Application 1 : Etude d’une benne de camion
Application 2 : Etude d’une centrifugeuse à 2 degrés de liberté
Application 3 : Etude d’un bras manipulateur
CPGE AGADIR
1TSI1 – 2022/2023
Colle : table élévatrice
On considère le mécanisme représenté sur la figure 2. Il se compose de quatre solides : 0, 1, 2 et 3.
0 : Bâti fixe, auquel est associé le repère R0 (O, x0 , y0 , z0 ) ;
1 : Bras pivotant, auquel est lié le repère R1
(O, x1 , y1 , z0 ) . Le mouvement de 1 par rapport à 0 est
une rotation d’axe (O, z 0 ), de paramètre .
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐿. ⃗⃗⃗
𝑂𝐵
𝑥1 ;
2 : Galet cylindrique de rayon R2 auquel est lié le
repère R2 ( B, x2 , y2 , z0 ) . Le mouvement de 2 par
rapport à 1 est une rotation d’axe (B, z 0 ) paramétrée
par . J est le point de contact entre 2 et 3 ;
3 : Plate-forme. Repère associé : R3 (G, x0 , y0 , z0 ) . Le
mouvement de 3 par rapport à 0 est une translation
de direction y0 , et de paramètre y, tel que :
OG = y y0 .
On demande :
1. Expliquer, brièvement, le fonctionnement de ce mécanisme
2. Tracer le graphe de liaisons du mécanisme
3. Déterminer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω(1/0) et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω(2/0)
4. Déterminer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V(j, 2/0) puis ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V(j, 3/0) par la relation de champ. Déduire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
V(j, 3/2) : vitesse de
glissement en J, entre les solides 2 et 3
5. Déduire alors une relation entre ẏ et α̇
6. Sachant qu’il y’à roulement sans glissement en J entre les solides en contact, déduire une
relation entre β̇ et α̇ .Conclure.
Sciences
Industrielles
d’Ingénieur
COLLE : Canne robotisée
Cette partie a pour objectif de déterminer les caractéristiques cinématiques de la chaîne d’énergie
d’une canne pour satisfaire les exigences du cahier des charges.
Figure 3 – Modélisation et paramétrage du prototype de canne robotisée
−−−−−−−−→
→ où V est la vitesse de marche du
On veut donc vérifier à chaque instant V (H ∈ 3/0) = V · −
x
0
patient. La figure 1 rappelle les notations et le paramétrage retenus pour cette étude cinématique.
→, →
− →
−
La base B0 (−
x
0 y0 , z0 ) est associé au repère R0 .
On rappelle qu’au point I le contact entre la roue 1 et le sol 0 est supposé sans glissement. On
→
−
−
note Ω (2/1) = ω(t).→
z0
Question 1
−−−−−−−−→
˙
Déterminer l’expression de V (H ∈ 3/2) en fonction de l(t).
−−−−−−−−→
Question 2 Déterminer l’expression de V (H ∈ 2/0) en fonction de R, l(t), θ̇(t) et ω(t)
−−−−−−−−→
Question 3 Par composition des vecteurs vitesse, en déduire l’expression de V (H ∈ 3/0)
Question 4 Projeter cette expression dans la base du repère R0 lié au sol. En déduire l’expression
de ω(t) uniquement en fonction de R, l(t), θ̇(t) , θ(t) et V.
2023 – 2024
Cinématique des solides – 1TSI1
Accélérateur de boules pour bowling
(Selon sujet oral concours Mines-Télécom)
Présentation du système
Au bowling, lors du lancer d’une boule, celle-ci
tombe avec les quilles, dans une fosse placée en
contrebas de la piste. Elle est constituée :
• d'un pare choc qui permet d'absorber l'impact
de la boule ;
• d'un tapis roulant qui dirige les quilles vers
l'élévateur à quilles en passant sous ce pare
choc.
La légère inclinaison du tapis roulant permet
d'amener la boule retenue par le pare choc vers
l'accélérateur à boules en passant par la porte à
boules.
Présentation de l’accélérateur de boules
Monté entre deux réquilleurs, il renvoie les boules aux joueurs de chacune des deux pistes. La boule passant par la porte à
boules arrive sur la pente d'un rail de guidage qui l'amène par son propre poids, sous une courroie d'entraînement. La courroie
est entraînée par un moteur à rotor extérieur (Il joue le rôle de poulie motrice).
Une poulie réceptrice articulée permet de moduler la tension de la courroie par l'intermédiaire d'un ressort et d'une barre de
tension.
FIGURE 4B : BOULE + RAIL DANS LE PLAN (C , y0 , z0 )
FIGURE 4C : BOULE + RAIL DANS LE PLAN (C , x0 , z0 )
Données
• Vitesse de rotation du rotor moteur de l'accélérateur de boules : Nrotor / rail en tr/min ;
• Diamètre extérieur du rotor du moteur : D = 150 mm ;
• Rayon de la boule étudiée : R = 11 cm ;
• Hauteur h = 9 cm.
Extrait du cahier des charges
Exigence
Critères
Niveau
ASSURER LE RETOUR DE LA BOULE
Vitesse de sortie de l’accélérateur de
boules
avec C centre de la boule.
1.
VCÎboule / rail = Vc x0 ( Vc
= 11ms-1 )
En prenant un vecteur Wbboule
l / raill « 1 cm , tracer sur la figure 4B, les vecteurs de roulement et de pivotement en
B1 et B2 .
2.
Hypothèse
On suppose que :
- la courroie ne glisse pas sur le rotor extérieur du moteur ;
- il existe une zone à la sortie de l’accélérateur où la boule roule sans glisser sur la courroie ;
L’a (B1B2 ) est alors dit axe instantané de rotation de
- la boule roule sans glisser sur le rail de guidage en B1 et B2 . L’axe
la boule par rapport au rail de guidage. On pose ainsi Wbboule
l /raill = wboule /rail y0 .
Déterminer VCÎboule
b l / rail en fonction de wboule / rail et h. En déduire wboule / rail en fonction de VC et h .
3.
Déterminer VAÎboul
boule / rai
rail en fonction de wboule / rail , R et h .
4.
ement de rotation
rot
’axe instantané
instantan (B1B2 ) par
En considérant qu’à un instant donné, la boule est en mouvement
autour de l’axe
rapport au rail, déterminer graphiquement sur la figure 4C, VAÎboul
boule / rai
rail après avoir tracé VCÎboule / rail = Vc x0 avec
Vc = 1ms-1 (on prendra une échelle 1 cm «1 ms-1 ). Valider vos résultats analytiques des questions 2 et 3.
5.
Déterminer VAÎcourroie
oie / rail dans la zone de sortie de l’accélérateur de boules où il y a roulement sans glissement de
la boule sur la courroie, en fonction de wboule / rail , R et h .
6.
Déterminer la vitesse de translation de la courroie d'entraînement Vcourroie / rail par rapport au rail de guidage en
fonction des caractéristiques Nrotor / rail et D du moteur.
7.
Page 1 sur 2
En déduire Nrotor / rail en fonction de VC , D , R et h . Faire l’application numérique et déterminer alors la vitesse de
rotation du rotor moteur afin que l’exigence soit satisfaite.
Page 2 sur 2
2. Accélérateur de boules pour bowling
1.
En prenant un vecteur boule / rail 1 cm , tracer sur la figure 4B, les vecteurs de roulement et de pivotement en
B1 et B2 .
VCboule / rail est suivant + x0
boule/rail est suivant + y0
Le vecteur de pivotement est porté par la normale au contact
orienté du rail vers la boule. Il est obtenu en projetant le vecteur
rotation boule/rail sur cette normale. Ici, il y a deux points de
contacts, donc deux normales ( n1 et n2 ), donc deux vecteurs de
pivotement différents.
Le vecteur de roulement est contenu dans le plan tangent commun
aux surfaces en contact. Il est obtenu en projetant le vecteur
rotation boule/rail sur ce plan. Ici, il y a deux points de contacts,
donc deux plans, donc deux vecteurs de roulement différents.
pivB1
pivB2
roulB1
roulB2
Attention boule
/rail boule /rail et boule /rail boule /rail
Dans le cas particulier ici où n1 ⊥ n2 , on a :
piv
roul
B1
B2
boule
/ rail = boule /rail
2.
&
piv
roul
B2
B1
boule
/rail = boule /rail
Déterminer VCboule / rail en fonction de boule / rail et h. En déduire boule / rail en fonction de VC et h .
VCboule / rail = VB1boule / rail + CB1 boule / rail (roulement sans glissement en B1 de la boule/rail)
VCboule / rail = − h z0 + ? y0 boule / rail y0
VCboule /rail = h boule /rail x0 avec VCboule / rail = Vc x0
3.
V
boule / rail = c
h
Déterminer VAboule / rail en fonction de boule / rail , R et h .
VAboule /rail = VB1boule /rail + AB1 boule /rail
(roulement sans glissement en B1 de la boule/rail)
VAboule / rail = − (R + h) z0 + ? y0 boule / rail y0
VAboule / rail = (R + h) boule / rail x0
4.
En considérant qu’à un instant donné, la boule est en mouvement de rotation autour de l’axe instantané (B1B2 ) par
rapport au rail, déterminer graphiquement sur la figure 4C, VAboule / rail après avoir tracé VCboule / rail = Vc x0 avec
Vc = 1ms-1 (on prendra une échelle 1 cm 1 ms-1 ). Valider vos résultats analytiques des questions 2 et 3.
Avec Thalès, on retrouve la relation entre
VAboule/rail et VCboule /rail :
VAboule / rail
VCboule /rail
=
R+h
h
Page 1 sur 2
5.
Déterminer VAcourroie / rail dans la zone de sortie de l’accélérateur de boules où il y a roulement sans glissement de
la boule sur la courroie, en fonction de boule / rail , R et h .
VAcourroie /rail = VAcourroie /boule + VAboule /rail
(roulement sans glissement en A de la boule/courroie)
VAcourroie /rail = (R + h)boule /rail x0
6.
Déterminer la vitesse de translation de la courroie d'entraînement Vcourroie / rail par rapport au rail de guidage en
fonction des caractéristiques Nrotor / rail et D du moteur.
Il y a non glissement de la courroie/rotor : Vcourroie /rail = rotor /rail
7.
D 2Nrotor /rail D
=
2
60
2
Vcourroie /rail =
Nrotor /rail D
60
En déduire Nrotor / rail en fonction de VC , D , R et h . Faire l’application numérique et déterminer alors la vitesse de
rotation du rotor moteur afin que l’exigence soit satisfaite.
En utilisant les différentes relations trouvées précédemment, on a :
Nrotor / rail D
V
Vcourroie / rail =
= (R + h)boule / rail avec boule / rail = c
60
h
60(R + h)Vc
AN : Nrotor / rail = 283 tr/min
Donc Nrotor / rail =
Dh
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Exercice 1 : Eolienne
Exercice 2 : Bras manipulateur ERICC 3
Exercice 4 : Porte outil
Exercice 4 : Porte outil
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TSI - MPSI – 2023/2024
TD : Cinématique de solides indéformables
Exercice 5 : Machine d'extraction
La figure ci-après représente une partie d’un appareil d’extraction pour machines à mouler par
injection. Cet appareil saisit les pièces à la sortie de la machine à mouler, les soulève, les transporte,
et les dépose à un endroit convenu. Le repère 𝑅0 (𝑂0 , 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) est lié au support 0. L’appareil
d’extraction est schématisé par l’ensemble (1, 2, 3, 4, 5). Pour accroître la lisibilité de la figure qui
donne grossièrement l’allure de cet appareil, le support 0, la première unité de translation 1, et la
plus grande partie de la deuxième unité de translation 2 ne sont pas représentés.
Paramétrage :
✓ Première unité de translation. Repère lié 𝑅1 (𝑂1 , 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗).
Mouvement (1/0) : translation rectiligne de direction 𝑧⃗.
Position (1/0) repérée par z tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂0 𝑂1 = 𝑧𝑧⃗.
✓ Deuxième unité de translation. Repère lié 𝑅2 (𝑂2 , 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗).
Mouvement (2/1) : translation rectiligne de direction 𝑦⃗.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Position (2/1) repérée par y tel que : 𝑂
⃗.
1 𝑂2 = 𝑦𝑦
✓ Corps pivotant. Repère lié 𝑅3 (𝑂2 , 𝑥⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦3 ⃗⃗⃗⃗).
𝑧3
Mouvement (3/2) : Rotation autour de (𝑂2 , 𝑥⃗).
Position (3/2) repérée par 𝜃 = (𝑦⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑦3 = (𝑧⃗, ⃗⃗⃗⃗).
𝑧3
✓ Bras d’extraction. Repère lié 𝑅4 (𝑂2 , ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥4 ⃗⃗⃗⃗,
𝑦4 ⃗⃗⃗⃗).
𝑧3
Mouvement (4/3) : Rotation autour de (𝑂2 , ⃗⃗⃗⃗).
𝑧3
Position (4/3) repérée par 𝜑 = (𝑥⃗, ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑥4 = (𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦4
3 ⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
✓ Unité de préhension. Repère lié 𝑅5 (𝑂4 , ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥5 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦5 ⃗⃗⃗⃗).
𝑧3 𝑂
⃗⃗⃗⃗⃗4 , h étant une constante.
2 𝑂4 = ℎ𝑥
Mouvement (5/4) : Rotation autour de (𝑂4 , ⃗⃗⃗⃗).
𝑧3
Position (5/4) repérée par 𝛼 = (𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥5 = (𝑦
⃗⃗⃗⃗,
𝑦5 . Le point G5 est tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂4 𝐺5 = 𝑏𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗5 , b
4 ⃗⃗⃗⃗⃗)
4 ⃗⃗⃗⃗⃗)
étant une constante.
Questions :
Q1. Faire les figures planes de rotation traduisant le mouvement de : 3/2, 4/3 et 5/4.
Q2. Exprimer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω3/0 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω4/0 et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ω5/0 .
1
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TSI - MPSI – 2023/2024
⃗⃗ (𝑂2 , 2/0) par dérivation directe du vecteur position, en déduire {𝒱2/0 } réduit en O2
Q3. Calculer 𝑉
⃗⃗ (𝐺5 , 5/0) par dérivation directe du vecteur position, en déduire {𝒱5/0 } réduit en G5
Q4. Calculer 𝑉
⃗⃗ (𝐺5 , 5/0) en utilisant uniquement la composition des vecteurs vitesse et la propriété
Q5. Calculer 𝑉
du champ des vecteurs vitesse d’un solide (formule de changement de point).
Q6. Dans le cas où les deux premières unités de translation sont fixes (𝑦̇ = 𝑧̇ = 0) , calculer
⃗⃗ (𝐺5 , 5/0). ⃗⃗⃗⃗
𝑉
𝑧3
2
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Exercice 6 : Centrifugeuse humaine
La centrifugeuse étudiée est principalement constituée de :
− un socle 0 sur lequel est rigidement
ancré un axe assurant le guidage en
rotation du bras 1 autour d’un axe
vertical.
− un bras 1 en rotation autour de l’axe
vertical (lacet).
− un anneau 2, interposé entre la
nacelle 3 et le bras 1, autorisant les rotations autour des 2 axes orthogonaux (roulis et tangage).
− une nacelle instrumentée 3 équipée du siège pour le pilote.
Paramétrage :
Données :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐼 = −𝑅. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦1
;
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐼𝑃 = −𝑑. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑦3
3
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Exercice 7 : Hélicoptère Ecureuil
Un hélicoptère est un système industriel permettant
de transporter des personnes et des marchandises
par voie aérienne. Il se distingue d'un avion par son
mode de propulsion, qui prend largement appui sur
les pales de son rotor principal, lui permettant en
outre de voler en vol stationnaire.
On s’intéresse à un hélicoptère écureuil dont on
donne une partie de la modélisation ainsi qu’un
extrait de cahier des charges fonctionnel dans sa
phase de vie vol en translation horizontale en régime
établi (vitesse constante) par rapport au sol.
L'objectif est de vérifier que l'hélicoptère de type écureuil atteint le critère de vitesse de déplacement
du cahier des charges.
Pour cette étude on considère que l'hélicoptère 1
se déplace en translation rectiligne à la vitesse
horizontale ⃗⃗⃗⃗
V (A, 1/0) = V. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥0 par rapport au sol
0 (V=cte).
Le repère 𝑅0 (𝑂, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥0 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦0 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧0 est associé au sol.
Le repère 𝑅1 (𝐴, ⃗⃗⃗⃗,
𝑥1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦1 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧1 est associé au solide 1
avec A point placé sur l’axe de rotation du rotor 2
par
rapport
à
l’hélicoptère
1
tel
que :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ℎ. ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴
𝑧0 + 𝜆(𝑡). ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥0
Le rotor principal 2 de l'hélicoptère comporte 4 pales. Soit 𝑅2 (𝐴, ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑥2 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑦2 ⃗⃗⃗⃗)
𝑧2 repère en rotation par
rapport à R1 d'un angle θ autour de l'axe (𝐴, ⃗⃗⃗⃗)
𝑧2
La vitesse angulaire (constante) du rotor 2 par rapport à l'hélicoptère 1 est notée 𝜔 = 𝜃̇ . Soit M le
point situé à l'extrémité d'une pale tel que : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 𝑅. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥2
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Q1. Déterminer les expressions littérales du torseur cinématique {𝒱1/0 } au point A et celle du
torseur cinématique {𝒱2/1 } au point A.
Q2. En déduire le torseur cinématique {𝒱2/0 } au point A.
Q3. En déduire ⃗⃗⃗⃗
V (M, 2/0) par le champ des vitesses.
Q4. Retrouver ⃗⃗⃗⃗
V (M, 2/0) par le calcul direct.
Q5. Déterminer la norme de ⃗⃗⃗⃗
V (M, 2/0) puis déterminer la vitesse maximale VMAX (préciser pour
quelle position angulaire cette vitesse est atteinte) en fonction de R, V et ω.
Q6. La vitesse angulaire du rotor principal est de 370 tours/min. La longueur d'une pale est R = 5,1
m. Déterminer la valeur numérique de la vitesse maximale en km/h.
Q7. Sachant que la pale de l'hélicoptère ne doit pas dépasser 85% de la vitesse du son, conclure quant
à la capacité de l'hélicoptère à satisfaire le critère de vitesse de déplacement du cahier des charges.
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Exercice 8 : Roue de vélo sur le sol
On s’intéresse à un vélo de course dont on donne ci-dessous une partie de la modélisation ainsi qu’un
extrait de cahier des charges fonctionnel.
On considère que le vélo avance, les roues de
rayon R (R = 350mm) roulent alors sans glisser sur
le sol. La position du vélo (point A) est repérée par
la longueur λ(t) et la rotation de la roue par l'angle
α(t). L’objectif est de définir la relation entre la
rotation de la roue du vélo et la vitesse du vélo qui
permettra ensuite de vérifier le critère de performance du cahier des charges.
Q1. Construire un schéma cinématique permettant de modéliser le système ainsi que les figures
planes de repérage/paramétrage.
Q2. Exprimer la condition de roulement sans glissement en I.
Q3. En déduire la relation entre 𝜆 et 𝛼̇ .
̇
5
