SOMMAIRE INTRODUCTION GÉNÉRALE I- CLASSIFICATION DES SIGNAUX PROBABILITÉS ET PROCESSUS STOCKASTIQUES II- REPRÉSENTATION VECTORIELLE DES SIGNAUX SÉRIE DE FOURIER TRANSFORMÉE DE FOURIER TRANSFORMÉE DE LAPLACE III- ECHANTILLONNAGE ET THÉORÈME DE SHANNON TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÊTE TFD-DFT TRANSFORMÉE DE FOURIER RAPIDE TFR-FFT TRANSFORMÉE EN Z IV- LES FILTRES NUMÉRIQUES FILTRES A RÉPONSE IMPULSIONNELLE FINIE (RIF) FILTRES A RÉPONSE IMPULSIONNELLE INFINIE (RII) BIBLIOGRAPHIE ANNEXE INTRODUCTION GÉNÉRALE Le mot Signal est issu du mot - signum en latin - qui dénote un objet, une marque, un élément de langage, un symbole convenu pour servir à une information. Personne ne peu nier que l'usage des signes remonte à la préhistoire. Donc, un signal est une source d'information, il peut contenir l'information et le bruit. Le traitement se fait dans le but d'améliorer ou de séparer l'information des choses indésirables. La théorie de traitement du signal : touche à tous les secteurs dans les quels l'information est perçue par l'intermédiaire d'observations expérimentales de grandeurs mesurables. La théorie du signal est largement liée à la perception et le traitement. Ce lien étroit indique pourquoi cette discipline s'est avant tous développée en relation avec les applications de l'électricité et plus particulièrement celle de la métrologie responsable de la perception, des télécommunications et de l'informatique chargé du traitement. Donc, parmi les principaux objectifs du traitement du signal, il y a la détection et l'interprétation des signaux porteurs de l'information. "Signal Processing". Cette discipline trouve son champ d'application dans tous les domaines concernés par la perception, la transmission et l'exploitation de l'information. Ce vaste champ s'étant des télécommunications à l'instrumentation scientifique, de l'automatisation industrielle au génie biomédicale en passant par le traitement d'image la reconnaissance des formes, la robotique, l'intelligence artificielle. Instrumentation Scientifique Intelligence Artificielle Reconnaissance de formes Télécommunication Traitement du Signal Détection Interprétation Traitement d'images Robotique Automatisation Industrielle Les premières applications de cette science ont vu le jours au 19ème siècle lors de l'apparition de l'exploitation des signaux électriques avec l'arrivée du télégraphe (Morse Cooke wheastone (183040)) qui a été suivi par le téléphone (Bell 1876) en suite la radio Papov, Marconi (1895-1896). Traitement du Signal 12-13 2 L'invention du transistor, en 1948, suivie environ 10 ans plus tard par la mise au point de la technologie des circuits intégrés, allaient permettre la réalisation des systèmes de traitement complexe et la diversification des champs d'applications. Les années 90 ont vu la naissance des processurs de traitement du signal permettant de nouvelles applications particuliérement les applications en temps réel. I- Définitions 1- Définition d'un signal Un signal est la représentation physique de l'information qu'il convoie de sa source à son destinataire (généralement courant ou tension). 2- Définition du bruit On appelle bruit (noise) tout phénomène perturbateur (interférence, bruit de fond etc. ...) gênant la perception ou l'interprétation de l'information contenue dans un signal. 3- Définition Rapport signal bruit C'est une mesure du degré de contamination du signal par le bruit, il s'exprime sous la forme du rapport des puissances respectives du signal Ps et du bruit Pb. Ps Pb Px x( t ) 2 dt db 10 log10 ( ) N.B: Ce qui différencie le signal du bruit est avant tout l'intérêt de l'observateur. Exemple: Certains phénomènes électromagnétiques d'origine galactique captés par des antennes sont considérées comme du bruit par les ingénieurs des télécommunications et comme un signal de plus haut intérêt par les radioastronomes. - Exemples de signaux Le modèle mathématique d'un signal est une fonction de une, parfois deux, voire même trois variables s(t), i(x,y) i(x,y,t). Signal microphonique Signal de vibration machine tournante s(t) s(t) t t s(t) le cas le plus courant, la variable t est usuellement le temps mais il peut être une distance par exemple. Traitement du Signal 12-13 3 x i(x,y,t1) i(x,y) i(x,y,t2) y i(x,y,t3) i(x, y) signaux bidimensionnels, ce sont généralement des fonctions de coordonnées spatiales, le plus couramment des images. i(x, y, t) signaux tridimensionnels, ce sont généralement des fonctions de coordonnées spatiales, le plus couramment des scènes d'images. Exemple : signal représentant la vibration d’une machine Amplitude (mm) Vibration d’une machine en fonction du temps ‘mesure prise dans les laboratoires de la FST-BM’ Exemple : La Communication Cet exemple, illustre une chaîne de transmission dans laquelle le bruit s'ajoute au signal au niveau du codage (émetteur) puis dans le canal de transmission (rayonnement, couplage). Afin de pouvoir exploiter convenablement l'information transmise, il est nécessaire de faire du traitement du signal au niveau de la réception pour extraire notre signal utile du bruit. 4- Définition d'un système Traitement du Signal 12-13 4 Un système est un ensemble d'objets liés entre eux dans le but de réaliser une tâche. Ce dispositif est soumis aux lois physiques est caractérisé par des grandeurs de deux types d'entrée (ou excitation) et la sortie. h(t) x(t) y(t) Où x(t) est l'entrée ou l'excitation, y(t) est la sortie et h(t) est la réponse impulsionnelle, c'est la sortie du système lorsqu'il est excité par (t) Dirac Ces signaux d'entrée et de sortie sont respectivement notés x(t) et y(t). Par exemple y(t)=x2(t) désigne la sortie d'un dispositif non linéaire quadrature dont la caractéristique est définie par y=x 2. a- Système linéaire Si x1(t) donne comme sortie y1(t) x2(t) donne comme sortie y2(t) Dans le cas d'un système linéaire : a x1(t) + b x2(t) a y1(t) + b y2(t) Système non linéaire b- Système invariant Stationnaire x(t) x(t) y(t) x(t- t1) y(t- t1) Les mêmes causes produisent les mêmes effets. x(t-t1) y(t) t c- Systèmes causal h(t) = 0 t pour t1 y(t-t1) t t1 t t<0 l'effet ne peut pas précéder la cause (considération physique). d- Système stable Si on supprime la cause ou finit par supprimer l'effet. Dans un premier temps notre étude portera sur les SLIT. "Système Linéaire Invariant dans le Temps" 5- Définition d'une fonctionnelle Une fonctionnelle est une fonction de fonctions, les signaux résultant d'un traitement ou certains de leurs paramètres sont souvent exprimés par des relations fonctionnelles. Traitement du Signal 12-13 5 Exemple de fonctionnelle - Valeur intégrale pondérée (fonction de pondération g(t)) y( t ) x( t )g( t )dt La valeur intégrale = somme algébrique des surfaces. - Valeur intégrale quadratique pondérée y( t ) x 2 ( t ) g( t )dt - Produit de convolution y(t)=x(t)*g(t) y( t ) x( u)g( t u)du On appelle bloc fonctionnel, un système dispositifs généralement électrique ou électronique capable d'altérer ou modifier un signal lors de son passage. Cela fournit les renseignements essentiels nécessaires à la conception (cahier de charge) ou à l'utilisation mode d'emploi de ce dispositif. Le schéma bloc est un assemblage symbolique, représenté sous forme graphique de blocs fonctionnels, en principe indépendants, réalisant une fonction donnée. Exemples de schémas bloc d’un récepteur super hétérodyne II- Notations particulières Afin d'alléger les formules mathématiques décrivant certains signaux fonction ou opérateurs fréquemment rencontrés dans ce cours, il est avantageux de les dénoter d'une manière simple. 1- La fonction échelon 1 t 0 u (t ) 1 / 2 1 / 2 * Sig (t ) 0 t 0 u(t) 1 0 Traitement du Signal 12-13 t 6 2- La fonction 1I(t) 1I(t ) 1 1 t 1I(t) 0 t 3- La fonction signe 1 Sig( t ) 1 t t0 t0 t Sig(t) 1 pour t0 0 4- La fonction rampe t t t 0 r( t) U( t ) dt 0 t 0 t -1 r (t) U( t ) dr ( t ) dt 1 0 5- La fonction rectangle (Fonction porte durée 1) 1 1 t 2 1 1 Re ct ( t ) U( t ) U( t ) 2 2 0 t 1 2 t Rect(t) 1 -1/2 0 1/2 t NB : La fonction rectangulaire intervient fréquemment comme facteur multiplicatif pour localiser un segment de durée 1 d'un signal quelconque. Tri(t) 1 6- fonction triangulaire Tri (t) 1 t Tri( t ) 0 t 1 t 1 0 -1 t 1 Cette fonction est l'auto convolution de la fonction rectangulaire. Tri(t)=Rect(t)*Rect(t) 7- La fonction rectangle (Fonction porte durée T) T 1 t 2 T T Re ctT (t ) U (t ) U (t ) 2 2 0 t T 2 RectT(t) 1 -T/2 0 T/2 t NB : La fonction rectangulaire intervient fréquemment comme facteur multiplicatif pour localiser un segment de durée T d'un signal quelconque. Traitement du Signal 12-13 7 Tri (t) 1 8- fonction triangulaire TriT(t) 1 t TriT (t ) 0 T t T t T -T 0 T t Cette fonction est l'auto convolution de la fonction rectangulaire de durée T. TriT(t)=RectT (t)*RectT(t) 9- la fonction sinus cardinal Cette fonction est obtenue en effectuant le rapport d'une fonction sinusoïdale et de son argument, et elle joue un rôle très important en théorie du signal, elle est définie de la manière suivante: 1 0 .8 sin( ) sin c 0 .6 0 .4 0 .2 0 à cause de la normalisation on obtient sin c( )d 1 -0 .2 -0 .4 0 600 sin c ( )d 1 2 10- La distribution de Dirac Impulsion (distribution) 10-1 Définitions L'impulsion de Dirac (t), aussi impulsion unité ou distribution delta définie par le produit scalaire : x( 0) x( t )( t )dt En d'autres termes, l'impulsion Dirac (t) est un opérateur d'échantillonnage qui restitue la valeur x(0) d'une fonction x(t) continue à l'origine. Sa dimension et par conséquent l'inverse de celle de la variable d'intégration. D'une manière plus générale, pour toute fonction x(t) continue en t=t0. x( t 0 ) x( t )( t t 0 )dt Le signal delta est utilisé pour localiser la valeur d'une fonction x(t) en t= t0. En posant x(t)=u(t) = 1 ( t )dt 1 et par suite Traitement du Signal 12-13 t avec 0 ( )d 1 ( t ) t0 t0 du dt 8 10-2 La Représentation graphique de t La Représentation graphique conventionnelle de c d(t - t0) est une flèche verticale en t=t0 de longueur proportionnelle au poids c. Remarque : la distribution delta peut être considérée comme la limite d'un impulsion de durée t et de hauteur 1/t lorsque t 0. 10-3 La Représentation graphique de la dérivée de t La Représentation graphique conventionnelle de c ’(t - t0) est une flèche verticale en t=t0de longueur proportionnelle au poids c a la quelle on ajoute un point au cote droit de la flèche. ‘ 10-4 Dérivée d’une fonction discontinue en un point t0 Soit la fonction f(t) définie de IR IR continue partout sauf au point t0. f(t) peut s’écrire sous forme de la somme d’une fonction continue g(t) continue partout ajoutée a la fonction échelon retardée de t0 u(t-t0) multipliée par le saut de la fonction de f(t) au point t0 donné par fs(t0)=f(t0+)-f(t0-) , donc, on a : f(t)=g(t)+ fs(t0)*u(t-t0) Or on sait que : du (t ) du (t t 0 ) (t ) ce qui implique que (t t 0 ) . dt dt f'(t)=g’(t)+ fs(t0)*(t-t0) Traitement du Signal 12-13 9 10-5 Suite Périodique d’impulsions de delta Une suite d’impulsions de delta se répétant sur l'axe du temps avec une période T sera notée par concision T (t) et exprimée mathématiquement par la somation suivante (t) = (t – kT) Cette suite est parfois appelée “opérateur d'échantillonnage” ou “peigne de Diracs’’. III- Rappels sur les systèmes et les fonctions de transferts Dans le domaine temporel, un tel système est caractérisé par une réponse impulsionnelle. La réponse impulsionnelle d'un système est la sortie du système lorsque l'entrée est une impulsion. En effet, lorsque l'on injecte cette impulsion à un système linéaire, la sortie n'est pas une impulsion mais un signal de durée finie. Mathématiquement, une impulsion est modélisée par la distribution de Dirac. La réponse impulsionnelle est alors la sortie du système lorsqu’il est excité par une dirac. 1- Définition de fonction de transfert On appelle fonction de transfert (transmittance complexe ou isochrone) T d’un système le rapport : T= AV = Vs/Ve. Cette Fonction de transfert est adoptée lors de l’étude du comportement d’un système en régime sinusoïdal. Notée aussi par H(jw). 2- Définition de Gain en Tension L’amplification en tension est définie par : Av = Vs/Ve Le gain en tension exprimé en décibels (dB) est : GV = 20 log êAV ê = 20 log êT ê NB : Si GV < 0, le quadripôle est atténuateur. Si GV > 0, le quadripôle est amplificateur. 3- Définition de Gain en Puissance L’amplification en puissance est définie par : Ap =Ps / Pe > 0 Si Ap > 1 alors Q est actif (amplificateur, filtre actif ...). Traitement du Signal 12-13 10 Le rendement du quadripôle est : = Ps / (Pe +Palim) < 1 avec Palim la puissance fournie par l’alimentation extérieure. Le gain en puissance exprimé en décibels (dB) est : Gp = 10 log Ap 4- Diagrammes usuels Connaissant la fonction de transfert H (jw) d’un quadripôle, celle-ci permet d’étudier le régime permanent harmonique (c’est-à-dire en réponse à un signal d’entrée sinusoïdal). On a l’habitude de représenter graphiquement H (jw) dans le plan de Bode qui comprend deux courbes Gv = 20 log êH(jw) ê= G (w) et j = h (w) dans un repère semi-logarithmique avec 0 < f £ ¥. Remarque : d’autres représentation sont possibles à citer : - Le plan de Nyquist représente T en coordonnées polaires (plan complexe) gradué en w. - Le plan de Black-Nichols représente êT ê= f (j) gradué en w. Exemple de représentation du diagramme de bode Tracer le digramme de bode du circuit RC. . Exemple typique : le circuit RC passe-bas Soit le circuit RC suivant, dit "passe-bas" : Le gain complexe de ce circuit est donné par : Pulsation de coupure = pulsation ou le signal est atténué de 3dB. Lors du choix de wc=1000 (rd/s), On obtient, les diagrammes de Bode suivants : Traitement du Signal 12-13 11 B o d e D ia g r a m M a g n it u d e ( d B ) 0 -1 0 -2 0 -3 0 P h a s e (d e g ) -4 0 0 -4 5 -9 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 F r e q u e n c y ( r a d /s e c ) Le gain en amplitude est déduit du module : Le déphasage est déduit de l'argument : Exemple typique : circuit RC passe-haut Soit le circuit RC suivant, dit "passe-haut" : Son gain complexe est donné par : Traitement du Signal 12-13 12 On obtient, pour ses diagrammes de Bode B o d e D ia g r a m M a g n it u d e ( d B ) 0 -2 0 -4 0 P h a s e (d e g ) -6 0 90 45 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 F r e q u e n c y ( r a d /s e c ) Son gain, déduit du module : Son déphasage, déduit de l'argument : Traitement du Signal 12-13 13 A- Classification des Signaux INTRODUCTION Un signal expérimental est l'image d'un processus physique et pour cette raison, doit être physiquement réalisable. Il est ainsi soumis à toute une série de contraintes. - Son énergie ne peut être que bornée - Son amplitude est nécessairement bornée - Cette amplitude est une fonction continue, car l'énergie du système générateur interdit toute discontinuité. - Le spectre du signal est lui aussi nécessairement borné et doit tendre vers zéro lorsque la fréquence tend vers l'infinie. Sur le plan théorique, un signal est une fonction ou une fonctionnelle mais ce signal n'est pas nécessairement limité par les contraintes précitées, c'est ainsi qu'on peut faire usage de signaux à énergie théorique infinie, amplitude non borné ou subissant des discontinuités. Exemples de signaux - Signal sinusoïdal : est un signal à énergie infinie. - Le model usuel des signaux perturbateurs (bruit de fond) admet la possibilité, bien qu'avec une probabilité qui tend vers zéro, d'avoir une amplitude infinie. - Les signaux logiques binaires sont généralement représentés par de simples discontinuités. I- Mode de classification Différents modes de classification des modèles de signaux peuvent être envisagés. On peut citer : 1- Classification phénoménologique On met ainsi en évidence le type d'évolution du signal, son caractère prédéterminé ou son comportement aléatoire. 2- Classification énergétique On sépare les modèles des signaux satisfaisant à une condition d'énergie finie, à puissance moyenne finie, et énergie finie. 3- Classification morphologique Celle-ci permet de distinguer les signaux selon le caractère continu ou discret de l'amplitude ou de la variable libre. 4- Classification spectrale Traitement du Signal 12-13 14 On met en évidence le domaine des fréquences dans lequel s'inscrit le spectre du signal. 5- Classification dimensionnelle On considère les signaux unidimensionnels, les signaux bi-dimensionnels ou image i(x, y) ou tridimensionnels, représentant par exemple l'évolution d'une image en fonction du temps. II- Classification phénoménologique Selon ce mode de classification on distingue deux types de signaux, déterministes et aléatoire. 1- Signaux déterministes Appelée aussi (certains en non aléatoire) dont l'évaluation en fonction du temps peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique approprié sous classification des S.D. a- Signaux périodiques Il s'agit des signaux qui vérifient la relation (1). x(t) = x(t+kT) k є Z, T est la période (1) On remarque que ces signaux se répètent au cours du temps. b- Signaux non périodiques qui ne vérifient pas cette relation La gamme la plus connue des Signaux Périodiques est la famille des signaux sinusoïdaux. 2- Signaux aléatoires Ce sont des signaux, dont le comportement est imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d'observation statistique. Les signaux aléatoires peuvent, quant à eux, être classés en deux grandes catégories : - sous classification de signaux aléatoire - Signaux aléatoires stationnaires, dont les caractéristiques statistiques sont invariantes dans le temps. - Signaux aléatoires non stationnaires, qui ne jouissent pas de cette propriété. s(t) s(t) t Signaux Aléatoires stationnaires Traitement du Signal 12-13 t Signaux aléatoires non stationnaires 15 Un signal aléatoire à comportement transitoire est non stationnaire. Le concept de stationnarité est comme le caractère permanent associé aux signaux périodiques. Il est utile dans la mesure ou l'on peut souvent considérer en pratique, qu'un signal est stationnaire pendant la durée d'observation. III- Classification énergétique Signaux à énergie ou puissance moyenne finie Une distinction fondamentale peut être faite entre deux grandes catégories de signaux : 1- Les signaux à énergie finie Les signaux à puissance moyenne finie non nulle la première catégorie contient les signaux de type transitoire qu'ils soient déterministes ou aléatoires. La deuxième englobe presque tous les signaux périodiques, quasi périodiques et les signaux aléatoires permanents. Certains signaux théoriques n'appartiennent à aucune de ces deux catégories c'est le cas de l’impulsion de dirac. L'abstraction mathématique commode que l'impulsion de Dirac n'est pas classable. - Cas continue : Ex - Cas discret : 2 Ex x(t) dt 1 px 2T T n x(n) 2 n 1 k K 2 px x(k) 2 K k K 2 x(t) dt T a- Signaux à énergie finie - Définition Les signaux à énergie finie sont ceux pour lesquels l'intégrale (2) est bornée. Ex 2 x(t) dt (2) Ces signaux leur puissance moyenne est nulle. b- Signaux à puissance moyenne finie - Définition Les signaux à puissance moyenne finie sont ceux qui satisfont à la condition (3). px 1 2T T 2 x(t) dt < ∞ (3) T Un signal à puissance moyenne finie non nulle possède une énergie infinie. Un signal à énergie finie possède une puissance moyenne nulle. Traitement du Signal 12-13 16 x2(t) Ex est l'air hachuré IV- T t Classification morphologique Signaux continus et discrets Un signal peut se présenter sous différentes formes selon que son amplitude est une variable continue ou discrète et que la variable t (considérée ici comme le temps) est elle même continue ou discrète ou distingue donc ainsi quatre types de signaux : 1- Le signal à amplitude et temps continue appelé couramment signal analogique, 2. Le signal à amplitude discrète et temps continue appelé signal quantifié, 3. Le signal à amplitude continue et temps discret appelé signal échantillonné, 4. Le signal à amplitude et temps discret appelé signal numérique, car il est représentable par une suite de nombre ou série temporelle. Tableau représentatif des differents signaux Déterministes Aléatoires Périodiques Non périodiques Stationnaires non stationnaires Sinusoïdale Quasi Ergodique Classification Pseudo Aléatoire périodique Transitoire Non Ergodique Spéciale V- Autres classes importantes 1- Les signaux de durée finie Les signaux dont l'amplitude s'annule en dehors d'un intervalle de temps T prescrit ; x(t) = 0 T < t Signaux à durée limitée ou à support borné. 2- Les signaux bornés en amplitude C'est le cas de tous les signaux physiquement réalisables pour lesquels l'amplitude ne peut pas dépasser certaines valeurs limite souvent imposée par des dispositifs électroniques de traitement. x(t) < K - < t < + 3- Signaux causaux Un signal est dit causal s'il est nul pour toute valeur négative du temps : x(t) = 0 Traitement du Signal 12-13 t<0 17 Amplitude Continue Amplitude Discrète Sq(t) S(t) Temps Continu t t Signal Analogique Temps Discret Signal Quantifié S(n) Sq(n) n Signal échantillonné n Signal Numérique Opération d’échantillonnage et de quantification La conversion analogique numérique implique un échantillonnage suivi d'une opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de l'échantillon par la plus proche valeur approximative extraite d’un ensemble fini de valeurs discrètes. Cette opération s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais). Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous forme binaire, par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui fixent la plage de conversion. Traitement du Signal 12-13 18 Chaque nombre xk, représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans un intervalle de largeur k appelé pas de quantification. Lorsque la plage de conversion est subdivisée en pas de quantification égaux, on parle de quantification uniforme. Un signal analogique est une fonction x(t) d'amplitude continue, définit sur t continue. Un signal numérique est une tableau x(n) d'amplitude discret définit pour le temps discret. Le passage de x(t) a x(n) ajoute un bruit. - Définition - Quantification En première approximation, la quantification consiste à remplacer un nombre réel par un nombre entier, par exemple à arrondir un nombre réel par le nombre entier le plus proche. De façon plus précise, la quantification associe un symbole logique à une quantité réelle. La terminologie associée à cette technique : pas de quantification q, quantification scalaire, quantification sur N bits, 8 bits, 16 bits, 24 bits, quantification vectorielle, quantification linéaire ou pas, A-law et mu-law, arithmétique en virgule fixe... Le pas de quantification est en rapport avec le nombre de bits alloué pour la quantification scalaire linéaire (la plus couramment utilisée) : q = 2 N Exemple : Effets de la quantification sur le son La quantification a pour effet de rajouter du bruit dans le signal : c'est le bruit de quantification. En première approximation, le bruit de quantification est un bruit blanc (c'est-à-dire réparti sur toutes les fréquences possibles), uniformément réparti (c'est-à-dire que les valeurs du bruit prennent de façon équiprobable toutes les valeurs comprises entre -q/2 et q/2). La puissance du bruit généré est proportionnelle au carré du pas de quantification : I = q 2/12. Le rapport signal à bruit correspond à la dynamique du support, c'est-à-dire le rapport entre la puissance du bruit de fond du support d'enregistrement ou de stockage et celle du signal le plus fort possible d'enregistrer sans distorsion sur ce support. Pour la quantification linéaire, le rapport signal à bruit est approximativement de (en décibel) 6*N, où N est le nombre de bits sur lequel se fait la quantification. Traitement du Signal 12-13 19 Par exemple pour les CD-audio : 16 bits donnent une dynamique (théorique) de 96dB. Pour donner un ordre d'idée, la dynamique d'un orchestre symphonique peut s'élever à 100dB. Dynamique (théorique) de différents supports CD-audio (16 bits linéaire) Cassette magnétique Cassette magnétique + Dolby V- 96dB 50dB 60dB CLASSIFICATION DES SYSTÈMES DE TRAITEMENT Les systèmes de traitement de signaux sont également classés selon la nature des signaux sur lesquels ils opèrent ou parle ainsi des : - Systèmes analogiques: amplificateurs, filtres classiques multiplicateurs, modulateurs. - Systèmes échantillonnés : circuit à transfert de charge filtre à capacité commutée. - Systèmes numériques : filtres numériques, corrélateur, transformateurs de fourrier et autres processeurs spécialisés. On rencontre aussi des structures hybrides : convertisseur analogique numérique. Fonction des convertisseurs Analogiques Numériques La tension d’entré est comparé à 2n – 1 valeurs du type : k/2nU0 déduite d’une tension de référence U0. Le résultat est traduit en mot binaire par un décodeur logique. Convertisseur parallèle. (Anglais “Flash Converter”). Traitement du Signal 12-13 20 Signal Horloge Va Comp. Début Remise à zéro Con verti sseur NA Vax Compteur CAN rampe Numérique Horloge Va Vax Déb ut tts bits à zéro Comp. Début Logique de contrôle Début bit poid fort FDC fixe bit = 1 Registre de contrôle MSB aller bit suivant CNA Bloc fonctionnel simplifié CAN approximation successive Oui Remettre bit à 0 Vax > Va LSB No n No n tts bits vérifié s Oui Organigramme Conversion achevée Fin Traitement du Signal 12-13 21 B- Représentation Vectorielle des Signaux I- Représentation discrète des signaux Le principe d'une représentation discrète d'un signal x(t) est basé sur le développement de celui-ci en une combinaison linéaire de fonctions connues k(t) ; k=1,2,...,n Les n coefficients constituent une représentation discrète du signal qui dépend de l'ensemble de fonctions k(t) choisies. Ceci constitue le fondement de l'analyse des signaux. L'intérêt d'un tel mode de description est triple : - Un choix adéquat des fonctions k(t) peut favoriser la mise en évidence de propriétés particulières du signal et faciliter l'étude des transformations qu'il subit au cours de sa propagation dans un système physique donné en particulier lorsque celui-ci est linéaire. - La représentation discrète est tout naturellement associée à l'image d'un vecteur dans un espace de dimension n (éventuellement infinie), ce qui permet d'interpréter géométriquement des notions assez difficiles à visualiser autrement telles que celle de distance, de produit scalaire, d'orthogonalisation, d'intercorrélation de deux signaux. - La représentation discrète est le seul moyen d'aborder le traitement d'un signal par voie numérique. 1- Définition d'un espace vectoriel On sait qu'un espace vectoriel est un ensemble d'éléments satisfaisant aux propriétés suivantes : la somme de deux éléments et le produit d'un élément par un scalaire (réel ou complexe) sont également des élément de l'ensemble. Un espace vectoriel linéaire de dimension n est généré par une base formée de n vecteurs linéairement indépendant : tout vecteur x de l'espace correspond ainsi à une unique combinaison linéaire des vecteurs de la base. Il existe une infinité de bases possibles. Un espace vectoriel est nommé si a tout vecteur x est associée une norme, notée |x| nombre réel, positif, nul si x est l'origine, qui est une généralisation de la notion de longueur. L'espace est dit métrique si à tout couple d'élément (x, y) est associé un nombre d(x, y), réel positif nul si x = y que l'on appelle la distance de ces éléments. La métrique usuelle est d(x, y) = x-y. 2- Rappel sur la transformation de Laplace 2-1 Définition de la transformée de Laplace Traitement du Signal 12-13 22 La transformée bilatérale de Laplace d’une fonction f(t) définie pour t (-, ) est donnée par : VII ( s ) v(t ) e st dt où s est une variable complexe s = + j. Étant donné les bornes infinies cette définition n’a de sens que si l’intégrale est convergente. 2-2 Définition de la transformée de Laplace Inverse La transformée inverse de Laplace est définie par : v (t ) 1 2 j j j VII ( s ) e st ds Cette intégrale ne reproduit la fonction initiale v(t) que si elle est effectuée dans le domaine du plan complexe de la variable s où VII(s) est définie. NB : si v(t) est une fonction causale, c. à d. v(t) = 0 pour t (-, 0-), alors la définition ci-dessus devient VI ( s) v(t ) e st dt 0 qui est appelée la transformée unilatérale de Laplace. La même formule d’inversion reste valide et reproduit la fonction causale v(t). 2.3 Conditions d’existence de la Transformée bilatérale de Laplace Une condition suffisante pour que l’intégrale définissant la transformée bilatérale de Laplace soit convergente est qu’elle puisse être bornée par une intégrale convergente. Or on a v(t ) e st dt v(t ) e st dt v(t ) e t dt . S’il existe M positif et et réels tel que M et v(t ) t M e t0 t0 v(t) est dite d’ordre exponentiel. Nous pouvons écrire 0 0 v (t ) e t dt Me( )t dt Me( )t dt On vérifiera facilement que ces deux dernières intégrales convergent si < < (fig. 2.1) qui est donc une condition suffisante d’existence de la transformée bilatérale de Laplace. Si la variable s appartient au domaine du plan complexe défini par les abscisses et , V(s) existe ainsi que son inverse. Pour évaluer cette transformée inverse il faut toutefois évaluer l’intégrale sur une droite verticale dans le domaine de convergence qui vient d’être défini. Traitement du Signal 12-13 23 Figure 2.1 3- Rappel sur la transformation intégrale de Fourrier L'analyse harmonique est l'instrument majeur de la théorie du signal. La TF, généralisé par l'emploi des distributions permet d'obtenir une représentation spectrale des signaux déterministe. Celle-ci exprime la répartition fréquentielle de l'amplitude, de la phase, de l'énergie et de la puissance des signaux considérés. Comme sera illustré plus loin, la transformation intégrale de Fourrier peut être envisagée comme une généralisation de la notion de développement en série orthogonale de fourrier. - Série de Fourrier De tous les développements orthogonaux d'un signal sur une intégrale de durée T, celui qui a la plus grande importance théorique est celui de Fourier, Tout signal x(t) peut être exprimé par une combinaison linéaire de fonctions exponentielles complexe en remplaçants ici l'indice k par n positifs qui forment un ensemble complet de fonctions orthogonales sur l'intervalle (t1,t1+T). Xk t1 T x(t ) exp( t1 2jkt )dt T x(t) X k exp( k 2jkt ) T Ces coefficients présentent l'intérêt d'être naturellement harmoniques à des fréquences f n=n/T et conduisent à la notion classique du spectre fréquentiel bilatéral d'un signal. Si la fonction x(t) est réelle, les coefficients Xn et X-n sont conjugués complexes. - Transformé de Fourrier Soit x(t) un signal déterministe, sa transformée de fourrier est une fonction généralement complexe de la variable f définie par : Traitement du Signal 12-13 24 X(f ) Fx ( t ) x , exp( j2ft x(t ) exp( j 2ft )dt X( f ) La Transformation inverse : x(t) F X(f ) 1 x (t ) x, exp( j2ft X(f ) exp( j2ft)df Il est généralement préférable, en traitement des signaux, d'exprimer la transformée de fourrier d'un signal en fonction de la fréquence f, plutôt qu'en fonction de la pulsation w=2f comme c'est l'usage en théorie des circuits. Si on désire représenter cette transformée en fonction de la pulsation w on a respectivement la transformée direct et inverse données par : F [v(t)] = V ( ) v(t ) e jt dt et F-1 [V(w)]= v(t ) - 1 2 V ( ) e jt d Dualité temps fréquence La symétrie des transformations directe et inverse montre l'existence d'une dualité entre l'espace temps (t) et l'espace fréquence f. Cette dualité joue un rôle fondamental dans la plus part des méthodes de traitement des signaux. En résume : si X(f) est la transformée de Fourier de x(t) alors X(t) x(-f) Preuve : On sait que : f(t) = X ( f )e j 2ft df si on remplace t par - on obtient : x( ) X ( f )e j 2f df et en échangeant et f, on a : - x(-f)=F(X()) L'existence de la transformée de Fourrier 1) Toutes les fonctions de carré intégrable "donc tous les signaux à énergie finie" possèdent une transformée de fourrier qui est également une fonction de carré sommable. - Comme cité plus haut, le développement en série de fonctions orthogonales d'un signal pris dans un intervalle fini est un moyen d'analyse précieux. Le développement en série de fourrier d'un signal périodique peut donner directement la TF, en tenant compte de la relation. Traitement du Signal 12-13 25 X (f ) k X k (f T ) k Ainsi, la transformée de Fourrier d'un signal périodique apparaît comme une combinaison k linéaire de masses ponctuelles localisées aux fréquences discrète f k T k Z . On dit qu'il s'agit d'un spectre de raies. 2) Toute fonction s(t) périodique de période T (s(t+nT) = s(t) n N) est représentée par une infinité m 1 de coefficients de fourrier aux fréquences harmoniques entier espacés de f . T T Elle est restituée par son développement en série de fourrier pour t < T/2. s (t ) C k m exp( j 2 m ) T S(f) apparaît comme la forme limite de la densité spectrale de raies définie par T ====== Cm CmT lorsque f f df . ie s (t ) Lim s(t ,T ) T Lim C T m exp( j 2mft ) 1 T /2 s (t ) Lim s(t , T ) exp( j 2mft )dt exp( j 2mft ) T T T / 2 df s ( t ) exp( j 2 ft ) dt exp( j 2 ft ) S ( f ) exp( j 2ft )df s (t ) Propriétés élémentaires : Posons s (t ) S ( f ) 1) Linéarité s (t ) S ( f ) i i i i i i 2) Symétrie s (t ) S ( f ) 3) Changement d'échelles s (t ) 1 f S( ) 1 t s( ) S ( . f ) 4) Translation (théorème du retard) s(t t0 ) S ( f ) exp( j 2ft0 ) Traitement du Signal 12-13 exp( j 2f 0t ) s(t ) S ( f f 0 ) 26 5) Modulation sin( 2f 0t ) s(t ) 1 S ( f f 0 ) S ( f f 0 ) 2j 1 S ( f f0 ) S ( f f 0 ) 2 cos(2f 0t ) s(t ) 6) conjugaison s ( t ) S ( f ) s* (t ) S ( f ) 7) Différentiations j 2f k s(t ) d d k s (t ) k j 2f S ( f ) k dt 8) Intégration k S( f ) df k lorsque s(0)=0 s(t )dt S( f ) j 2f 9) Théorème des Moments 1 dkS t s(t )dt j 2 df k (0) k 9) Convolution La transformation de Fourrier transforme la convolution en multiplication et la multiplication en convolution. Fx ( t ) y( t ) X(f ) * Y(f ) Fx ( t ) * y( t ) X(f )Y(f ) - Exemple - Pulsation rectangulaire rect(t) ===== sinc(t) sinc(t) =====rect(f) - Spectre de phase Impulsion rectangulaire décalée - Fonction d'autocorrélation xy ( ) x* , y x(u) y( u )du * xy ( ) xy ( ) - Fonction d'intercorrélation Traitement du Signal 12-13 27 * x ( ) x , x x(u) x( u)du x x(u) x( u )du ( ) x , x * La valeur a l'origine t=0 de la fonction d'autocorrélation est égale à l'énergie du signal. 2 x (0) x* , x x wx x(u) 2 du - Extension de la TF Les signaux à puissance finie ne satisfont pas les critères de convergences usuels de la TF. Cette méthode d'analyse ne peut être envisagée rigoureusement dans ce cas qu'en élargissant le champ d'application de la TF appelé distribution. Le résultat essentiel de la théorie des distributions pour l'analyse des signaux est la correspondance : (t ) (t t0 ) 1 (f) exp( j 2ft0 ) (t ) 1 exp( j 2ft0 ) (t t0 ) - Théorème de Parseval x ( ) 2 X (f ) d 2 x(k ) df 2 1 2 X ( f ) df 2 1 2 - Fonction d'inter corrélation xy ( t ) x() y (t )d * x (t ) x( ) x (t )d pour t=0 E * x x (0) l'énergie du système. - Spectre d'énergie : ou densité spectrale d'énergie : D.S S x ( f ) X (f ) 2 La transformée de la fonction d'auto corrélation d'un signal noté Sx (f ) est appelée spectre d'énergie ou densité spectrale d'énergie. - Influence de la troncature d'un signal sur son spectre: xT(t)=x(t)RectT(t) XT(f)=X(f)*Tsinc(fT) Puisque le support XT(f) est la somme de celui de X(f) et sinc(f) (déjà va en produit de convolution). Donc la troncature temporelle s'accompagne d'un élargissement fréquentielle et celui-ci est d'autant plus fort que T est petit. - EXEMPLE 1I(t) Traitement du Signal 12-13 (f) 28 exp(j2f0t) xT (t ) (f-f0) a exp( j 2f 0 t ) exp( j 2f 0 t ) 2 XT ( f ) aT sin c( f f 0 ) sin c( f f0 ) 2 Table des propriétés de la Transformée de Fourier Propriété Fonction Transformée Dualité v1(t) + v2(t) et sont des constantes V(t) Échelle de temps v(at); a est une constante Linéarité Décalage dans le temps v(t - t0) Décalage en fréquence e j0t v(t) Valeur initiales de v(t) v(0) V1(f) + V2(f) v(-f) 1 f V( ) a a V(f) e j 2t0 f V(f - f0) V ( f )df v t dt V(0) Dérivation dans le temps v(n) (t) (j2f)n V(f) Dérivation en fréquence (-j2t)n v(t) V(n) (f) Valeur initiales de V(f) v( ) d V ( ) V (0) ( ) j v*(t) V*(-f) t Intégration dans le temps Fonctions conjuguées Multiplication dans le temps V1 ( )V2 ( f )d v1(t) v2(t) Multiplication en fréquence v ( ) 1 v2 (t - ) d V1(f) V2(f) Réflexion x(-t) X(-f) Relation de Parseval Traitement du Signal 12-13 2 v(t ) dt V( f ) 2 df 29 Exemple de la Transformée de Fourier : x(t) e-t u(t) te- t u(t) X(f) 1 j 2f 1 (t) ( j 2f ) 2 2 2 1I(f) 1 (f) |t| u(t) RectT(t) 1 j T sinc(Tf) TriT(t) { Tsinc(Tf)}2 sin 0t u(t) - 0 - 0 2 0 2 2j 0 - cos 0t - 0 0 sin 0t j 0 - - 0 e-at sin 0t u(t) 0 2 a j 02 Traitement du Signal 12-13 ( ) 30 Echantillonnage et Reconstitution Introduction Lors du paragraphe de classification des signaux, on a mis le point sur des signaux discrets et des signaux continus, ce chapitre sera dédié au passage d'un type de signaux à l'autre continu- numérique et numérique-continu. L’opération de passage d’un signal continue à un signal numérique se fait par un échantillonnage suivi d’une quantification alors que le passage inverse est réalisé par la reconstitution. Echantillonnage Signal Continue Signal Discret Reconstitution 1- L'ÉCHANTILLONNAGE 1.1 INTRODUCTION L'opération d'échantillonnage consiste à prélever l'information contenue dans le signal continu tous les kTe. Te est dite période d'échantillonnage. On appelle aussi échantillonnage x(t) x1 x2 x(Te) x(2Te) x3 ….. x(3Te) xn x(nTe) En pratique cette opération est réalisée à l'aide d'un convertisseur analogique-numérique, qui est symbolisé par: x(t) T x1 x2 x(Te) x(2Te) x3 x(3Te) ….. xn x(nTe) On supposera dans la suite que x(t) est définie pour t=kTe. Mathématiquement, cette opération est similaire a une multiplication du signal x(t) par l’opérateur peigne de dirac T(t); comme nous l’avons défini au chapitre 1 , il est constitue par une série de dirac espacées de T. T (t ) Traitement du Signal 12-13 (t nT ) n 31 1.2 EFFET DE L’OPERATION D’ECHANTILLONNAGE Afin de mettre en relief les effets de cette opération d’échantillonnage sur l’information contenue dans le signal analogique de départ, une comparaison entre les deux transformées de fourier des deux signaux analogique et numérique est nécessaire. Notons par X(v) et X(f) les transformées respectives du signal analogique x(t) et du signal x(n) échantillonnée . On pose: X (v) = F(xn) et X(f) = F(x(t)) et que si x(t) est intégrable X( f ) x(t ) exp( j 2ft )dt X (v ) x n exp( j 2nv) Considérons le signal continu x*(t) définie par : x * (t ) x (t ) (t nTe ) x*(t) contient toute l'information relative à la séquence xn. x* (t) peut s'écrire : x * (t ) x(t ) (t nTe ) X * ( f ) F [ x * (t )] X ( f ) * F (t nTe ) X *( f ) X ( f )* 1 Te n e ( f T ) La représentation spectrale X* (f) est périodique et elle est obtenue en répétant X(f) tous les 1/Te. Considérons le signal x(t) dont la représentation spectrale est donnée par la figure suivante : |X(f)| 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -4 0 -2 0 0 20 Fréquence (Hz) 40 f Il faut remarquer que le spectre du signal s’étend sur l’intervalle [-fm=-32 fm=32]. Traitement du Signal 12-13 32 Donc, le choix de fe supérieur a 2fm=80 donnera un spectre sans repliement spectral comme illustre par la figure suivante : Te |X*(f)| 1 0 .5 0 -2 0 0 -1 5 0 -1 0 0 -5 0 0 50 100 150 200 Fréquence (Hz) f Alors que, le choix de fe inférieur a 2fm égale a 60 par exemple donnera un spectre avec repliement spectral comme illustre par la figure suivante : Te |X*(f)| 1 0 .8 0 .6 Repliement du spectre 0 .4 0 .2 0 -1 5 0 -1 0 0 -5 0 0 50 100 150 Fréquence (Hz) f Figure représentant seulement le spectre de X(f) décalé sans la sommation. Te |X*(f)| 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 -1 5 0 -1 0 0 -5 0 0 Fréquence (Hz) 50 100 150 f Figure représentant seulement le spectre de X(f) décalé avec la sommation. Traitement du Signal 12-13 33 |X*(f)| |X*(f)| Repliement du spectre d'autre part, X * ( f ) F [ x * (t )] f x(nTe ) (t nTe ) exp( j 2ft )dt X * ( f ) x(nTe ) (t nTe ) exp( j 2ft )dt X * ( f ) x(nTe ) exp( j 2fnTe ) Remarque : la notation intégrale est en toute théorie incorrecte et l'on devrait noter : X *( f ) x(nTe ) (t nTe ), exp( j 2fnTe ) d'où X * ( f ) X (v ) pour v f 1 n X (v ) X ( f ) * ( f ) v f Te Te La représentation spectrale d'un signal discret, lorsque celui-ci est issu d'un signal continu, s'obtient à partir de la représentation spectrale du signal continu, décalé tous les 1/T e et en additionnant les éventuelles zones de recouvrement. 1 1 , , on Lorsque le spectre du signal continu n'est pas borné et contenu dans la zone 2T 2T dit qu'il y a repliement du spectre. 1.3 RECONSTITUTION IDÉALE ET THÉORÈME DE SHANNON Le problème posé est le suivant, peut-on reconstituer le signal x(t) à partir du signal discret xn. Cette question, transposée dans le domaine spectral peut encore s'annoncer, peut on isoler X(f) à partir de la représentation spectrale du signal discret. Traitement du Signal 12-13 34 Dans le cas ou il y a de repliement de spectre il est impossible d'isoler X(f), ou plus exactement impossible d'isoler 1/TeX(f) en multipliant X*(f) par Rect(1/Te)(f) avec Rect(1/Te)(f)=1 pour |f|<1/2Te, est égale à zéro ailleurs. |X*(f)| Rect(f) |X*(f)| X (f ) T -1/2T 1/2T f par suite on a le théorème de Shannon. 1.4 THÉORÈME DE SHANNON Un signal continu, à spectre borné contenu dans la bande f m , f m , peut être théoriquement reconstitué à partir de prélèvements effectués à une période telle que : Te 1 . 2 fm La valeur limite de la fréquence d'échantillonnage 2f m s'appelle la fréquence de Shannon ou encore Nyquist. Il y a lieu de remarquer qu'un signal à spectre borné doit être à support temporel infini, et en suite que la reconstitution idéale nécessite un filtrage fréquentiel parfait qui est physiquement irréalisable. Le théorème de Shannon est donc purement mathématique, et ne pourra jamais s'appliquer rigoureusement en pratique. Il permet toutefois de choisir la période d'échantillonnage T e de manière à ne pas perdre beaucoup d'information. 2- CONSIDÉRATIONS PRATIQUES 2-1 RECONSTITUTION ANALOGIQUE PRATIQUE Filtre Anti-repliement Afin d'éviter le repliement du spectre, il est indispensable d’être sure que le spectre du signal à échantillonner ne contient aucune valeur non nulle en dehors de la bande des fréquences [-f e/2 fe/2]. Afin d’être sure de l’hypothèse sur laquelle s’est fait le choix de la fréquence d’échantillonnage, il serait indispensable d'introduire un pré-filtrage du signal analogique avant de procéder à l'échantillonnage. Traitement du Signal 12-13 35 Le filtre Anti-repliement (ou filtre de garde) parfait serait un filtre passe-bas idéal de bande passante B = fe/2. Tout filtre anti-repliement réel comporte une bande de transition qui reporte la bande passante limite BM au delà de la bande passante effective. Nous allons voir dans les séances suivants qu'on spécifie les caractéristiques d’un filtre avec un gabarit en donnant des paramètres: p : L’ondulation en bande passant p Dernière fréquence passante a : première fréquence atténuée a : L’ondulation en bande atténuée. 2-2 RECONSTITUTION ANALOGIQUE PRATIQUE Ce problème de reconstitution se pose en pratique dans une liaison numérique analogique à la sortie d'un calculateur. Cette opération est réalisée à l'aide de convertisseur numérique analogique. Ces convertisseurs sont en fait des filtres encore appelés bloqueurs et le plus courant est le bloqueur d'ordre zéro. Comme nous l’avons déjà vu il faut faire passer le signal échantillonné xe(t) dans un filtre passe-bas pour obtenir le signal continu x(t). On développe ici l’équivalent de cette opération dans le domaine du temps. Soit la fréquence d’échantillonnage la fréquence de Nyquist (2fm échantillons par seconde) Te On peut écrire Traitement du Signal 12-13 Xe( f ) 1 Te n e X(f T 1 2 fm ) 36 x(t) est reconstruite par un filtrage passe-bas de xe(t), i.e. par le passage de xe(t) dans un filtre ayant comme fonction de transfert H ( f ) Te rect 2 / Te ( f ) Te -2/Te H(f) 2/Te 0 f Soit la sortie du filtre y(t). Nous avons Y(f) = Xe(f) H(f) = X(f) D’où y(t) = x(t). xe y(t) Filtre Il est intéressant de visualiser ce processus de reconstruction de x(t) à partir de xe(t). Pour ceci remarquons que y(t)=x(t)*h(t) ou h(t) n est rien d’autre que la Transformée de fourier inverse de H(f). h(t)=F-1(H(f)) h(t) est la réponse impulsionnelle du filtre h(t ) sin c( c. à d. t T m ) h(t ) Sa m t Te x(t ) xe (t ) * sin c( 2t ) Te Donc on peut reconstruire f(t) de ses échantillons si on effectue la convolution du signal échantillonné fe(t) avec une fonction d’échantillonnage Sinc(mt). Interprétation graphique : Traitement du Signal 12-13 37 Notons que rigoureusement, cette opération n’est pas faisable puisque la réponse impulsionnelle du filtre idéal et non-causale et s’étend jusqu’à moins l’infini dans le temps. Pour reproduire exactement le signal, il faudrait commencer au temps t = - ce qui introduit un retard infini. En pratique on devra se contenter d’une reconstruction approximative du signal. M En toute théorie ces filtres ont eu comme entrée un signal discret et en sortie un signal continu et n'entrent pas dans la catégorie de systèmes linéaires envisagés jusqu'à présent. xn y(t) Filtre On peut résoudre ce problème, en considérant, non pas le signal discret mais le signal continu x*(t). On sait que ces deux signaux ont la même représentation spectrale et contiennent donc la même information. ho(t) xn xo(t) ho(t) 1/Te t le bloqueur d'ordre zéro à la réponse impulsionnelle ho(t) Ainsi pour un signal x * ( t ) x (nT)( t nT) à l'entrée d'un tel filtre, la sortie sera une suite de réponse impulsionnelle (à une constante x(nT) près) décalées de T. xo(t) x(t) Traitement du Signal 12-13 xo(t) t 38 Voyons les conséquences fréquentielles de ce blocage. xo(t)=x*(t)*ho(t) T SinfT X 0 ( f ) X * ( f ) exp( j 2f )T 2 fT X 0 (f ) T sin fT fT X * (f ) |Xo(f)| -1/Te 1/Te f Plus 1/Te est grand, moins il y aura d'erreur sur la reconstitution du signal. Relation énergétique : Soit un signal continu d'énergie finie et de spectre borné. E x 2 ( t )dt 2 X * (f ) df Soit xn, le signal discret issu de x(t) par échantillonnage à une période T vérifiant le théorème de SHANNON T < 1/ 2fm. xn est alors un signal discret à énergie finie. 1 2T x 2n T 2 X * ( v) dv 1 2T Quelle est la relation liant l'énergie en continu à l'énergie du signal discret? Le théorème de SHANNON étant vérifié : 1 X(f ) X( v) | v=f T Si X(f) = 0 d'où en dehors de la bande 2 1 2T X(f ) df 2 1 2T x(t) 2 1 2T X(f ) df T 2 Traitement du Signal 12-13 1 1 f 2T 2T 2 X( v) dv 1 2T dt T x 2n 39 Si le théorème de SHANNON n'est pas vérifié, cette relation est seulement approximative. On aboutit à des relations d'un même type dans le cas de signaux à puissance finie. 1 0 .5 0 -4 0 -2 0 0 20 40 1 0 .5 0 -2 0 0 -1 5 0 -1 0 0 -5 0 0 50 100 150 200 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 -1 5 0 -1 0 0 Traitement du Signal 12-13 -5 0 0 50 100 150 40 Transformation de Fourrier Discrète La transformation de fourrier des signaux numériques, telles qu'elle a été définie et étudiée précédemment n'est d'aucun intérêt pour un traitement numérique. Ceci provient, d'une part, de l'existence d'une variable continue -analogique- représentant la fréquence et d'autre part, de la nécessité de faire intervenir un nombre infini d'échantillons du signal. Vu l'importance considérable de cette transformation en traitement de signaux, il est nécessaire de la mettre sous une forme pratiquement utilisable. Cette forme est appelée TFD est sera dénotée par TFD. Dans la suite et après une étude de la TFD nous allons montrer l'intérêt de cette dernière en mettant l'accent sur la technique de calin L ou d'algorithmes rapides et efficaces. - Rappels X (f ) x(k ) exp( j2fk ) (1) k X(f) est périodique de période 1, généralement c'est une fonction complexe de la variable f. x (k ) 1 2 X(f ) exp( j2fk)df (2) 1 2 Les difficultés associées aux relations (1) et (2) : a) f est continue d'ou l'impossibilité de faire usage d'un système de traitement numérique. b) x(k) est une série d'une infinité d'éléments qu'on ne peut pas traité numériquement. - solution - Limiter la durée du signal x(k). - Remplacer la variable continue f par une variable discrète, mais il faut faire attention à ces deux opérations pour ne pas obtenir des résultats erronés. Le remplacement de f par une variable discrète peut s'écrire : f = nf où f est l'incrément utilisé sur l'axe des fréquences fn=n f est appelé fréquence harmonique de la TFD. X(f) est périodique de période 1 donc on peut diviser une période en N incrément et on a : f =1/N Traitement du Signal 12-13 41 Si on décide de travailler avec la période -1/2, 1/2, N=-N/2, -N/2 + 1 ....., N/2-1. Compte tenu de la discrètisation de la fréquence, x(k) est approximée par une somme donnée par l'équation (3). N 1 2 x (k ) n k) N X(n ) exp( j2 N n 2 (3) La valeur exacte est dénotée par xp(k) x p (k ) N 1 2 X(n ) exp( j2 N n 2 n k) N (4) x (k ) x p ( k ) Ainsi : On doit chercher pour quelles conditions cette relation devient l'identité. On note : WN exp( j 2 ) N WNnk exp( j WNk l WNl WNk 2 nk ) N WNk lN WNk (5) - Propriétés et valeurs spéciales WNlN 1 lN WN2 k 1 WN WNlN 1 Pour k=lN N 2 WNk WN2 WN 2 N 1 N Pour les autres, la somme vectorielle de N racines nième de l'unité est toujours nulle, car ces racines sont séparées les unes des autres par un incrément angulaire 2/N. - QUALITÉ DE L'APPROXIMATION On remarque d'après la relation (5) que WN nk est périodique de période N. Ainsi xp(k) est périodique alors que x(k) n'est pas supposé être périodique. Pour trouver la relation liant x(k) et xp(k) on substitue Xn(n) dans la relation (4) x p (k ) N 1 2 n n x (l) exp( j2 N k) exp( j2 N k ) N l n Traitement du Signal 12-13 2 42 x p (k ) N 1 2 n n exp( j2 N k ) exp( j2 N (l k )) N x(l) l n 2 L'expression entre crochets vaut 1 pour l-k=iN et 0 ailleurs x p (k ) x (iN k ) i Cette relation indique que xp(k) est obtenue par répétition périodique de période N du signal x(k). La transformé de Fourrier, inverse aussi bien que directe d'une fonction échantillonnée est une fonction périodique dont la période est l'inverse de la période d'échantillonnage. - Définition Pour des signaux apériodiques à durée limitée à N la TF devient : X (f ) k 0 N 1 x (k ) exp( j2fk ) k k 0 cette relation peut être mise sous la forme : X(f ) k 0 N 1 x(k )W nk N k k0 avec : n N ,... 2 N 1 2 La transformation inverse est donnée par : x (k ) 1 N N 1 2 X(n)WNnk k k 0 ,... N k 2 k0 N 1 Par ce volet, nous avons donné la TFD pour un signal périodique à durée finie N. Si le calcul de x(k) est réalisé pour les autres k on obtient alors un signal périodique donné par : x p (k ) x (iN k ) i On peut obtenir par extraction de la période de xp(k) correspondant à l'intervalle où x(k) est non nulle. A cet effet, on peut utiliser le signal rectangulaire rect N(k) ou toute version translatée de celuici : x(k)=xp(k) rectN(k-k0) Traitement du Signal 12-13 43 Comme on connaît à priori cet intervalle, on peut écrire : k0 k k0 N 1 ailleurs x (k ) x p (k ) 0 Remarque : Dans le cas ou on a que X(n) Pour -N/2 < n < N/2 sans autre information préalable sur le signal x(k). On ne peut pas décider s'il s'agit d'un signal périodique ou d'un signal à durée limitée. Si N est connue, il faut aussi connaître k0 pour déterminer l'intervalle k 0 , k 0 N 1 . Par la relation précédante on obtient seulement une permutation cyclique des échantillons de x(k). TRANSFORMATION DE FOURRIER DISCRÈTE DES SIGNAUX PÉRIODIQUES ET DES SIGNAUX RÉELS - SIGNAUX PÉRIODIQUES X p (f ) N 1 k 0 0 x p (k ) exp( j2fk ) xp(f) périodique de période 1. N 1 N 1 nk X p (n ) x p ( k ) exp( j2 ) x p ( k ) WN nk N k 0 k 0 0 N N n , 1 2 2 0 La transformation inverse : x p (k ) 1 N N 1 2 N n 2 X p (n ) exp( j2 nk 1 ) N N N 1 2 N n 2 X p (n ) WN nk k 0, N 1 Remarque : L'importance du rôle joué par la TFD en traitement numérique du signal est énormément renforcée par l'existence d'un algorithme de calcul rapide, ces algorithmes sont basés sur les propriétés de symétrie (dues aux signaux réels) pour éviter des calculs redondants. soit le signal : x (k ) a k rect N (k ) sa TFD X(n ) N 1 k 0 a0 N nN a k WN nk X(n ) 1 a WN 1 a WN n 1 aN 1 a WN n Les spectres d'amplitude et de phase s'obtiennent on remplaçant WN par son expression : 1 aN 1 aN X(n ) n n n 1 a cos(2 ) ja sin( 2 ) 1 a 2 2a cos(2 ) N N N Traitement du Signal 12-13 X(n ) 44 n a sin( 2 ) N x (n) arg( X ( n)) arctg a cos( 2 n ) 1 N Principales propriétés de la transformée de fourrier discrètes Si la durée de x1(k) est N1 celle de x2 est N2 la durée du signal est N=Max (N1, N2) Si, par exemple, N1>N2 , on doit calculer les deux TFD avec N=N 1 ainsi X2(n) sera la TFD du signal x2(n) prolongée par N1-N2 échantillons nuls . - Décalage cyclique : Traitement du Signal 12-13 45 TRANSFORMATION EN Z - INTRODUCTION La Transformée de Fourier TF est un outil précieux en Traitement du Signal Numérique et Analogique sur les deux plans théorique et expérimental. Toutefois, dans certains problèmes, surtout dans ceux qui sont orientés vers l'analyse et la synthèse de systèmes de traitement (par exemple en filtrage numérique) les limites des capacités de la TF sont vites atteintes, le besoin ainsi créé d'un outil plus puissant est comblé, principalement sur le plan théorique, par la TF à laquelle elle peut s'identifier dans un cas particulier. Par sa nature générale, la T en Z permet, par exemple, de représenter un signal possédant une infinité d'échantillons par un ensemble fini de nombres. Ces nombres, caractérisant complètement le signal, permettent de le reconstituer entièrement. Ce chapitre présentera la transformation en Z, les conditions de son existence et les différentes méthodes qui permettent de calculer la transformation inverse. On étalera aussi les propriétés de la T en Z ainsi que les relations qui existe en TF et T en Z et TL. Finalement, on définit : fonction de transfert d'un système linéaire. On étudie ces conditions de causalité et de stabilité dans le plan des Z. A - TRANSFORMATION EN Z 1- Définition La Transformée en Z X(z) d'un signal x(k) est définie par : X ( z ) x(k )z k (1) où z variable complexe ou X(z) est une fonction complexe de la variable z. (Forme analytique série de Laurent : toute les dérivées sont des fonctions continues de z) On utilise souvent la notation : X ( z ) Z ( x(k )) (2) Remarque : La Transformée en Z est dite bilatérale vu, que la sommation s'étend à tous les entiers k . Dans l'étude des signaux et systèmes causals on utilise la Transformée en Z unilatérale définie par : X ( z) x(k )z k (3) k 0 Traitement du Signal 12-13 46 La définition (3) est considérée comme un cas particulier. 2 - Existence de la T en Z Il est clair que le problème majeur sera celui de la convergence. On appellera domaine de convergence pour un signal donné, l'ensemble des valeurs de z pour lesquelles la série (1) converge. - Critère de Cauchy : Une série du type : U k U 0 U1 U 2 U 3 ... k 0 Un ... converge si la condition suivante est satisfaite : Lim U k k 1 k 1 on va décomposer (1) en deux parties : X ( z) 1 x(k )z k k x(k )z k X ( z ) X1( z ) X 2 ( z ) k 0 l'application du critère de Cauchy donne : Lim k 1 k k x(k ) z 1 puis Lim x (k ) k 1 k z 1 1 1 Soit Rx Lim x(k ) k la série X2(z) converge alors pour |z|>Rx-. Avec le changement de variable l=k k on montre que X1(z) converge pour |z| < . Avec 1 Rx 1 Lim x( k ) k . k ainsi, la série (1) converge en général dans un anneau du plan complexe z donné par: 0 Rx -< |z|Im[z] < Rx + Rx- Traitement du Signal 12-13 Rx+ 47 Région de convergence Re[z] Résumé : k A tout signal x(t) on peut associer de façon formelle une transformée en X ( z ) x(k )z On peut associer à cette série formelle une fonction de la variable complexe z que nous noterons également X(z). Si z appartient au domaine de convergence de cette série. Ce domaine de Convergence est un disque ouvert limité par R1 et R2 ou R1<R2. R2 est le rayon de CV de la série x(-k) z-k pour k < 0 et 1/R1 est le rayon de Convergence de la série entière x(k) zk pour k > 0. Les rayons de Convergence peuvent être nuls, finie ou infinis. Le domaine de Convergence fait partie intégrante de la définition de la Transformée en z car en général, chaque expression données X(Z) est la Transformée en Z de plusieurs signaux x(k) si on ne précise pas son domaine de Convergence. - Exemple 1: Dans ce cas, le calcul de la somme est simplifié par l'apparition d'une progression géométrique de raison z-1 . Si on utilise les relations Rn- et Rn+ , on trouve Rn-=1, Rn+=+ . Exemple 2 : Soit le signal x(k) = ak u(k) a>0. - Exemple 3 : Soit x(k) = ak, Rn-=Rn+ = a absence du domaine de convergence a < z< a irréalisable. Traitement du Signal 12-13 48 Propriétés de la Transformée en Z : Exemples de la Transformée en Z Traitement du Signal 12-13 49 Traitement du Signal 12-13 50 Les filtres à temps continu 1- Les Filtres de Butterworth Le module de réponse fréquentielle d'un filtre de Butterworth d'ordre n est donnée par : Lorsque = 1, on a affaire à un filtre de Butterworth standard. Lorsque ≠ 1, on a affaire à un filtre de Butterworth généralisé. L'allure du module de la réponse fréquentielle d'un tel filtre est représentée par la figure 1. Les points à souligner sont le caractère monotone décroissant de H(w) et l'atténuation qui tend vers 6 dB par octave ou 20 dB par décade lorsque wtend vers l'infini. Mentionnons aussi que la fréquence de coupure normalisée wc est toujours égale à 1 rad/s. Module de la réponse fréquentielle Pulsation normalisée w Fig. 1 Module de la réponse fréquentielle de filtres de Butterworth passe-bas normalisées. La fonction de transfert d'un filtre de Butterworth d'ordre n peut se mettre sous l'une ou l'autre forme suivante : Lorsque = 1 et dans ce cas seulement, les coefficients du dénominateur forment une suite centrosymétrique. La valeur de ces coefficients ainsi que des pôles est donnée dans les deux tableaux suivants, toujours pour le cas = 1. Traitement du Signal 12-13 51 Position des pôles d'un filtre de Butterworth normalisée, = 1. Ordre pôles Ordre pôles du du filter* filter* 2 3 -0.70711 j0.70711 -0.50000 j0.86603 4 5 -0.38268 j0.92388 -0.30902 j0.95106 -0.92388 j0.38268 -0.80902 j0.58779 6 7 -0.25882 j0.96593 -0.22252 j0.97493 -0.70711 j0.70711 -0.62349 j0.78183 -0.96593 j0.25882 -0.90097 j0.43388 8 9 -0.19509 j0.98079 -0.17365 j0.98481 -0.55557 j0.83147 -0.50000 j0.86603 -0.83147 j0.55557 -0.76604 j0.64279 -0.98079 j0.19509 -0.93969 j0.34202 10 -0.15643 j0.98769 -0.45399 j0.89101 -0.70711 j0.70711 -0.89101 j0.45399 -0.98769 j0.15643 *Tous les filtres d'ordre impair ont également un pôle en s = -1 Coefficients du dénominateur de H(s), filtre de Butterworth normalisée, = 1. Le dénominateur est de la forme : L'ordre d'un filtre de Butterworth passe-bas normalisée peut également être déterminée à l'aide de l'abaque donnée par la figure 2, quelle que soit la valeur de . Traitement du Signal 12-13 52 2 Filtres de Chebychev Module de la réponse fréquentielle Pulsation normalisée w Fig. 1 Module de la réponse fréquentielle de filtres de Chebychev passe-bas normalisées. Le module de réponse fréquentielle d'un fltre de Chebychev d'ordre n est défini par : ou Cn(w) est le polynôme de Chebychev d'ordre n dont la définition est la suivante : L'allure du module de la réponse fréquentielle d'un tel filtre est représentée par la figure 2. Les points à souligner sont le caractère monotone décroissant de H(w) pour = 1 et l'atténuation qui tend vers 6 dB par octave ou 20 dB par décade lorsque w tend vers l'infini. Par contre, lorsque 0≥ w _ 1, le module de la réponse fréquentielle oscille entre les valeurs H et H= , le nombre d'oscillations étant égal à n=2. L'amplitude de ces oscillations est souvent désignée par le terme de ronflement du filtre. Mentionnons enfin que la fréquence de coupure normalisée wc est toujours égale à 1 rad/s. La fonction de transfert d'un filtre de Chebychev d'ordre n peut se mettre sous la forme suivante : Traitement du Signal 12-13 53 ou, par identification, Kn est égal à b0H lorsque n est impair et à b0H= lorsque n est pair. La valeur des coefficients b pour différentes valeurs du ronflement et différentes valeurs de n est donnée au tableau ci-dessous. Coefficients du dénominateur de H(s), filtre de Chebychev normalisé. Le dénominateur est de la forme : Traitement du Signal 12-13 54 L'ordre d'un filtre de Chebychev passe-bas normalisé peut également être déterminé à l'aide de l'abaque donnée par la figure 4, quelle que soit la valeur de . Fig. 3 Abaque pour la détermination de l'ordre d'un filtre de Butterworth normalisé (d'après Anatol I. Zverev, Handbook of Filter Synthesis, John Wiley & Sons, New York, NY, 1967). Traitement du Signal 12-13 55 Fig. 4 Abaque pour la détermination de l'ordre d'un filtre de Chebychev normalisé (d'après AnatolI. Zverev, Handbook of Filter Synthesis, John Wiley & Sons, New York, NY, 1967). Traitement du Signal 12-13 56 Transformation d'un filtre analogique en filtre numérique Disposant désormais d'outils analogiques, nous cherchons à déterminer leurs homologues numériques. Nous exposons la méthode d'invariance à l'impulsion et la méthode de transformation bilinéaire pour la synthèse des filtres RII. Invariance à l'impulsion C'est la méthode la plus naturelle qui soit. Soit ha(t) la réponse impulsionnelle du filtre à transformer. On construit son équivalent numérique en choisissant le filtre dont la réponse impulsionnelle est l'échantillonnage de ha(t), soit (hn) = (ha(n)) si fe = 1Hz. Si la fonction de transfert Ha(s) n'a que des pôles simples et une région de convergence à gauche : on alors on en deduit hn et H(z) On peut remarquer que les pôles de Ha(s), esk , sont directement liés aux pôles de H(z). La stabilité de Ha garantit la stabilité de H. La réponse en fréquence de H est liée à celle de Ha par la relation classique de l'échantillonnage (rappelons que fe = 1 Hz) : Traitement du Signal 12-13 57 Pour éviter le recouvrement spectral (en théorie toujours présent dans ce cas de pôles simples), cette méthode ne pourra être valable que lorsque Ha est un filtre passe-bas ou passe-bande très sélectif. En particulier, il sera impossible de synthétiser un filtre passe-haut avec une telle méthode. La méthode a tout de même pour avantage de ne pas déformer la réponse en fréquence du filtre analogique. Transformation bilinéaire On cherche maintenant une méthode qui permet de faire correspondre l'axe des fréquences analogiques à l'axe des fréquences numériques (dont on ne s'intéressera qu'à la période [12; 12]), tout en évitant le repliement spectral. La transformation bilinéaire résout ce problème. On utilise le fait que la fonction réalise une bijection de ] -1 2; 1 2[ dans IR, et que sa fonction réciproque est . Soit Ha(f) la réponse en fréquence du filtre analogique, et Ha(s) sa fonction de transfert. On considère le filtre dont la réponse en fréquence est donnée par H’ (f) = H’a(Ф(f)). Puisque H’(f) est 1-périodique, ce filtre est bien un filtre discret. Cherchons alors sa fonction de transfert H(z). Puisque H’(f) = H(e2jf) et que H’a(f) = Ha(2jf), on obtient la relation suivante : or Donc nécessairement : Une condition suffisante pour que cette relation soit satisfaite est : Traitement du Signal 12-13 58 La démarche de synthèse d'un filtre numérique passe-bas de fréquence de coupure f c en utilisant une transformation bilinéaire est donc la suivante : - calculer la fréquence de coupure fa du filtre analogique (fe = 1 Hz) par la formule de passage fréquence numérique fréquence analogique - chercher la fonction de transfert Ha(s) du filtre analogique avec la fréquence de coupure fa trouvée et satisfaisant au gabarit souhaité. - en déduire la fonction de transfert H(z) du filtre numérique par la formule H(z) = Ha(s) en remplaçant s par La transformation bilinéaire permet donc de transporter les propriétés d'un filtre analogique au domaine numérique, sans crainte de recouvrement spectral, mais au prix d'une déformation de l'axe des fréquences de type arc-tangente. Diagramme de fluence Forme I directe d'un filtre Traitement du Signal 12-13 Forme directe II d'un filtre 59 Forme transposée I d'un filtre Traitement du Signal 12-13 60 BIBLIOGRAPHIE -1- "Traitement Numérique du signal, Théorie & Pratique," Bellanger "MASSON" -2- "Traitement Numérique des signaux", M. Kunt "DUNOD" -3- "Théorie et Traitement des signaux", F de Coulon "DUNOD" -4- "Théorie du signal, modélisation statistique, automatique et traitement", D de Brucq G Follit "MASSON" -5- "Méthodes et technique de Traitement du Signal et application aux mesures physiques(2)", J. Max "MASSON" -6- "Cours d'électronique 4, Transformation des signaux", F. Milsant "EYROLLES" . -7- "Problèmes d'électronique 4, Transformation des signaux", Milsant "EYROLLES" -8- "Eléments de théorie du signal, Les signaux déterministes", J.P. Delmas "ELLIPSE" . -9- "Signaux & Circuits", Alain PELAT, "ELLIPSE" -10- "MICROELECTRONIQUE, Traitement de signaux & saisie de donnée", Jacob Milman Awin Grabel "Ediscience International", . -11- "Signaux aléatoires pour le traitement du signal et les communications", Pierre Bremaud "ELLIPSE". -12- "THÉORIE & TECHNIQUE DE LA TRANSMISSION DES DONNÉES", J. GLAVIER, M. NIQUIL, S. COFFINET, F. BEHR , "MASSON". Traitement du Signal 12-13 61 Annexe I TRANSFORMÉE DE LAPLACE - Définition : La transformée de Laplace d'un signal x(t) est définie par : X ( p) x(t ) exp( pt )dt pC (1) Nous serons dans l'ambiguïté si on prend p=j2 f et nous aurons : X ( f ) X ( p) p j 2f Cette transformée est dite bilatérale par opposition à la transformation monolatérale définie par : X ( p) x(t ) exp( pt )dt pC 0 Nous admettrons que D 1 Re ( p) 2 l'intégrale (1) est absolument convergente dans le domaine que nous appellerons domaine de convergence de X(P). Il ne faut pas confondre le domaine de convergence de X(P) qui est lié à la convergence de l'intégrale (1) pour un signal x(t) donné et le domaine de définition d'une fonction X(P) qui est lié aux singularités de X(P). La Transformée de Laplace n'est complètement spécifié que si l'on se donne à la fois une fonction de p et son domaine de convergence. En effet, deux signaux différents peuvent avoir une Transformée de Laplace avec la même fonction X(P) mais des régions de convergences différentes. - Exemple : x1 (t ) exp(at )u (t ) x2 (t ) exp(at )u (t ) Elles ont respectivement pour transformée : X1( p) 1 pa Re( p ) a X 2 ( p) 1 pa Re( p ) a - Inversion de la Transformée de Laplace : Comme la transformée de fourrier, la transformée de Laplace n'est qu'une représentation du signal x(t) que si elle caractérise celui-ci et si l'on sait retrouver x(t) à partir de la donnée de X(P) et de son domaine de convergence. On pose p j 2f Traitement du Signal 12-13 62 X ( j 2f ) x(t ) exp(( j 2f )t )dt Par suite la TF inverse X ( j 2f ) exp( j 2ft )df x(t ) exp(t ) x(t ) 1 j 2 X ( P) exp( pt )dp droite // à l'axe imaginaire située dans le domaine de convergence de X(P). En raison de cette formule d'inversion, la TL est aussi une représentation d'un signal x(t). De plus c'est un développement de x(t) en fonction des signaux exponentiels e+pt. Le calcul de TL inverse fait appelle au théorème des résidus que nous allons détailler par un exemple. - Exemple d'application : Cherchons ainsi directement la réponse impulsionnelle h(t) d'un filtre RC passe bas de fonction de transfert : H( f ) 1 1 j 2RCf h(t) n'est rien d'autre que la trans inverse de H(f) h(t ) 1 exp( j 2ft )df 1 j 2fRC Propriétés élémentaires de la transformée de Laplace : Posons x(t ) TL X ( p) 1) Linéarité : i xi (t ) x ( t ) TL i i X i ( p ) i 2) Symétrie : TL X ( p) 3) Dérivation : d k X ( p) dp Traitement du Signal 12-13 k p k X ( p) 63 k (t ) x(t ) TL d k X ( p) dp k 4) Convolution : La transformé de Laplace d'un produit de convolution. Nous admettrons également sans démonstration que si les signaux x(t) et y(t) admettent un TL alors le signal z(t) = x(t)* y(t) admet comme TL : Z(P) = X(P) Y(P) de domaine de convergence. Dz = Dx Dy . x(t ) * y (t ) TL X ( p )Y ( p ) Par contre, la TL du produit x(t) y(t) n'est plus simplement un produit de convolution comme c'est le cas pour la transformée de Fourrier. Traitement du Signal 12-13 64 Annexe II " LES DISTRIBUTIONS " Les distributions mathématiques constituent une définition mathématique correcte des distributions rencontrées en physique. - Définition : On appelle Distribution D : une fonctionnelle linéaire continue sur l'espace vectoriel D des fonctions définies sur IR indéfiniment dérivables et à support borné. A toute fonction appartenant à D, la distribution D associé un nombre complexe D( ), qui sera aussi noté par <D, > avec les propriétés suivantes: D(1 + 2 ) = D(1 )+ D(2) D( ) = D( ) est scalaire Si j converge vers quand j tend vers l'infini alors D(j) converge vers D( ). - EXEMPLE : - Si f(t) est une fonction sur tout ensemble borné, elle définit une distribution Df par : D f , f (t ) (t )dt - Si ' désigne la dérivée de la fonctionnelle : D , f (t) ' (t )dt f' est une distribution. - La distribution de Dirac est définie par : < , >=(0) la distribution de Dirac au point réel x est définie par : < (t-x), >=(x) on dit que cette distribution représente la masse + 1 au point x. - Soit l'impulsion i(t) de durée et d'amplitude a=1/ centrée sur l'origine. Elle définit une distribution Di= Di , 1 2 (t )dt 2 Pour des valeurs très petites de t on obtient : Di , (0) Traitement du Signal 12-13 65 C'est-à-dire que la distribution de Dirac peut être considérée comme la limite quand ==== 0 de la distribution Di . - Dérivation des distributions On définit la dérivée d'une distribution D par la relation : D , D, t t Soit par exemple la fonction U de Heaviside ou échelon unité égale à 0 si t<0 et à +1 si t > 0. 1 t 0 U (t ) 0 t 0 U , U , ' (t )dt (0) , t t 0 Il en résulte que la discontinuité de U apparaît pour la forme d'une masse ponctuelle unitaire dans sa dérivée. Cet exemple illustre un intérêt pratique considérable de la notion de distribution, qui permet d'étendre aux fonctions discontinues un certain nombre de concept et de propriétés des fonctions continues. - Transformation de fourrier d'une distribution Par définition de la TF d'une distribution D est une distribution notée FD telle que : FD, D, F Par application de cette définition aux distributions à support ponctuel, il vient : F , , F (t )dt 1, Par suite F = 1 De même : F(t-a) = exp(-j2fa) Un cas fondamental pour l'étude de l'échantillonnage est celui que constitue la suite des distributions de Dirac décalés de T, notée peig telle que : peig (t ) (t nT ) n Cette suite est une distribution de masse unitaire aux points dont l'abscisse est un multiple entier de T. Sa Transformée de Fourier s'écrit : Traitement du Signal 12-13 66 Fpeig Peig ( f ) exp( j 2nfT ) n On démontre que cette somme est en fait une distribution ponctuelle. Une démonstration intuitive peut être obtenue à partir du développement en série de la fonction ip(t) constituée par la suite des impulsion séparées par la durée T, de largeur , d'amplitude 1/ , centrée sur l'origine des temps. ip ( ) En effet, on peut considérer que : peig (t ) Lim 1 j 2nt ) En se reportant sur la relation (1), on trouve : Lim ip ( ) exp( T T la propriété fondamentale suivante est la TF de distribution temporelle comportant une masse unitaire en chaque point dont l'abscisse est un multiple entier de T est une distribution fréquentielle comportant la masse 1/T aux points dont l'abscisse et un multiple entier de 1/T. Traitement du Signal 12-13 67 Propriétés de la Transformée de la place Exemples de la Transformée de la place Traitement du Signal 12-13 68