a faire avant le devoir

Universit´ e Cadi Ayyad
Facult´ e des Sciences Semlalia
D´ epartement de Physique
Exercices et Contrˆoles Corrig´es
de M´ecanique du Point Mat´eriel
Pr. M. EL KACIMI
Septembre 2015

Contact: elk[email protected] D´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

CHAPITRE 1
Rappels et compléments mathématiques
1.1 Exercices
1.1.1 Opérations sur les vecteurs
On donne trois vecteurs ~ A(3,2√2,√3), ~ B(2,√3,√2) et ~ C(1,2,2).
1. Calculer les normes k~ Ak,k~ Bket k~ Ck. En d´eduire les vecteurs unitaires ~uA,~uB
et ~uCdes directions, respectivement, de ~ A,~ Bet ~ C.
2. Calculer cos( d ~uA, ~uB), cos( d ~uB, ~uC) et cos( d ~uC, ~uA), sachant que les angles sont com-
pris entre 0 et π.
3. Calculer les composantes des vecteurs ~e1=~uB∧~uC,~e2=~uC∧~uAet ~e3=~uA∧~uB.
4. En d´eduire sin( d ~uA, ~uB), sin( d ~uB, ~uC) et sin( d ~uA, ~uC). V´erifier ces r´esultats en utili-
sant la question 2.
5. Montrer que ~e1,~e2,~e3peuvent constituer une base. Cette base est-elle orthogo-
nale, norm´ee ?
1.1.2 Différentielle et dérivée d’un vecteur unitaire
Soit R(O,~ i,~ j,~ k) un rep`ere cart´esien et consid´erons la base sph´erique (~er, ~eθ, ~eϕ).
1. Exprimer les vecteurs de la base sph´erique dans la base cart´esienne.
2. Calculer
∂~er
∂θ ,∂~er ∂ϕ ,∂~eθ ∂θ ,∂~eθ ∂ϕ ,∂~eϕ ∂θ et ∂~eϕ ∂ϕ .
3

Rappels et compl´ements math´ematiques
3. En d´eduire d~er,d~eθet d~eϕdans la base sph´erique.
4. Montrer que les diff´erentielles des vecteurs de la base sph´erique peuvent se mettre
sous la forme
d~er=dt~ Ω∧~erd~eθ=dt~ Ω∧~eθd~eϕ=dt~ Ω∧~eϕ
en pr´ecisant l’expression du vecteur rotation ~ Ω des vecteurs de la base sph´erique
par rapport `a R. D´eduire les d´eriv´ees par rapport au temps des vecteurs de la
base sph´erique par rapport `a R.
5. On consid`ere la base cylindrique (~eρ, ~eϕ,~ k) . Quel est son vecteur rotation par
rapport `a R? En utilisant les r´esultats pr´ec´edents, calculer la d´eriv´ee par rapport
au temps des vecteurs de la base cylindrique par rapport `a R.
6. Consid´erons un vecteur ~ V=Vr~er+Vθ~eθ+Vϕ~eϕ. En utilisant les r´esultats pr´ec´e-
dents, calculer la d´eriv´ee par rapport au temps de ~ Vpar rapport `a R
1.1.3 Déplacement élémentaire
On se propose de traiter dans cet exercice le d´eplacement ´el´ementaire dans les trois
syst`emes de coordonn´ees, cart´esiennes, cylindriques et sph´eriques et ce en utilisant les
r´esultats de l’exercice 2.
Consid´erons un rep`ere cart´esien R(O,~ i,~ j, ~ k). Soient (~eρ, ~eϕ,~ k) et (~er, ~eθ, ~eϕ) respective-
ment les bases cylindrique et sph´erique. Soit Mun point rep´er´e par −−→ OM par rapport `a
R. On consid`ere un d´eplacement infinit´esimal de Men M′tel que M′est tr`es proche de
M. On note alors le d´eplacement ´el´ementaire par −−→ OM′−−−→ OM =d−−−→ MM′=d−−→ OM
1. Dans le rep`ere cart´esien, −−→ OM =x
~
i+y~ j+z~ k. Calculer le d´eplacement d−−→ OM par
rapport `a Rdans la base cart´esienne.
2. Rappeler le vecteur rotation de la base cylindrique par rapport `a R. Partant de
−−→
OM =ρ~eρ+z~ k, calculer le d´eplacement d−−→ OM par rapport `a Rdans la base
cylindrique.
3. Rappeler le vecteur rotation de la base sph´erique par rapport `a R. Dans la base
sph´erique −−→ OM =r~er, calculer le d´eplacement d−−→ OM par rapport `a Ret ce dans
cette base.
1.1.4 Tube cathodique
On ´etudie le mouvement des ´electrons dans le tube cathodique d’un osilloscope. Les
´electrons arrivent en Oavec une vitesse ~v0=v0
~
iet traversent les plaques de d´eviation
P1et P2de longueur l. Les ´electrons sont soumis entre les plaques de d´eviation `a une
acc´el´eration uniforme ~γ0=γ0~ jet sont d´evi´es, figure ci-dessous. L’´ecran est `a la distance
D= 5lde la sortie des plaques. On exprime dans le reste de l’exercice les grandeurs
vectorielles dans la base cart´esienne.
la vitesse de la particule `a la sortie des plaques est ~vAet fait un angle αavec ~ i.
L’acc´el´eration des ´electrons entre les points Aet Eest nulle.
Contact: elk[email protected] D´epartement de Physique - FSSM 2015/2016

1.1 Exercices 5
1. Etablir les ´equations horaires du mouvement
des ´electrons entre les plaques de d´eviation,
x(t) et y(t). En d´eduire l’´equation de la tra-
jectoire y=f(x).
2. Calculer la vitesse des ´electrons au point A,
~vA, en fonction de v0, l et γ0. En d´eduire
l’angle α=d (
~
i, ~vA).
3. Quelle est la nature de la trajectoire des ´elec-
trons entre Aet E? En d´eduire les ´equations
horaires x(t) et y(t). D´eterminer la d´eviation
δen fonction de v0, l et γ0.
y
xO
j
i
1
P
2
P
l D=5l
δ
E
A
α
1.1.5 Exercice
Un v´ehicule, que l’on peut consid´erer comme un point mat´eriel M, se d´eplace par
rapport `a un r´ef´erentiel R(O, xyz) avec un mouvement de translation uniforme de vitesse
~
V(M/R) telle que |~ V(M/R)|=v. Le v´ehicule roule sur une bosse dont le profil peut
ˆetre repr´esent´e par y=f(x). On s’int´eresse au segment de la route [A, B].
1. Calculer la vitesse ~ V(M/R) en fonction
de ˙xet de la d´eriv´ee premi`ere f′(x) =
df(x)/dx par rapport `a x.
2. Calculer l’acc´el´eration ~γ(M/R). En d´e-
duire que la composante de l’acc´el´eration
selon Oy peut se mettre sous la forme
γy(M/R) = v2f′′(x)
(f′2+ 1)2
f′′(x) ´etant la d´eriv´ee seconde de f(x) par
rapport `a x.
A B
M
y
x
O
y=f(x)
1.1.6 Opérations sur les vecteurs : une autre approche
L’objectif de cet exercice est de reformuler les expressions des op´erations vectorielles en utilisant la
fonction de Kronecker δij 1et le tenseur de Levi-Civita ǫijk 2.Les indices i, j, k ∈ {1,2,3}´etant donn´e
que l’on travaille dans un espace vectoriel de dimension 3.
1. la fonction de Kronecker est d´efinie par
δij =1 si i=j
0 si non
2. Le tenseur de Levi-Civita est d´efini par
ǫijk =
0 si au moins deux indices sont ´egaux
1 si (i, j, k)∈{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)}
−1 si (i, j, k)∈{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}
.
Contact: elk[email protected] D´epartement de Physique - FSSM 2015/2016