Ψi > 0,
(3.150)
|Ψi =
6 0
∗
hλΨ|Φi = λ hΨ|Φi
(3.151)
Opérateurs linéaires: Un opérateur linéaire Â qui agit sur un ket |Ψi donne un vecteur
Â |Ψi tel que
E
Â |Ψi = ÂΨ
(3.152)
E
Le produit scalaire des deux vecteurs |Φi et ÂΨ s’écrit
D
E
Φ ÂΨ = hΦ| Â |Ψi
(3.153)
Les élements de matrice:
hψj | Â |ψi i = aji
(3.154)
avec hψj | des vecteurs lignes, |ψi i des vecteurs colonnes et Â est une matrice carrée.
3.5.10
Valeurs et vecteurs propres des opérateurs hermitiens
Les opérateurs hermitiens ont des valeurs propres et vecteurs propres qui possèdent trois propriétés importantes. Il s’agit de
1. Les valeurs propres sont des nombres réels.
2. Deux vecteurs propres quelconques aossociés aux différentes valeurs propres ayant des
éléments de marrice nuls. Ont dit que ces vecteurs sont orthogonaux.
3. Tout vecteur peut s’écrire en termes d’un ensemble complet des vecteurs propres d’un
opérateur hermitien.
Preuve: On va maintenant démonter les deux premières propriétés. Considérons un ensemble des veteurs propres de l’opérateur Â verifiant l’equation aux valeurs propres
Â |φa i = a |φa i
(3.155)
Les éléments de la matrice avec un vecteur propre correspondant à la valeur propre b est
hφb | Â |φa i = a hφb |φa i
(3.156)
29
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
or Â est un opérateur hermicien
hφa | Â† |φb i∗ = hφa | Â |φb i∗
∗
= hφa | b |φb i
∗
= b hφb |φa i
(3.157)
(3.158)
(3.159)
car b est une valeur propre de Â associée à au vecteur propre |φb i. Donc la différence entre Eq.
(3.156) et Eq. (3.159) donne
(a − b∗ ) hφb |φa i = 0
(3.160)
Si les deux valeurs propres sont identiques b = a, et |φa i est normalisé à l’unité, il faut avoir
a = b∗ = a∗
(3.161)
Par conséquent, nous avons démontré que les valeurs propres d’une opérateur hermitien sont
réelles. Si les valeurs propres sont différentes b 6= a, alors
hφb |φa i = 0
(3.162)
donc les vecteurs propres de l’opérateur hermicien associés aux différentes valeurs propres sont
orthogonaux.
On va montrer comment les propriétés d’orthonormalité des vecteurs propres permettent la
détermination des coefficients cn d’un vecteur quelconque
|Ψi =
X
cn |φn i
(3.163)
n
L’élement de matrice avec |φm i est
X
hφm |Ψi =
cn hφm |φn i
(3.164)
cn δnm
(3.165)
n
X
=
n
= cm
(3.166)
Par conséquent, le developpement d’un vecteur quelconque peut être écrit sous la forme
|Ψi =
X
hφn |Ψi |φn i
(3.167)
|φn i hφn |Ψi
(3.168)
n
=
X
n
= |Ψi
(3.169)
ce qui implique la relation suivante
X
|φn i hφn | = I
(3.170)
n
Cette égalité est appelée relation de fermeture verifiée par les vecteurs de base {|φn i} de
l’operateur Â.
30
3.5.11
Opérateurs hermitiens et mesures physiques
La mesure d’une grandeur physique A peut aboutir à un ensemble de nombres réels a, qui sont
les résultats possibles de la mesure. Il est raisonnable de représenter l’opérateur correspondant à
A comme un opérateur hermitien Â, où les valeurs propres correspondent à l’ensemble possible
des résultats a. Considérons un vecteur |Ψi qui peut s’écrire sur la base des vecteurs propre de
l’opérateur herminien Â
X
ca |φa i
(3.171)
|Ψi =
a
La probabilité de trouver un résultat spécifique a dans la mesure de la quantité A est donnée
par
P (a) = |ca |2
(3.172)
L’orthonormalité entre les vecteurs propres assure que la probabilité P (a) est une quantité
normalisée
hΨ|Ψi = 1
X
c∗b ca hφb |φa i
=
(3.173)
(3.174)
a,b
=
X
c∗b ca δab
(3.175)
|ca |2
(3.176)
a,b
=
X
a
Donc la somme sur les probabilités P (a) est également normalisé à l’unité.
3.5.12
Opérateur projection
Considérons un vecteur (état) normalisé |ψi, c’est-àdire hψ|ψi = 1. Définissons un opérateur P̂ψ
par
P̂ψ = |ψi hψ|
(3.177)
en suite apppliquons Pψ à un vecteur |φi
P̂ψ |φi = |ψi hψ|φi
(3.178)
ce qui donne un autre vecteur proportionnelle à |ψi où le coefficient de proportionnalité hψ|φi
est le produit scalaire entre les états |ψi et |φi. D’après, l’analyse de la mécanique classique, on
peut dire que le vecteur P̂ψ |φi est la projection orthogonale de |ψi sur le vcteur |φi. L’opérateur
P̂ψ est appelé opérateur projection ou bien un projecteur sur le vecteur |ψi.
L’opérateur P̂ψ vérifie la relation suivante:
P̂ψ2 = |ψi hψ|ψi hψ|
(3.179)
= |ψi hψ|
(3.180)
= P̂ψ
(3.181)
Soient |ψ1 i , |ψ2 i , · · · , |ψm i, m vecteurs formant un sous-espace Hm de l’espace H des vecteurs.
Le projecteur P̂m correspondant à Hm est
P̂m =
m
X
|ψn i hψn |
(3.182)
n=1
31
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
Son action sur un état |φi de l’espace H est
P̂m |φi =
m
X
|ψn i hψn |φi
(3.183)
n=1
c’est une combinaison linéaire des vecteurs |ψn i et par suite le vecteur P̂m |φi appartient à
l’espace Hm , voir Figure 3.3:
Fig 3.3:
3.6
Opérateur parité
−
−
L’opérateur parité Π̂ est défini par la transformation d’un point →
r de l’espace au point −→
r,
→
−
→
−
c’est-à dire r 7−→ − r . Son action sur un état ou fonction d’onde
−
−
Π̂Ψ(→
r ) = Ψ(−→
r)
(3.184)
= Π̂x Π̂y Π̂z Ψ(x, y, z)
(3.185)
= Ψ(−x, −y, −z)
(3.186)
avec Π̂ = Π̂x Π̂y Π̂z . Cet opérateur est hermicien
Π̂ = Π̂†
(3.187)
Si on applique Π̂ deux fois sur un état on trouve bien l’opérateur identité
Π̂2 = Î
(3.188)
ce qui implque que les valeurs propres de Π̂ sont ±1 associées aux états propres suivants:
Π̂ |ψS i = |ψS i :
Etats symétriques ou pairs
(3.189)
Π̂ |ψA i = − |ψA i :
Etats anti-symétriques ou impairs
(3.190)
Par exemple pour Π̂x on a
Π̂x Ψ(x) = Ψ(−x) :
1D
Π̂x Ψ(x, y, z) = Ψ(−x, y, z) :
32
(3.191)
3D
(3.192)
3.7
Quantification
Puisque la mesure physique resulte dans un changement de l’état du système, les mesures devraient être représentées par des opérateurs. On a également affirmé qu’une mesure d’une
grandeur physique A donne une valeur réelle a comme un résultat de mesure et que immédiatement
après la mesure a été effectuée, il est certain que l’état resultant correspond à l’état dans lequel
A a pour valeur a. Cela signifie que, immédiatement après la mesure, le système se trouve dans
un état propre de l’opérateur Â qui a une valeur propre a. De plus, nous avons fait un choix
que les opérateurs physiques devraient être hermitiques afin que leurs valeurs propres doivent
etre réelles. Jusqu’à présent, nous avons examiné principalement l’aspet mathématique des
opérateurs et des fonctions d’onde en donnant plusieurs exemples physiques. Il reste à discuter
de la façon dont ces opérateurs sont choisis, et quelles sont les relations entre eux.
Un opérateur physique qui apparaı̂t dans la mécanique quantique est associée au nom d’une
quantité analogue ou une variable dans la mécanique classique. Pour cela, nous associons une
variable classique à un opérateur en mécanique quantique. Dans le formalisme Hamiltonien de la
mécanique classique, les quantités classiques peuvent être exprimées en termes des coordonnées
et moments (impulsions) et par fois du temps, mais pas de des dérivés. Ces relations sont appelées relations constitutives ou définitives. En mécanique quantique, les différents opérateurs
représentants des quantités physiques satisfont aux mêmes relations constitutives que les variables classiques. Autrement dit, les quantités classiques dans une relation définitive sont remplacées par des opérateurs quantiques. Cependant, l’ordre dans lequel les opérateurs apparaı̂sent
dans la définition peuvent être choisis judicieusement, car ils peuvent ne pas être des opérateurs
qui commutent.
3.7.1
Principe de correspondance
On a vu jusqu’a maintenant, chaque grandeur classique correspond un opérateur différentiel
−
agissant sur la fonction d’onde Ψ(→
r ). En mécanique quantique, on utilise les correspondances
suivantes pour l’énergie, la position et l’impulsion
E
−→
→
−̂
r
→
−̂
p
−→
−→
∂
∂t
→
−
r
→
−
−i~ ∇
i~
(3.193)
(3.194)
(3.195)
En termes des composantes, on peut écrire les dernières correspondances comme
x̂ −→ x,
ŷ −→ y,
p̂x −→ −i~
∂
,
∂x
p̂y
ẑ −→ z
∂
−→ −i~ ,
∂y
(3.196)
p̂z −→ −i~
∂
∂z
(3.197)
Avec ce principe on peut bien démontrer les relations de commutations entre les opérateurs
positions et impulsions. Il s’agit de
[x̂, p̂x ] = [ŷ, p̂y ] = [ẑ, p̂z ] = i~Î
(3.198)
[x̂, p̂y ] = [x̂, p̂z ] = [ŷ, p̂x ] = [ŷ, p̂z ] = [ẑ, p̂x ] = [ẑ, p̂y ] = 0
(3.199)
qui peuvent être s’écrire sous forme compacte
[x̂j , p̂k ] = i~δjk Î,
j, k = 1, 2, 3
(3.200)
33
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
On peut obtenir ces relations à travers la version quantique du crochet de Poisson, qui consiste
à remplacer le crochet de Poisson par le commutateur tel que
X ∂A ∂B
∂A ∂B
1
[A, B]BP =
−
−→ [Â, B̂] ⇐⇒ [Â, B̂] = i~[A, B]BP
(3.201)
∂qi ∂pi ∂pi qi
i~
i
avec A et B sont des quantités qui dépendent des coordonnées generalisées (qi , pi ) par contre Â
et B̂ sont les opérateurs correspondants.
Exemple: Pour la composante x et px on a
[x̂, p̂x ] = i~[x, px ]BP
∂x ∂px
∂x ∂px
−
=
∂x ∂px ∂px ∂x
= i~Î
(3.202)
(3.203)
(3.204)
En utilisant la même méthode pour avoir des relations de commutation analogue à Eq. (3.202)
satisfaient par les opérateurs ŷ et ẑ.
−
Pour former l’équation d’onde d’une particule dont l’énergie potentielle est V (→
r ), on étend
−̂
→
−
r .
la règle de correspondance. Donc à l’énergie V ( r ), on fait correspondre l’opérateur V →
L’énergie totale (Hamiltonia du système) en mécanique classique d’une particule est
2
→
−
p
−
E=
+ V (→
r)
2m
(3.205)
Si on applique le principe de correspondance cité en haut et on utilise l’équation aux valeurs
propres pour un opérateur Ĥ
−
−
ĤΨ (→
r , t) = EΨ (→
r , t)
(3.206)
on trouve alors
∂
−
i~ Ψ (→
r , t) =
∂t
~2
→
−
−
−
∆ + V ( r ) Ψ (→
r , t)
2m
(3.207)
Cette équation est dite équation de Schrödinger, qui décrit l’évolution des états de la particule en
mécanique quantique. Il est claire que l’énergie totale E correspond à l’opérateur Hamiltonien
Ĥ = −
~2
−
∆ + V (→
r)
2m
(3.208)
On peut écrire l’équation de Schrödinger sous une autre forme, à savoir
i~
3.7.2
∂
−
−
Ψ (→
r , t) = ĤΨ (→
r , t)
∂t
(3.209)
Espace H des fonctions d’onde d’une particule
1- Base orthonormée complète discrete: Considérons un ensemble de fonctions de carré
−
sommable {φi (→
r )}. Cet ensemble est orthonormé s’il vérifie la relation d’orthogonalité suivante:
Z
−
−
−
hφi |φj i = φ∗i (→
r )φj (→
r )d3 →
r = δij
(3.210)
34
−
avec δij est le symbole de Kronecker. Il est complet si toute fonction ψ(→
r ) peut être developpée
→
−
d’une façon unique suivant les fonctions φi ( r )
−
ψ(→
r)=
X
−
ci φi (→
r)
(3.211)
i
−
−
où les coefficients ci sont appelés composantes de ψ(→
r ) sur la base {φi (→
r )} et ils sont donnés
par le produit scalaire
Z
−
−
−
ci = hφi |ψi = φ∗i (→
r )ψ(→
r )d3 →
r
(3.212)
−
En conclusion, les fonctions φi (→
r ) qui vèrifient Eqs. (3.210) et (3.211) forment une base orthonormée complète discrete.
D’autre part, à partir de Eq. (3.211) on peut écrire
−
ψ(→
r) =
X
−
ci φi (→
r)
(3.213)
−
hφi |ψi φi (→
r)
(3.214)
i
=
X
i
=
X Z
−
−
−
φ∗i (→
r 0 )ψ(→
r 0 )d3 →
r0
−
φi (→
r)
(3.215)
−
−
−
−
r 0 )d3 →
r0
φ∗i (→
r 0 )φi (→
r ) ψ(→
(3.216)
i
=
Z "X
#
i
à comparer avec la propriété de delta de Dirac suivante:
−
ψ(→
r)=
Z
−
−
−
−
δ(→
r −→
r 0 )ψ(→
r 0 )d3 →
r0
(3.217)
il s’ensuit que Eqs. (3.216) et (3.217) sont égales ce qui donne ce qu’on appelle relation de
fermeture:
X
−
−
−
−
φ∗i (→
r 0 )φi (→
r ) = δ(→
r −→
r 0)
(3.218)
i
2- Base orthonormée complète continue: Une base orthonormée complète continue est
−
constituée d’un ensemble de fonctions ϕα (→
r ) reperées par un indice α ∈ R, variant de façon
continue, et satisfaisant aux deux relations suivantes:
Z
hϕα |ϕβ i =
Z
hϕα |ϕα i =
−
−
−
ϕ∗α (→
r )ϕβ (→
r )d3 →
r = δ(α − β) : Relation d’orthogonalité
(3.219)
−
−
−
−
ϕ∗α (→
r )ϕα (→
r 0 )dα = δ(→
r −→
r 0 ) : Relation de fermeture
(3.220)
−
−
avec α et β dans R. Maintenant on cherche la décomposition de ψ(→
r ) sur la base {ϕα (→
r )}, en
effet les coefficients cα sont
Z
cα = hϕα |ψi =
−
−
−
ϕ∗α (→
r )ψ(→
r )d3 →
r
(3.221)
35
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
D’autre part on a
Z
Z
−
−
−
−
ϕ∗α (→
r 0 )ψ(→
r 0 )d3 →
r 0 ϕα (→
r)
Z
Z
−
−
→
−
−
3→
0
∗ →
0
=
d r
ϕα ( r )ϕα ( r )dα ψ(→
r 0)
Z
−
−
−
−
=
d3 →
r 0 δ(→
r −→
r 0 )ψ(→
r 0)
(3.224)
−
= ψ(→
r)
(3.225)
Z
−
cα ϕα (→
r )dα =
dα
(3.222)
(3.223)
Donc il vient que la décomposition est
−
ψ(→
r)=
Z
−
cα ϕα (→
r )dα
(3.226)
Remarque: Les formules relatives à la base discrete se généralisent par les régles de correspondance suivantes:
←→
i
X
α
Z
(3.227)
←→
dα
(3.228)
←→
δ(α − β)
(3.229)
i
δij
Exemple 1: L’ensemble des fonctions localisées aux différents points x0 comme étants les
fonctions delta
ϕx0 (x) = δ(x − x0 ),
x0 ∈ R
(3.230)
ici x0 joue le rôle de α. Montrons donc l’ensemble {ϕx0 (x)} forme une base orthonormée complète
continue. Donc on commence par vèrifier la relation d’orthogonalité:
Z
D
E
ϕx0 ϕx0
=
ϕ∗x0 (x)ϕx0 (x)dx
(3.231)
0
0
Z
0
=
δ(x − x0 )δ(x − x0 )dx
(3.232)
0
= δ(x0 − x0 )
(3.233)
La relation de fermeture:
Z
hϕx0 |ϕx0 i =
Z
=
dx0 ϕ∗x0 (x0 )ϕx0 (x)
(3.234)
dx0 δ(x − x0 )δ(x0 − x0 )
(3.235)
0
= δ(x − x )
(3.236)
Fialement la decomposition:
Z
ψ(x) =
cx0 ϕx0 (x)dx0
(3.237)
où les coefficients cx0 sont donnés par
cx0
36
= hϕx0 |ψi
Z
=
ϕ∗x0 (x)ψ(x)dx
Z
=
δ(x − x0 )ψ(x)dx
(3.239)
= ψ(x0 )
(3.241)
(3.238)
(3.240)
Donc Eq. (3.237) devient
Z
ψ(x0 )δ(x − x0 )dx0
ψ(x) =
(3.242)
ce n’est rien qu’une propriété de la fonction delta.
Remarque: Souvent on note ψ(x) par
qui peut être généralisée comme
ψ(x) = hx|ψi
(3.243)
−
−
ψ(→
r ) = h→
r |ψi
(3.244)
−
où {|→
r i} est dite représentation position.
Exemple 2: L’ensemble des ondes planes définie par
ϕpx (x) = √
i
1
e ~ px x ,
2π~
px ∈ R
(3.245)
En utlisant les propriétés de transformé de Fourier de la fonction delta de Dirac, on peut vérifier
la relations d’orthogonalité
Z
E
D
(3.246)
=
ϕ∗px (x)ϕp0 (x)dx
ϕpx ϕp0
x
x
Z
0
i
1
=
(3.247)
e ~ (px −px )x dx
2π~
0
= δ(px − px )
(3.248)
et la relation de fermeture
Z
hϕpx |ϕpx i =
=
dpx ϕ∗px (x0 )ϕpx (x)
Z
0
i
1
e ~ (x−x )px dpx
2π~
0
= δ(x − x )
(3.249)
(3.250)
(3.251)
La décomposition:
Z
ψ(x) =
cp0 ϕpx (x)dpx
(3.252)
avec cpx s’écrivent comme
cpx
= hϕpx |ψi
Z
=
ϕ∗px (x)ψ(x)dx
Z
i
1
= √
e− ~ px x ψ(x)dx
2π~
= φ(px )
(3.253)
(3.254)
(3.255)
(3.256)
c’est le transformé de Fourier de la fonction ψ(x), qui est le transformé inverse de Fourier de
φ(x), à savoir
Z
i
1
ψ(x) = √
e ~ px x φ(px )dpx
(3.257)
2π~
37
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
Remarque: Souvent on note φ(px ) par
qui peut être généralisée comme
φ(px ) = hpx |φi
(3.258)
−
−
ψ(→
p ) = h→
p |ψi
(3.259)
−
où {|→
p i} est dite représentation impulsion (moment).
On peut revoir les relations de fermeture pour les bases discrete et continue en notation de
Dirac. En effet, pour la base discrete d’après Eq. (3.218) on a
X
−
−
−
−
φ∗i (→
r 0 )φi (→
r ) = δ(→
r −→
r 0)
(3.260)
i
=
−
−
r 0 h→
r |φi i
φi →
X
(3.261)
i
=
X
−
−
h→
r |φi i φi →
r0
(3.262)
i
−
= h→
r|
!
X
|φi i hφi |
→
−
r0
(3.263)
i
−
Puisque {|→
r i} forment une base continue donc cet ensemble verifie la relation d’orthogonalité
suivante:
→
−
−
−
−
r →
r 0 = δ(→
r −→
r 0)
(3.264)
à comparer avec Eq. (3.263) pour trouver finalement la relation de fermeture en notation de
Dirac. Il s’agit de
X
|φi i hφi | = Î
(3.265)
i
De même en utilisant Eq. (3.220)
Z
−
−
−
−
ϕ∗α (→
r )ϕα (→
r 0 )dα = δ(→
r −→
r 0)
Z
−
−
=
h→
r |φα i φα →
r 0 dα
Z
−
→
−
= hr|
dα |φα i hφα | →
r0
D’après Eq. (3.264), on obtient la relation de fermeture pour une base continue
Z
dα |φα i hφα | = Î
3.7.3
(3.266)
(3.267)
(3.268)
(3.269)
Opérateurs position et impulsion
−
1- Opérateur position: Soit la fonction ψ(→
r ) telle que
−
−
ψ(→
r ) = xφ(→
r ) ⇐⇒ |ψi = x |φi
(3.270)
Par définition, x̂ est l’opérateur agissant sur le ket |φi pour donner le ket |ψi:
x̂ |φi = |ψi
38
(3.271)
−
Donc dans la représentation {|→
r i}, l’action de l’opérateur x̂ coı̈ncide avec la multiplication par
−
−
x appliquée aux fonctions d’onde. D’après Eq. (3.244), on a φ(→
r ) = h→
r |φi et par suite
−
−
h→
r | x̂ |φi = x h→
r |φi
(3.272)
De la même façon les opérateurs ŷ et ẑ agissent comme
−
−
h→
r | ŷ |φi = y h→
r |φi
(3.273)
−
−
h→
r | ẑ |φi = z h→
r |φi
(3.274)
−
2- Opérateur impulsion: On peut associer à une fonction ψ(→
r ) la fonction dérivée
∂ −
∂
−
ψ(→
r ) = −i~ φ(→
r ) ⇐⇒ |ψi = −i~
|φi
∂x
∂x
−
Par définition, l’action de l’operateur p̂x sur la fonction φ(→
r ) est
p̂x |φi = |ψi
(3.275)
(3.276)
−
Dans la représentation {|→
r i}, l’action de l’opérateur p̂x coı̈ncide avec l’action de l’opérateur
∂
−i~ ∂x appliquée aux fonctions d’onde
∂ →
−
h−
r |φi
h→
r | p̂x |φi = −i~
∂x
De même pour les opérateurs p̂y et p̂z on a
(3.277)
∂ −
−
h→
r | p̂y |φi = −i~ h→
r |φi
(3.278)
∂y
∂ −
−
r | p̂z |φi = −i~ h→
r |φi
(3.279)
h→
∂z
−
Remarque: Dans la représentation {|→
p i}, on peut démontrer (voir TD Serie 4 Exercice 1)
que l’action de l’opérateur p̂x sur un vecteur ket quelconque est égale à la multiplication par le
nombre px :
p̂x |φi = px |φi
(3.280)
→
−
où p est la composante de l’impulsion p~ suivant la direction ox. Donc dans {| p i}, on peut
x
écrire
−
−
h→
p | p̂x |φi = px h→
r |φi
(3.281)
ainsi pour les autres opérateurs
−
−
h→
p | p̂y |φi = py h→
p |φi
→
−
→
−
h p | p̂ |φi = p h p |φi
z
3.8
3.8.1
z
(3.282)
(3.283)
Observables
Définition et exemples
Définition: Une observable est un opérateur hermitien dont l’ensemble de vecteurs propres
{|ψnα i} doit être à la fois orthonormé et complet, c’est-à-dire verifiant les propriétés:
D
E
β
ψm
ψnα = δαβ δnm
(3.284)
XX
(3.285)
|ψnα i hψnα | = Î
n
α
Exemples d’observables:
39
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
• Projecteur: Pψ = |ψi hψ| est un opérateur hermicien vérifiant Pψ2 = Pψ donc les valeurs
propres λ de Pψ sont réelles et par suite on a
λ2 = λ =⇒ λ = 1 ou 0
(3.286)
La valeur propre λ = 1 est simple et qui a pour vecteur propre |ψ1 i alors que λ = 0
est dégénérée et dont les vecteurs propres forment un sous-espace orthogonal à |ψ1 i. Les
vecteurs propres de Pψ forment un système complet et donc Pψ est une observable.
• Opérateur x̂: Il est hermitien et son équation aux valeurs propres
x̂ |ψi = x |ψi = λ |ψi
(3.287)
donne la relation
(x − λ)ψ(x) = 0,
∀x ∈ R
(3.288)
Il s’ensuit que ψ(x) = 0 pour tout x 6= λ. La fonction recherchée ψ(x) est donc nulle
partout sauf peut être au point x = λ. En conclusion l’opérateur x̂ n’admet pas de vecteur
propre dans l’espace H des fonctions ψ(x). Cependant, dans la représentation {|xi} on a
hx| x̂ |ψi = x hx|ψi
(3.289)
qui est valable pour tout |ψi, donc on tire les relations suivantes:
x̂ |xi = x |xi ,
hx| x̂ = x hx|
(3.290)
On voit que le spectre de l’opérateur x̂ est constitué par les valeurs propres x ∈ R et les
états |xi associés. On dit que x̂ a un spectre continu (car toutes les valeurs de x sont
permises, formant un ensemble continu). D’autre part, le produit scalaire entre deux kets
|ψ1 i et |ψ2 i donne
Z
hψ1 |ψ2 i =
ψ1∗ (x)ψ2 (x)dx
(3.291)
Z
=
hψ1 |xi hx|ψ2 i dx
(3.292)
Z
= hψ1 |
|xi hx| dx |ψ2 i
(3.293)
ce qui implique la relation de fermeture dans la base position {|xi}
Z
|xi hx| dx = Î
(3.294)
En plus on a
hx|ψi = ψ(x)
Z
=
x x0
(3.295)
x0 ψ dx0
(3.296)
(3.297)
mais on sait que
Z
ψ(x) =
δ(x − x0 )ψ(x0 )dx0
(3.298)
donc on trouve bien la relation d’orthogonalité
x x0 = δ(x − x0 )
(3.299)
En conclusion, l’opérateur x̂ est donc une observable. On peut avoir la même chose pour
les opérateurs ŷ et ẑ dans les représentations {|yi} et {|zi}.
40
• Opérateur p̂x : Il est hermitien et son équation aux valeurs propres dans la représentation
{|xi} est
d
(3.300)
p̂x ψpx (x) = −i~ ψpx (x) = px ψpx (x)
dx
où ψpx (x) est la fonction propre (onde plane) de p̂x correspondante à la valeur propre px .
Il s’agit de
i
1
ψpx (x) = √
e ~ px x
(3.301)
2π~
L’ensemble des ψpx (x) constitue une base orthonormée complète. L’opérateur impulsion
p̂x est donc bien une observable. Egalement, les opérateurs p̂y et p̂z sont des observables.
En notation de Dirac, les relations d’orthogonalité et de fermeture s’écrivent dans la base
impulsion {|px i} comme
px p0x = δ(px − p0x )
Z
|px i hpx | dpx = Î
3.8.2
(3.302)
(3.303)
Observables commutantes
Théorème: Si deux observables commutent, elles possèdent un système de vecteurs propres
communs formant une base de l’espace des vecteurs d’état.
Preuve: Considérons les vecteurs propres {|ψnα i} formant une base propre de l’opérateur B̂:
B̂ |ψnα i = bn |ψnα i
(3.304)
avec l’indice α = 1, 2, · · · , gn et gn est le degré de dégénérescence. Un vecteur propre |φa i de
l’opérateur Â associé à la valeur propre a, peut alors être décomposable sur la base {|ψnα i}:
|φa i =
gn
XX
hψnα |φa i |ψnα i
(3.305)
n α=1
où hψnα |φa i sont des coefficients. Posons les vecteur suivants
|ϕn (a)i =
gn
X
hψnα |φa i |ψnα i
(3.306)
α=1
qui sont des valeurs propres de B̂. Eq. (3.305) devient
X
|φa i =
|ϕn (a)i
(3.307)
n
Miantenant, montrons que les |ϕn (a)i sont aussi des vecteurs propres de Â. Pour cela on utilise
le fait que Â et B̂ commutent
B̂ Â − aÎ |ϕn (a)i =
Â − aÎ B̂ |ϕn (a)i
(3.308)
= bn Â − aÎ |ϕn (a)i
(3.309)
Les états Â − aÎ |ϕn (a)i sont donc des vecteurs propres de B̂ et ses valeurs propres correspondantes bn étant toutes distinctes. De plus on a
X
X
Â |φa i =
Â |ϕn (a)i = a
|ϕn (a)i
(3.310)
n
n
41
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
qui donne
X
Â − aÎ |ϕn (a)i = Â − aÎ |φa i = 0
(3.311)
donc il s’ensuit que les |ϕn (a)i sont aussi des vecteurs propres de Â
Â − aÎ |ϕn (a)i = 0
(3.312)
n
am
E
Les résultats en haut s’appliquent à tout vecteur propre φβm de Â associé à la valeur propre
de dégénérescence gm , avec β = 1, 2, · · · , gm . On a la décomposition
E
E X
ϕβn (am )
(3.313)
φβm =
n
E
où les vecteurs ϕβn (am ) sont des vecteurs propres communs à Â et B̂. Il possible de construire
une suite de vecteursEorthonormés |χγn (am )i correspondant aux valeurs propres (am , bn ) tels que
les vecteurs ϕβn (am ) soient des combinaisons linéaires de ces vecteurs
|ϕγn (am )i =
X
cαγ |χγn (am )i
(3.314)
γ
L’ensemble {|χγn (am )i} constitue un système orthonormé de vecteurs communs à Â et B̂.
Définition: Une suite Â, B̂, Ĉ, · · · d’observables forment un ensemble complet d’observables
qui commutent (E.C.O.C) si ces observables commutent 2 à 2 et si chaque vecteur propre de
leur système de base commun est défini de façon unique par la donnée des valeurs propres
an , bm , cl , · · · correspondantes de Â, B̂, Ĉ, · · · .
3.8.3
Principe d’incertitude de Heseinberg
Considérons
h
i un système physique dans l’état |ψi et deux observables Â et B̂ qui ne commutent
pas Â, B̂ 6= 0. Rappellons que les moyennes des carrés des écarts sont
D E D E2
Â2 − Â
D E D E2
=
B̂ 2 − B̂
(∆A)2 =
(3.315)
(∆B)2
(3.316)
Introduisons les opérateurs Â0 et B̂ 0 tels que
D E
Â0 = Â − Â
D E
B̂ 0 = B̂ − B̂
(3.317)
(3.318)
0
Â0 et
l’écart des opérateurs
D
E B̂ Dreprésentent
E
h
iÂ eth B̂ par
i rapport à leur valeur moyenne. Comme
Â et B̂ sont des scalaires donc Â0 , B̂ 0 = Â, B̂ . Soit |φi un vecteur transformé de |ψi à
travers
λÂ0 + iB̂ 0 |ψi = |φi ,
λ∈R
(3.319)
Le produit scalaire donne
hφ|φi = hψ| λÂ0 − iB̂ 0 λÂ0 + iB̂ 0 |ψi
iE
D 0 E
D 0 E
Dh
=
Â 2 λ2 + i Â0 , B̂ 0 λ + B̂ 2 ≥ 0
42
(3.320)
(3.321)
Donc le polynôme du second degré en λ doit être toujours positif ou nul, ce qui implique que le
descriment du polynôme doit vérifier la condition
D 0 ED 0 E
Dh
iE2
− 4 Â 2 B̂ 2 ≤ 0
i Â0 , B̂ 0
ou bien
D
0
Â 2
E D 0 E 1 Dh
iE2
B̂ 2 ≥
i Â0 , B̂ 0
4
(3.322)
(3.323)
Il s’ensuit que
E D 0 E 1 Dh
iE2
0
B̂ 2 ≥
Â 2
(3.324)
i Â0 , B̂ 0
4
D 0 E
D 0 E
Puisque Â 2 = (∆A)2 et B̂ 2 = (∆B)2 , alors on se trouve avec l’inegalité suivante
D
∆A ∆B ≥
iE
1 Dh
Â, B̂
2
(3.325)
Comme application, on obtient les trois inegalités constituent le principe d’incertitude spatiale
d’Heisenberg
~
2
~
∆y ∆py ≥
2
~
∆z ∆pz ≥
2
∆x ∆px ≥
(3.326)
(3.327)
(3.328)
avec les relations de commutations [x̂, p̂x ] = [ŷ, p̂y ] = [ẑ, p̂z ] = i~Î. Il est claire qu’on ne
peut définir avec précision à la fois position et impulsion de la particule, donc la notion de la
trajectoire est impossible.
On peut établir la même inegalité entre le couple énergie E et le temps t, à fin de trouver la
quatrième relation d’Heisenberg. Il s’agit de
∆E ∆t ≥
~
2
(3.329)
La quantité ∆t s’interprète simplement comme la durée du temps nécessaire pour que l’énergie
du système varie de manière appréciable.
3.9
3.9.1
Operateur Evolution
Définition
Considérons l’équation de Schrödinger
i~
d
|ψ(t)i = Ĥ |ψ(t)i
dt
(3.330)
On peut écrire
d |ψ(t)i = |ψ(t + dt)i − |ψ(t)i
i
= − Ĥ |ψ(t)i
~
(3.331)
(3.332)
43
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
ce qui implique
i
|ψ(t + dt)i = Î − Ĥ |ψ(t)i
~
(3.333)
Définissons un opérateur unitaire
i
Û (t + dt) = Î − Ĥ
~
(3.334)
qui un opérateur infinitésimal. Dans ce cas Eq. (3.333) devient
|ψ(t + dt)i = Û (t + dt) |ψ(t)i
(3.335)
Considérons maintenant un intervalle de temps fini [t0 , t] qui peut être divisé en un très grand
nombre d’intervalles infinitésimaux correspondant à des opérateurs unitaires infinitésimaux Ûi .
Donc on peut généraliser Eq. (3.336) comme
Y
|ψ(t)i =
Ûi |ψ(t0 )i
(3.336)
i
Soit Û (t, t0 ) =
|ψ(t0 )i en |ψ(t)i
Q
i Ûi
comme étant l’opérateur d’évolution temporelle, qui transforme l’état
|ψ(t)i = Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i
(3.337)
Il est claire que Û (t0 , t0 ) = Î.
Injectons Eq. (3.337) dans Eq. (3.330) pour avoir
i~
car
d
dt
d Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i
= Ĥ Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i
dt
d
d
Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i + Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i
= i~
dt
dt
d
= i~ Û (t, t0 ) |ψ(t0 )i
dt
(3.338)
(3.339)
(3.340)
|ψ(t0 )i = 0. Il s’ensuit que
i~
d
Û (t, t0 ) = Ĥ Û (t, t0 )
dt
(3.341)
qui décrit l’évolution de l’opérateur Û (t, t0 ). Si le Hamiltonien Ĥ ne dépend pas du temps donc
on peut intégrer facilement Eq. (3.341) pour avoir la forme de cet opérateur
i
Û (t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 )
3.9.2
(3.342)
Représentation de Heisenberg
Dans le formalisme developpé en haut on a utilisé des opérateurs indépendants du temps correspondant aux observables du système pour avoir son évolution à partir de l’état |ψ(t)i. Cette
méthode est appellée la représentation de Schrödinger, qui peut être représentée par les observales ÂS et les états |ψS (t)i vérfiant
|ψS (t)i = Û (t, t0 ) |ψS (t0 )i
44
(3.343)
La représentation de Heisenberg consiste à chercher une transformation unitaire sur les état
propres de sorte que le transformé de |ψS (t)i soit indépendant du temps alors que les transformés
des observables ÂS dépendent du temps. En effet, muliplions Eq. (3.343) par l’opérateur adjoint
Û † (t, t0 ) pour avoir
Û † (t, t0 ) |ψS (t)i = Û † (t, t0 )Û (t, t0 ) |ψS (t0 )i
= |ψS (t0 )i
(3.344)
(3.345)
Il vient que dans la représentation de Heisenberg, l’état constant coı̈ncide avec l’état du système
à t0 , donc on a
|ψH i = |ψS (t0 )i
(3.346)
Pour avoir des observales dépendentes du temps il suffit de considérer la transformation unitaire
et définir les observales de Heisenberg comme
ÂH (t) = Û † (t, t0 )ÂS Û (t, t0 )
(3.347)
Dérivons Eq. (3.348) par rapport au temps
dÂH (t)
dt
=
=
d †
Û ÂS Û
dt
dÛ †
∂ ÂS
dÛ
ÂS Û + Û †
Û + Û † AS
dt
∂t
dt
(3.348)
(3.349)
avec les notations Û (t, t0 ) = Û et Û † (t, t0 ) = Û † . Utilisons Eq. (3.341) pour avoir
d
Û (t, t0 ) = ĤS Û (t, t0 )
dt
d
−i~ Û † (t, t0 ) = Û † (t, t0 )ĤS
dt
i~
(3.350)
(3.351)
On remplace dans Eq. (3.348)
dÂH (t)
dt
1 †
1
∂ ÂS
Û ĤS ÂS Û + Û † ÂS ĤS Û + Û †
Û
i~
i~
∂t
1
∂ ÂS
1
= − Û † ĤS Û Û † ÂS Û + Û † ÂS Û Û † ĤS Û + Û †
Û
i~
i~
∂t
!
∂ ÂS
1
1
= − ĤH ÂH + ÂH ĤH +
i~
i~
∂t
= −
(3.352)
(3.353)
(3.354)
H
ou on a utilisé le fait que Û Û † = Î. On obtient finalement l’équation de Heisenberg
!
h
i
dÂH (t)
∂ ÂS
i~
= i~
+ ĤH , ÂH
dt
∂t
(3.355)
H
45
CHAPITRE 3. PRINCIPES DE LA MECANIQUE QUANTIQUE
46
Chapitre 4
Application de Mecanique
Quantique
4.1
4.1.1
Rayonnement du Corps Noir
Expérience
Fig 4.1: Rayonnement émis par l’ouverture est appelé corps noir ou cavité rayonnante.
Fig 4.2: Densité d’énergie rayonnée par le corps noir pour différentes temperatures. (a): en fonction
de la fréquence, (b): en fonction de la longueur d’onde.
D’après les études initiées par Gustav Kirchhoff en 1859, l’intensité de rayonnement électro47
CHAPITRE 4. APPLICATION DE MECANIQUE QUANTIQUE
magnétique émis par un absorbeur parfait (corps noir) est une fonction universelle de la température
T et de la fréquence ν de rayonnement. En pratique, le rayonnement du corps noir est le rayonnement d’un petit trou dans une cavité isotherme voir Figure 4.1. Le spectre du rayonnement
de la cavité est indépendant du matériau dans la paroi de la cavité.
Si on chauffe à haute temperature, le corps noir emet de la lumière à toutes les longueurs
d’onde. Eudiant la variation densité d’énergie radiative en fonction de de la longueur d’onde
on se trouve avec Figure 4.2. On observe que la ctte courbe regulière tendant vers zero pour
les grandes et pour les faibles longueurs d’onde. En plus elle présente un maximum pour une
longueur d’onde λM dépendant de la temperature suivant la loi dite de déplacement de Wien
(1896):
λM T = C0 = 0.2898cmK
(4.1)
4.1.2
Description classique
Fig 4.3: Catastrophe de l’ultraviolt.
L’approche de la physique classique a fourni une formule théorique pour exprimer la densité
d’énergie (énergie par unité de volume) du rayonnement à l’intérieur la cavité dans la gamme
de fréquence ν à ν + dν. En effet, en utilisant la théorie électromagnétique et la mécanique
statistique, Rayleigh et Jeans ont proposé une théorie basée sur le fait que le rayonnement du
champ électromagnétique est dû à un ensemble d’oscillateurs harmoniques linéaires qui vibrent.
La densité d’énergie rayonnée est donnée par
Iν (T ) = ρ(T ) hEν (T )i
(4.2)
où ρ(T ) représente le nombre d’oscillateurs par unité de volume et hEν (T )i est l’énergie moyenne
de chaque oscillateur. A travers la mécanique statistique, on peut trouver ces deux quantités à
savoir
ρ(T ) =
hEν (T )i =
8πν 2
c3
R0
− k ET
B
+∞ Ee
E
R0 −
kB T
+∞ e
= kB T
48
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Injectons ces deux quantités dans Eq. 4.2 pour voir la loi de Rayleigh-Jeans
8πν 2
kB T
c3
Iν (T ) =
(4.6)
où kB = 1.3807 × 10−23 J/K est la constante de Boltzmann et c = 2.998 × 108 m/s est la vitesse
de la lumière. La loi Iν (T ) est quadratique en ν, qui est en accord avec l’expérience uniquement
pour les grandes fréquences voir Figure 4.3. D’autre part, cette loi est inacceptable physiquement
car l’intégrale de Iν (T ) par rapport à ν diverge et par suite donne une énergie rayonnée infinie,
c’est ce qu’on appelle la catastrophe de l’ultraviolet.
4.1.3
Description quantique
Pour formuler un modèle théorique aux observations expérimentales du corps noir, Planck a
utilisé la mécanique statistique a nouveau mais cette fois pour déterminer d’une autre manière
l’énergie moyenne de chaque oscillateur harmonique.
En fait le 14 Décembre 1900, Planck a proposé l’idée suivante:
Les échanges d’énergie entre la matière et le rayonnement ne se font pas de façon
continue mais par des quantités discrètes et indivisibles.
Plus excatement, Planck a supposé que l’énergie de chaque oscillateur est un multiple entier
d’une valeur donnée ε telle que
En = nε
(4.7)
à remplacer dans l’expression de l’énergie moyenne pour avoir
− kEnT
B
n En e
E
P − k nT
B
ne
P
− nε
ε n ne kB T
P − knεT
B
ne
P
hEν (T )i =
=
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Notons que le dénominateur est une suite géometrique de raison e
facilement le résultat
X − nε
1
e kB T =
− ε
1 − e kB T
n
− k εT
B
et par suite on trouve
(4.11)
Pour le numérateur, on voit que
ne
− knεT
B
=−
d − knεT
e B
dx
(4.12)
ce qui implqiue
X
n
ne
− knεT
B
d
= −
dx
=
e
!
1
1−e
− k εT
(4.13)
B
− k εT
B
1−e
− k εT
2
(4.14)
B
Injectons ces résults dans Eq. (4.9) pour avoir
hEν (T )i =
ε
− k εT
e
B
(4.15)
−1
49
CHAPITRE 4. APPLICATION DE MECANIQUE QUANTIQUE
Chose qui conduit à la densité suivante
Iν (T ) =
8πν 2
ε
kB T ε
3
c
e kB T − 1
(4.16)
Pour avoir un accord avec l’experience c’est-à-dire la limite suivante est satisfaite
lim Iν (T ) = 0
ν−→∞
(4.17)
il faut que l’énergie ε soit une fonction croissante de ν. Pour cette raison Planck a proposé une
énergie est discretisée sachant que
ε = hν
(4.18)
où h est une nouvelle constante universelle appelée constante de Planck. Donc d’apres Planck:
Les echanges d’energie entre la matière et le rayonnement se font par quantités
discrètes et indivisibles d’énergie hν appelées quanta.
On se trouve finalement avec la loi de Planck en fréquence:
Iν (T ) =
8πν 2
hν
kB T hν
3
c
e kB T − 1
(4.19)
Pour trouver la constante de Planck h = 6.64 × 10−34 Js, il suffit de chercher le maximum de la
densité Iν (ν, T ) et utiliser la loi empirique de Wien Eq. (4.1). D’autre part, pour les grandes
longuers d’onde, on retroue bien la loi de Rayleigh-Jeans.
En Longeur d’onde, on a
Iλ (T ) =
8πc2 h
hν
kB T hc
5
λ
e λkB T − 1
(4.20)
Fig 4.4: comparaison des théories classique et quantique du rayonnement du corps noir avec
l’expérience.
Remarques:
• Il y a autres phénomènes quantiques la ou la mécanique calssique a montrée des échecs.
C’est le cas par exemple de l’effet photoélectrique et de l’effet Compton.
• Quanta est le pluriel latin de quantum, qui signifie quantité.
50
4.2
Marche de Potentiel
Un autre succès de la mécanique quantique concerne la discreption d’une particle dans une
marche de potentiel. Pour clarifier ce point, on considère une particule “incidente” d’énergie E
venant des x négatifs et se dirigeant vers les x positifs. Cette particule rencontre en x = 0 une
marche de potentiel V0 suivant Figure 4.5, qui est définie par
V (x) =
0 si x < 0
V0 si x > 0
(4.21)
Fig 4.5: Marche de potentiel.
Il y a deux cas différents à étudier dépendants de l’énergie E supérieure ou inférieure à la
marche de potetiel V0 .
4.2.1
Cas 1: E > V0
Considérons le cas ou l’énergie de la particule “incidente” est supérieure à la marche de potentiel
E > V0 , voir Figure 4.6
Fig 4.6: Energie est supérieure au potentiel.
51
CHAPITRE 4. APPLICATION DE MECANIQUE QUANTIQUE
2
p
possède une
D’après la mécanique classique, dans la region 1 la particule d’énergie E = 2m
vitesse telle que
√
2E
p
v1 =
=
(4.22)
m
m
Par contre dans la région 2, la particule ralentie à la discontinuité (point x = 0) et prend la
vitesse
p
2(E − V0 )
v2 =
(4.23)
m
En mécanique quantique pour étudier la particule dans la marche potentiel, il faut résoudre
en premier lieu l’équation de Schrödinger suivante:
−
~2 d2
ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x)
2m dx2
(4.24)
Dans la région 1, Eq. (4.24) devient
d2
2mE
ψ1 (x) = − 2 ψ1 (x)
2
dx
~
(4.25)
qui peut s’écrire comme
d2
ψ1 (x) + k12 ψ1 (x) = 0,
dx2
k12 =
2mE
~2
(4.26)
dont la solution est
ψ1 (x) = A1 eik1 x + B1 e−ik1 x
(4.27)
avec A1 et B1 sont deux constantes. Ici A1 eik1 x représente l’onde incidente et B1 e−ik1 x est l’onde
réfléchie par le saut (marche) du potentiel.
Dan la région 2 on a
d2
2m
ψ2 (x) − 2 (E − V0 )ψ2 (x) = 0
(4.28)
2
dx
~
dont la solution est
ψ2 (x) = A2 eik2 x + B2 e−ik2 x ,
k22 =
2m(E − V0 )
~2
(4.29)
avec A2 et B2 sont deux constantes. Ici la solution B2 e−ik2 x à rejeter car elle représente une
onde réfléchie qui vient de l’infini, ce qui est impossible donc B2 = 0 et par suite on a
ψ2 (x) = A2 eik2 x
(4.30)
Pour déterminer les constantes on utilise les conditions de continuité de la fonction d’onde
et de sa dérivée
0
0
ψ1 (0) = ψ2 (0),
ψ1 (0) = ψ2 (0)
(4.31)
ce qui implique
B1
k1 − k2
=
,
A1
k1 + k2
A2
2k1
=
A1
k1 + k2
(4.32)
On déinit les coefficients de reflexion R et de transmission T de la particule sont définies par les
relations suivantes:
B1 2
A2 2 vg2
,
T =
(4.33)
R=
A1
A1 vg1
52
où vg2 et vg1 sont les vitesses de groupe associées aux paquets d’ondes dans les deux régions 1
et 2
~k1
~k2
vg1 =
,
vg2 =
(4.34)
m
m
On remplace pour avoir
k1 − k2 2
4k1 k2
R=
,
T =
(4.35)
k1 + k2
(k1 + k2 )2
qui vérifient la condition de probabilité
R+T =1
(4.36)
Cette relation montre qu’il y a conservation du flux incident de particules, c’est-à-dire chaque
particule incidente ne peut être que réfléchie ou transmise. En conclusion, la mécanique quantique montre que la particule a une probabilité non nulle de revenir en arrière result qui ne peut
pas être prédit par la mécanique classique, voir Figure 4.6.
4.2.2
Cas 2: E < V0
Le cas ou l’énergie de la particule “incidente” est inférieure à la marche de potentiel E > V0 est
décrit par Figure 4.7:
Fig 4.7: Energie est inférieure au potentiel.
√
2E
La mécanique calssique montre que la particule a une vitesse v = m
dans la region 1. Elle
rebondit à la discontinuité et repart avec une vitesse identique.
En mécanique quantique, il suffit d’utiliser le même raisonement que en haut pour avoir le
même paquet d’onde dans la regions 1:
φ1 (x) = A1 eik1 x + B1 e−ik1 x
(4.37)
Par contre dans la region 2 on a
φ2 (x) = C2 eα2 x + D2 e−α2 x ,
α22 =
2m(V0 − E)
~
(4.38)
mais ce paquet d’onde doit être borné lorsque x −→ ∞, donc il faut que C2 = 0 et par suite on
obtient
φ2 (x) = D2 e−α2 x
(4.39)
53
CHAPITRE 4. APPLICATION DE MECANIQUE QUANTIQUE
Les conditions de continuité de la fonction d’onde et de sa dérivée au point x = 0
0
0
φ1 (0) = φ2 (0),
φ1 (0) = φ2 (0)
(4.40)
B1
k1 − iα2
=
,
A1
k1 + iα2
D2
2k1
=
A1
k1 + iα2
(4.41)
donnent les rapports suivants:
Donc le coefficient de reflexion est
R=
B1
A1
2
=1
(4.42)
La loi de conservation R + T = 1 implique que le coefficient de transmission T = 0. Ce résult
2
2
6= 0 mais la vitesse de groupe du paquet d’onde
peut être obtenue aussi à partir du fait que D
A1
φ2 (x) est nulle dans la region 2. Par conséquent, comme en mécanique classique, la particule
est toujours réfléchie.
54

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